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精选初中数学几何证明经典试题(含答案)

发布时间:2013-10-11 10:31:47  

精选初中几何证明题

经典题(一)

1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.

求证:CD=GF.(初二)

E

A B D O F

2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150.

A D 求证:△PBC是正三角形.(初二)

C B 3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、

CC1、DD1的中点. D

求证:四边形A2B2C2D2是正方形.(初二) DAA1

1 C B2 2

C

4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC

的延长线交MN于E、F. 求证:∠DEN=∠F.

第 1 页 共 15 页 B

经典题(二)

1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O

(1)求证:AH=2OM;

(2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.(初二)

2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A及D、E,直线EB

及CD分别交MN于P、Q. 求证:AP=AQ.(初二)

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:

设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN

于P、Q.

求证:AP=AQ.(初二)

4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.

求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.

第 2 页 共 15 页

F

经典题(三)

1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.

求证:CE=CF.(初二)

2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.

求证:AE=AF.(初二)

3、设P是正方形ABCD一边

求证:PA=PF.(初二)

4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF

B、D.求证:AB=DC,BC=AD.(初三)

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经典题(四)

1、已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,

求:∠APB的度数.(初二)

2、设

P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.

求证:∠PAB=∠PCB.(初二)

3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=

AC·BD.(初三)

4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且

AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.(初二)

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经典难题(五)

1、 设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC, 求证:

≤L<2.

2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.

3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.

4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=300,∠EBA=200,求∠BED的度数.

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经典题(一)

1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EOGOCO==,又CO=EO,所以CD=GF得证。

GFGHCD

2. 如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150 所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC是正三角形

3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,

连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,

0由A2E=2A1B1=2B1C1= FB2 ,EB2=2AB=2BC=FC1 ,又∠GFQ+∠Q=90和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ,

可得△B2FC2≌△A2EB2 ,所以A2B2=B2C2 ,

又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,

从而可得∠A2B2 C2=900 ,

同理可得其他边垂直且相等,

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

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4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。

经典题(二)

1.(1)延长AD到F连BF,做OG⊥AF,

又∠F=∠ACB=∠BHD,

可得BH=BF,从而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200,

从而可得∠BOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。

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3.作OF⊥CD,OG⊥BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。

ADACCD2FDFD 由于, ====ABAEBE2BGBG

由此可得△ADF≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆,可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ, ∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ。

4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FH。可得PQ=

AI+BIAB= ,从而得证。 22EG+FH。 2 由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得FH=BI。 从而可得PQ=

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经典题(三)

1.顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.

由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750.

可证:CE=CF。

2.连接BD作CH⊥DE,可得四边形CGDH是正方形。 由AC=CE=2GC=2CH,

可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,

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又∠FAE=900+450+150=1500,

从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。

tan∠BAP=tan∠EPF=ZX=,可得YZ=XY-X2+XZ, YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出△ABP≌△PEF , 得到PA=PF ,得证 。

经典难题(四)

1. 顺时针旋转△ABP 600 ,连接PQ ,则△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以∠APB=1500 。

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2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC.

可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得:

AEBP共圆(一边所对两角相等)。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证。

3.在BD取一点E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC∽△ADC,可得:

BEAD =,即AD?BC=BE?AC, ① BCAC

又∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,既得

ABDE=,即AB?CD=DE?AC, ② ACDC

由①+②可得: AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC·BD ,得证。

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4.过D作AQ⊥AE ,AG⊥CF ,由S?ADE=

S?ABCD=S?DFC,可得: 2AE?PQAE?PQ=,由AE=FC。 22

可得DQ=DG,可得∠DPA=∠DPC(角平分线逆定理)。

经典题(五)

1.(1)顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上, 即如下图:可得最小L= ;

(2)过P点作BC的平行线交AB,AC与点D,F。

由于∠APD>∠ATP=∠ADP,

推出AD>AP ①

又BP+DP>BP ②

和PF+FC>PC ③

又DF=AF ④

由①②③④可得:最大L< 2 ;

由(1)和(2)既得:

≤L<2 。

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2.顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上, 即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。

既得

=

= 1)

= 2

=

= 。

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3.顺时针旋转△ABP 900 ,可得如下图:

既得正方形边长

L = a

= a 。

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4.在AB上找一点F,使∠BCF=600 ,

连接EF,DG,既得△BGC为等边三角形,

可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ,

得到BE=CF , FG=GE 。

推出 : △FGE为等边三角形 ,可得∠AFE=800 ,

既得:∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ,既得∠BGD=800 ,既得∠DGF=400 ② 推得:DF=DG ,得到:△DFE≌△DGE ,

从而推得:∠FED=∠BED=300 。

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