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(课件)《二次根式》复习

发布时间:2013-10-11 11:35:19  

知识结构
二次根式
概 念 同类二次根式 1、

最简二次根式
分母有理化

二 次 根 式

两个性质

? a?
2

2

2、

a?a ? 0? a ?a? ? a?a ? 0?
a b

? a?a ? 0?

两个公式

1、 2、

ab ? a ? b ?a ? 0, b ? 0?
a ? b

(a ? 0, b ? 0)

四种运算

加 、减、乘、除

二次根式的定义:

形如 a (a ? 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a ? 0, a ? 0. (双重非负性)
2

? a?
a

? a(a ? 0)

2

=∣a∣=

a (a≥ 0) -a (a<0)

1.下列各式中那些是二次根式?哪些不是?为 什么?
① ④

15

② ⑤

3a
2



x ? 100

a ?b
2
2

2

?a ?1⑥
3

?144



⑧ a ? 2a ? 1

5

2.二次根式的非负性的应用.
已知:

x?4

+

2x ? y

=0,求 x-y 的值.

解:由题意,得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
已知x,y为实数,且

+3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D x ?1
A.3 B.-3 C.1 D.-1

)

3实数p在数轴上

的位置如图所示,化简

(1 ? p) ?
2

?

2? p

?

2

? 1 ? p ? (2 ? p) ? p ?1 ? 2 ? p ?1

二次根式的乘法:
a ? b ? ab(a ? 0, b ? 0)
算术平方根的积等于各个被开方数积 的算术平方根
ab ? a ? (a ? 0,b ? 0) b

积的算术平方根等于积中各因式 的算术平方根.

计算

(1) 2 ? 6 (3) 1000? 0.1 3 2 (4) ? 2 3

(2) 12 ? 3

(5) 24 ? 3

归纳

二次根式有除法运算的性质

a a (a ≥0 , b>0) ? b b a a ? (a ≥0 , b>0) b b

试一试:

计算:

32 (1) 2 3 1 (3) ? 2 18

50 (2) 10

在二次根式的运算中,最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式.

(2) 最后结果中的二次根式要求写成最简 的二次根式的形式.

1.被开方数不含分母 2.被开方数不含开的尽方 的因数或因式

2.判断下列二次根式是否是最简二次根式,并说明 理由。

(1) 50 (4) 0.75

(2) a bc (5) (a ? b)(a ? b )
2 2

2

(3) x ? y
2

1 (6) 6 2

把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过 程叫做分母有理化。

计算
解:

?1?
3 ? 5

3 5
3? 5?

3 2 ?2? 27
5 15 ? 5 5
2? 3?

?3?

8 2a

?1?

解法.
3

?2?
?3?

2 3 ? 27 3

2 ? 3

3 ? 3

6 3

8 ? 2a

8 ? 2a 4 a 2 a ? ? 2a a 2a ? 2a

若两个含有二次根式的代数式 相乘,积不含有二次根式,则这两 个代数式互为有理化因式。
在进行根式计算时,利用有理 化因式,有时可以化去分母中的根 号,从而实现分母有理化。

注意:尽管教材不要求掌握有理化因 式,但是它可以为我们顺利解决相关 问题提供有利的帮助.

几个二次根式化成最简二次根式以 后,如果被开方数相同,这几个二 次根式就叫做同类二次根式. 判断同类二次根式的关键是什么?

(1)化成最简二次根式,
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)

2.在

下列各组根式中,是同类二次根式的 是( B )
A. C. 3. 与 A.

2 , 12

B.
2

2,

4ab , ab

D.

a ? 1, a ? 1

1 2

12 是同类二次根式的是( D ) 1 32 B. 24 C. 125 D. 6

27

4.如果最简二次根式 m?1 5 与 是同类二次根式,求m、n 的值.

m?n

2、二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把各个同类二次根式合并. (3)不是同类二次根式的不能合并.

练习1: (1) 18 ? 8 ? 2

(2) 75 ? 27 ? 8 3 1 (3) 48 ? 6 ?6 3 3

(4)下列计算正确的是(D ) A. 5 ? 2 ? 3 B.8 ? 3 2 ? 11 2 C.4 5 ? 5 ? 4 E. 2 x ? 3x ? 5x
3 1 D. a ? a ?? a 2 2

例2计算: 1 (1)2 12 ? 6 ? 3 48 3 (2)( 12 ? 20) ? ( 3 ? 5) 2 x 1 (3) 9x ? 6 ? 2x 3 4 x

先化简,

再合并

1 2 12 ? 6 20x ? 3 3 ? ? 4 ?3 ? 2 ?3 ? 12 33 ? 14x 3 1 5 ?1??.2 12x?? 6 ? 2 x48 ?52 x2 3 x2? 2 ?x ?? 5 2?. 9 3 ?3 ?3 . 3 3 4 x

解:

?

? ?

?

?3 3? 5

计算

1、注意运算顺序 2、运用运算律

(1). 27 ? 3 6 ? 2 (2). 8 ? 3 ? 6 (3).(4 2 ? 3 6 ) ? 2 2
整式运算的运算律在 二次根式的运算中仍然适应.

?

?

(1). 27 ? 3 6 ? 2 (2). 8 ? 3 ? 6
解:原式? 3 3 ? 3 12
解:原式

?

?

? 3 3 ?6 3
? ?3 3

? 8? 6 ? 3? 6 ? 48 ? 18 ? 3 3 ?3 2

(3).(4 2 ? 3 6 ) ? 2 2
解:原式? 4

2 ?2 2 ?3 6 ?2 2

3 ? 2? 3 2

1 2 1.若x ? ,则 x ? 2x ?1 ? ( 2 ?1 A. 2 C.2 ? 2
2 2

D

)

B. 2 ? 2 D.2

2. 已知:x ? y ? 19, xy ? 3, x 求 ? y y 的值。 5 3 x 3

练习: (1)(1- 5 ? 7)(1 ? 5 ? 7) (2)( 2 ? 3) ? ( 2 ? 3)
2 2

(3)(2 ? 5)

2005

? (2 ? 5)

2006


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