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4.2线段、直线、射线优质课

发布时间:2013-10-11 09:33:09  

(1)如果你想将一根细木条固
定在墙上,至少需要几个钉子?

.
.

(2)经过一个已知点画直线,可以 画多少条? (3)经过两个已知点画直线,可 以画多少条?

.

平面上有A、B、C三个点,过其中的任两点作 直线,小敏说能作三条;小聪说只能作一条; 小真说都有可能;你认为他们三人谁的说法对?

A

. ..

B

C

.. .
A B C

(1)可以画三条直线

(2)只能画一条直线

⑴要把准备好的一根硬纸条固定在 纸板上,至少需要几个图钉?



两点确定一条直线
⑵ 经过一点O画直线,能画出几条? 经过两点A、B 呢?
O A B

这些告诉 我们一个什 么道理?

经过两点有且只有一条直线 存在
唯一

生活中我们常常用到两点确定一条 直线,你能举几个例子吗?

两点确定一条直线的应用:
植树时,只要定出两个树坑的位置就 能确定同一行的树坑所在的直线。

两点确定一条直线的应用:
1、植树时,只要定出两个树坑的位置就能确定同 一行的树坑所在的直线。

?

建筑工人在砌墙时经常在两个墙脚的位置分 别插一根木桩,然后拉一条直的参照线, 根据 两点确定一条直线的 道理.

在我们的日常生 活中有哪些有关 “直线”形象的 例子?

p

点p在直线 l 外(直线 l 不经过点 p)

l
点O在直线

l 上(直线 l 经过 点

O)

一个点在一条直线上,也可以说这条直线经过这个点。

点在一条直线外,也可以说直线不经过这个点。

直线 a 和 b 相交于点O a
交点

b

当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这 两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点。

怎样用数学符号表示直线?

A

B

l

怎样表示线段、射线、直线? 线段
a A

记作: 线段AB (或线段BA) B 或记作: 线段 a

线段有两种表示方法:
1.用表示端点的两个大写字母; 2.用一个小写字母.

怎样表示线段、射线、直线? 线段
a A

射线 O 直线

记作: 线段AB (或线段BA) B 或记作: 线段 a 写在 前面 记作:射线OP P (不能记作PO)

记作:直线 MN(或直线NM) M N 或记作:直线 l 直线有两种表示方法: 注意问题:(1)线段、 1.用直线上的任意两个点的大写字母;
2.用一个小写字母.
直线表示与字母顺序 无关 (2)射线表示有方向性 ,端点在前,射线上 任意一点在后

l

我说你画
已知点A,画直线m ,使 直线 m不经过点A (点A在直线 m 外) m A

.

画直线a、b,使直线a、b 相交于点O (直线a、b都经过点O )

已知点A,画直线 n,使 直线n经过点A 交点 (点A在直线 n上) A 点与直线的位置关系: n 1、点在直线外 2、点在直线上

.

b

O

.

a

(2)直线、射线、线段的联系与区别
图形
线段
A

表示方法
线段AB 或线段a

端点个数
两个

一个 0

延伸方向
不向任何一方延伸 向一方无限延伸

a
B

射线
A

a
B

射线AB 或射线a
直线AB 或直线a

直线
A

a
B

向两方无限延伸

注意:(1)表示线段、射线、直线的时候,都要在字母前 注明“线段” “射线 ” “直线”。 (2)用两个大写字母表示直线或线段时,两个字母可以交 换位置,表示射线的两个大写字母不能交换位置,必须把端 点字母放在前面。

请你把左边对图形的描述和右边相应 的图形用线连起来: 以A为端点,经过点B的射线
A B

连结A,B两点的线段

A

B

经过A,B两点的直线
A B

E

F C

练习 按下列语句画出图形:

(1)

(2)

A

l
a

(1)直线EF经过点C; (2) 点A在直线 l 外
(3) c A (4) C B D b

(3)经过点O的三条线段a、b、c;
(4)线段AB、CD相交于点B

下图中,有几条直线,几条射线,几条线段?

A

C

D

B

答:有1条直线,8条射线,6条线段。

如图,已知三点A、B、C. (1)画直线AB; (2)画射线AC;
C

A B

(3)连接BC.

细心找找

. . .
N M P

图中有哪些可表示直线、射线、线段?

两点确定一条直线

说一说,这节课 经过两点有且只有一条直线 你有什么收获?
用数学符号表示直线、 射线、线段

作业:P132习题 4.2 第3、4题

练习

l
A m C B

读下列语句,并分别画出图形: (1)直线 l 经过A、B、C三点, 并且点C在点A与B之间; (2)两条线段m与n相交于点P; (3) p是直线外一点,过点p有一条 直线b与直线a相交于点Q; (4)直线 Q b a

n
p p

l 、m 、n 相交于点Q。
Q

l
m n

直线的基本性质:
经过两点有且只有一条直线
存在性 唯一性

.

即:两点确定一条直线

(5)种树时,只要定出两个树坑的位置, 就能确定同一行的树所在的直线,这是 因为 。 两点确定一条直线

请你把左边对图形的描述和右边相应 的图形用线连起来: 以A为端点,经过点B的射线
A

a
A

B

连结A,B两点的线段

B

l

经过A,B两点的直线

A

B

自学反馈(二)
1.下列给线段取名正确的是:( B ) (A)线段M (B)线段m

(C )线段Mn

(D)线段mn

2.如图,若射线AB上有一点C,下列与射线 AB是同一条射线的是(B ) (A)射线BA (B)射线AC A B C (C )射线BC (D)射线CB

A
3.图中的几何体有多 少条棱?请写出这些 表示棱的线段。

B

D
C
?

4.请写出图中以O为 端点的各条射线。

B

?

A
?

O

C

5.用两种方式表示图中的两条直线。

m
o
A

n
B

第一种:直线 AO,
直线 BO 第二种:直线 m ,

直线 n

探究练习:
已知线段AB,你能由线段AB 得到射线和直线吗?动手试一试
A B B A

答案

A
A

B
B

例:按下列语句画图 1、已知A 、B、 C、D四个点

B

(1)画直线AB
(2)画射线AC (3)连结 DC 2、线段a b相交于点O. a

A
3、点A在直线l外
L

.

. . . . .
A

D C

O

b

当堂检测
1、判断

错 (1)延长直线MN到点C ( )
(3)三点决定一条直线
错) (

错) (2)直线A与直线B交于一点M (

(4)无数条直线可能交于一点 (对 )

2、下图(1)中的线段可表示为 线段AB (2)中的直线可表示为 直线EF

或 线段m 或



直线n 。

(3)中的射线可表示为 射线HE 。
m n

A

B

E

F

E

H

3、按下列语句画出图形 (1)直线EF经过点C (2)点A在直线L外

(3)经过点O的三条线段a、b、c (4)线段AB、CD相交于点B

4、用适当的语言描述下列图
Q A D

O
C B

M

P

N

选做题:
1、如图线段AB上有两点C、 D则共有几条 线段?
A C D B

2、变形题:往返于甲乙两地的客车中途要 停靠三个车站,有多少种不同的票价?要 准备多少种不同的车票?

相信我能行
往返温州、宁波两地的火车,中途需要停靠 雁荡、台州、奉化三个站点,根据你所学的知 识回答: 需要制定多少种不同的票价?
答:10种
温州

A

雁荡

B

台州

C

奉化

D

宁波

E

实际问题

转化为

数学问题

两条直线相交,有一个交点。三条直线 相交,最多有多少个交点?四条直线呢?你 能发现什么规律?

只有我最棒

规律:交点的个数为 n/2(n-1)

直线公理
经过两点有一条直线,并且只有一条直线。

(两点确定一条直线。)

直线、线段、射线的表示
用两个大写字母表示; 用一个小写字母表示。

直线的表示
l
A B

直线AB

直线l

线段的表示
A B

a
线段a

线段AB

射线的表示
O 射线OA
A

l
射线l

如何比较两个人的身高?

我身高1.53米, 比你高3厘米。

我身高1.5米。

合作学习:
怎样比较两根细木条的长短?

怎样比较两条线段的大小(长短)?
A B C D

两条线段的大小(长短)关系:
(1)AB > CD; (2)AB = CD; (3)AB < CD;

比较两条线段大小(长短)的方法:
目测法; 直接观察,目测判断。 (不准确,也不十分可靠,不建议采用) 度量法; 用刻度尺分别量出线段AB、线段CD的长度,再比较线段AB、 线段CD的长短(大小)。 (近似值) 叠合法。 将一条线段放在另一条线段上,使它们的一个端点重合,观 察另一个端点的位置关系。

观察下列三组图形,你能看出每组图 形中线段a与b的长短吗? b
a b

(1) a (3)

b

(2)

a

第一种方法: 度量法

用一把尺子量出两根绳子的长度,再进行比较.
3.1cm 4.1cm

0

11

22

33

44

55

66

77

88

叠合法 第二种: 先把两根绳子的一端重合,另一端落在同侧, 根据另一端落下的位置来比较.
试比较绳子AB与绳子CD、绳子EF、绳子MN的大小? A E B F C M D N D F AB=CD AB>EF




C E M



N

AB<MN

比较线段长短的两种方法
叠合法——从“形”的角度比较

.

度量法——从“数值”的角度比较.

画在黑板上的两条线段是无法移动的,在没有度 量工具的情况下,请大家想想办法,如何来比较它们 的长短? ① 观察法 ② 借助于某一物体,如:铅笔、小木棒等。

比较两条线段的长短:

A

B

A1

B1

A2

B2

A3

B3

线段AB比线段A1B1短, 即AB<A1B1.

线段AB比线段A2B2长, 即AB>A2B2 . 线段AB与线段A3B3一样长, 即AB=A3B3 .

教材P131 “练习”第1题

AB > AC

AB < AC

AB = AC

用圆规作一条线段等于已知线段.
例1 已知线段a,用直尺和圆规画一条线段,使 它等于已知线段a. ① 作射线AC; ② 用圆规量出已知线段a的长度(记作a); ③ 在射线AC上截取AB = a .

则AB为所 求作的线段.
a a

A

B

C

例2 已知线段a、b,画一条线段c,使它 的长度等于两条已知线段的长度的和.
a b

画法: 1、画射线AD. 2、用圆规在射线AD上截取AB=a.
3、用圆规在射线BD上截取BC=b.
c a b B C D

A

线段AC就是所求的线段c.

线段c的长度是线段a、b的长度的和, 我们就说线段c是线段a、b的和, 记做c=a+b,即AC=AB+BC.
c a A B b C D

已知线段m、n,你能画线段AC,使线段 AC=m-n?
m n

已知:线段m、n。(如图)

m
n

求作:线段AC,使AC = m - n。 (1)作射线AM; 作法: (2)在射线AM上截取AB = m。 (3)在线段AB上截取BC = n。

A

C

B

M

则线段AC就是所求作的线段。

怎样的点是线段的中点? 操作:把纸条对折,找出它的中点。 定义: 把线段分成相等的两条线段的点,叫做这条线段的中点。
A M B

因为点M是线段AB的中点, 所以 AM=BM=
1 AB 2

说明:
线段的中点必须在线段上。 把线段分成相等的三条线段的点,叫做这条线段的三等分点。

例1如图 (1)如果点P是AB的中点, 1 则AP= _ 2 AB _ A C P D B

(2)如果点C,D三等分AB,则 1 AC=CD= DB = _3_ AB __ (3)CP可以表示成哪两条线段的差?你有几种不 同的表示? (4)现在告诉你CP=1.5cm,求线段AB的长。

3.在同一条直线上依次有A、B、C三点,取AB中点 M,
3 取BC中点N,如果AC=6cm,则MN=______cm

4.点C是AB延长线上的一点,点D是AB中点,如果点B恰好是DC的中点,设 3 AB=2cm,则 AC=______cm
5.点A、B、C、D是直线上顺次四个点,且AB:BC:CD= 6cm 2:3:4,如果AC=10cm,那么BC=__________

已知线段AB = 4cm,延长AB到C,使BC = 2AB,若D为 AB的中点,则线段DC 的长为 10 cm。
4cm

8cm
B C

A

D 2cm

2cm + 8cm = 10cm

A、B、C、D四点在同一直线上(如图),若AB = CD, 则AC = CD。(填“>”、“=”或“<”)
A B C D

已知A、B是数轴上的两点,AB = 2,点B表示的数是-1, 1或-3 那么点A表示的数是 。 A
-5 -4 -3 -2

B
-1 0

A
1 2

线段的性质:两点的所有连线中, 线段最短,简单地说,两点之间线段最短

一天,小丑鱼和它 的朋友

在海里游玩, 碰到了凶恶的鲨鱼 NICK,小丑 鱼和它 的朋友为了逃到安 全地带,有三条路 可以选择,你猜它 们将选择哪条路?

连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离。
① ② ③

安全 的家

练一练
(1) 判 断 : 两 点 之 间 的 距 离 是 指 两 点 之 间 的 线 段 。 错 ( ) (2)如图:这是A、B两地之间的公路,在公路工程改造 计划时,为使A、B两地行程最短,应如何设计线路? 在图中画出。你的理由是 B A
两点之间线段最短 .

3、下列说法正确的是( D ) A、连结两点的线段叫做两点间的距离

B、两点间的连线的长度,叫做两点间的距离
C、连结两点的直线的长度,叫做两点的距离 D、连结两点的线段的长度,叫做两点间的距离

4、已知线段AB=5cm,延长AB到C,使AC=17cm, 取线段BC的中点D,求AD的长

趣味思考: 有条小河L,点A,B表示在河两岸的两个 村庄,现在要建造一座小桥,请你找出造桥的 位置,使得A,B两村的路程最短,并说明理由。
A
L

桥 B

问:若要在西湖风 景区建造一个消费 场所,为了方便游 客,要求是到图中 四个红色的旅游区 的距离之和最短, 请问应该建造在何 处?

F D E

C

解: 如图,线段AB与 线段CD的交点E 为所求的点,即 消费场所建在E 点位置最合适。
A

B

如图,要从甲地到乙地去,有3条路线,请你选择一条相对近一些的路.





乙地



甲地

从甲地到乙地能否修一条最近的路? 如果能,你认为这条路应该怎样修?




乙地



甲地

生活常识告诉我们: 结论:两点之间的所有连线中,线段最短.

如图,线段AB=8cm,点C是AB的中点,点D在CB上且
DB=1.5cm,求线段CD的长度.
A C D B

解:CB=

1 AB=4cm, 2

CD=CB-DB

=4cm-1.5cm=2.5cm.

1.判断题:
1)一条直线长100米.???? ( )

2)手电筒照在墙上,从灯泡到墙上光线是射 线.??????????? 3)线段是直线的一部分.??? 4)直线比射线长.?????? ( ( ( ) ) ) ) )

5)在射线上可以截取2厘米长的线段.? ( 6)过一个点只可以画一条射线.??(

A B C D 1、如图,点B、C在线段AD上. AC AC 则AB + BC =____; AD – CD =____; BD CD AC AB BC= ___ - ___= ____ - ____. 2、若AB=BC=CD,你能找出哪些等量关系 ?

3、如图所示,点C、D在直线AB上,则下 列关系错误的是( C ).

A、AB – AC = BD + CD
B、AB – CB = AD - CD

A

C

D

B

C、AC + CD = AB - CB D、AD – AC = BC - BD

4、下列说法中正确的是( C )
A、画一条3厘米长的直线 B、画一条3厘米长的射线 C、画一条3厘米长的线段 D、在直线、射线、线段中直线最长

5、已知线段AC = 1,BC = 3则线段AB的长度 是( A .4

D

). C. 2或4 D. 以上答案都不对

B.2

变式:

已知A、B、C是同一条直线上的三点,且

线段AC = 1,BC = 3,则线段AB的长度是( C
).

1 1.已知 AC ? BC ? AB ,那么 C 是 AB 的 2

中点. 2.已知:如图 1, B, C 是线段 AD 上的两点, 已知 AB ? 3cm, BD ? 5 cm,如果 AC ? 4cm, 则 CD ? 4 cm .

3. 如图 2,A, B, C , D, E 是直线上的顺次的五个点, 则(1) BD ? CD ? (2)CE ? CD
BC DE

; ;

?

(3) BE ? BC ? CD ? DE ; (4) BD ? AD ? AB ? BE ? DE .

【问题 3】从 A地到 B 地架设电线,总是尽可能 沿着线段 AB 架设,想一想,为什么?

两点之间,线段最短

4.如图 6,若 AB ? BC ? CD ,那么 AD ? 2 AD . AC ? 3

3 AB ,

5.如图 7 所示,C 和 D 是线段 AB 的三等分点, 1 BC , 点 M 是 AC 的中点,那么 CD ? 2 6 AB ? MC .

7.如图 8,从 A到 B 有 3 条路径,最知的路径是③, 理由是( D ) . A.因为③是直的 B.两点确定一条直线 C.两点间距离的定义 D.两点之间,线段最短

6.若点 B 在直线 AC 上,下列表达式:
1 ① AB ? AC ; 2

② AB ? BC ;③ AC ? 2 AB ; ④ AB ? BC ? AC . 其中能表示点 B 是线段 AC 的中点的有( A ) . A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

8.已知线段 AB ? 10厘米,PA ? PB ? 10厘米,下列说 法正确的是( C ) . A.点 P 不能在直线 AB 上 B.点 P 只能在直线 AB 上 C.点 P 只能在线段 AB 上 D.点 P 只能在线段 AB 上的延长线上

9.如图 9 所示,有时需要把弯曲河道改直,根据什么 几何性质可以说明这样能缩短航程.

两点之间,线段最短.

10.按以下长度, A, B, C 三点不在同一直线上的 是( B ) . A. AB ? 8 厘米, BC ? 19 厘米, AC ? 27厘米 B. AB ? 10厘米, BC ? 9厘米, AC ? 18.9厘米 C. AB ? 21厘米, BC ? 11厘米, AC ? 10厘米 D. AB ? 12厘米, BC ? 30厘米, AC ? 18厘米

11.已知线段 AB ,在 AB 的延长线上取一点 C ,使
BC ? 3 AB ,在直线 AC 上画线段 CD ,使CD ? AB ,若 AD ? 60cm,求线段 BD 的长.

线段BD的长为40cm或48cm.

12.已知线段 AB ? 20cm,试探讨下列问题: (1)是否存在一点 C ,使它到 A, B 两点的距离之和等于 15cm?并说明理由; (2)是否存在点 C ,使它到 A, B 两点的距离之和等于 20cm?若存在,它的位置唯一吗? (3) C 点到 A, B 两点的距离之和等于 30 cm 时, C 一 当 点 定在直线 AB 外吗?举例说明.

(1)不存在,因为“两点之间,线段最短” ; (2)存在点 C ,使它到 A, B 两点的距离之和等于 20cm.它的位置不唯一,在线段 AB 上任意一点都 符合; (3)点 C 不一定在直线 AB 外,点 C 还可能线段 AB 的延长线或反向延长线上.

★两点的所有连线中,线短最短,

简单说成;两点之 间,线段最短. ★连接两点间的线段的长度, 叫做这两点之间的距离.

13. 点C 是线段 AB 的中点, D 是线段 BC 上一点, 点 则下列说法不正确的是( D ) . A. CD ? AC ? BD
1 B. CD ? AB ? BD 2

C. CD ? AD ? BC
1 D. CD ? BC 2

14.已知点 C 在线段 AB 的延长线上,若线段
AB ? 5 cm, BC ? 4cm,那么 A, C 两点之间的距离

是( B ) . A.1cm C.1cm 或 9cm B.9cm D.以上都不对

15.下列说法正确的是( C ) . A.两点间距离的定义是指两点之间的线段 B.两点之间的距离是指两点之间的直线 C.两点之间的距离是指连续两点之间线段的长度 D.两点之间的距离是两点之间的直线的长度

16.如图 10,比较线段 AB 、线段 BC 的长度和与线 段 AC 的长度关系:AB ? BC 或“=”,你的理由是什么? )
>

AC(填 “<” , “>”

理由:
两点之间, 线段最短.

谈谈收获吧

两条线段长短比较的方法.
用尺规法作一条线段等于已知线段.


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