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初二数学培优第5讲 等腰三角形

发布时间:2013-10-11 13:34:32  

第5讲 等腰三角形(初步)

1.等腰三角形的性质:

(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互莺合(简写成“三线合

一”).

2.等腰三角形的判定:

(1)等腰三角形定义;

(2)如果一个直角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

基础回顾

例1 如图,△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,EF⊥AD交BC延长线于M.

(1)求证:∠BME=1(∠ACB-∠B); 2

(2)若EM平分AD,求证:∠CAM=∠B.

例2 等腰△ABC中,过其中一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形,求三

内角的度数.

分析:按直角、锐角、钝角三角形来分类讨论.

图① 图② 图③ 图④

练习

1.若等腰三角形一腰上的高,等于腰长的一半,求这个等腰三角形的顶角.

2.如图,过△ABC的顶点A,作直线AE与∠B的内角平分线BE垂直相交于E点,且与∠C的内角平分线交于P点.

(1)直接回答:当∠B与∠C满足什∠条件时,点P在△ABC内,在△ABC外,在△ABC的

边上?

(2)若P在△ABC内,过P作PQ ∥BC交AB、AC于Q、R.求证:QR=AQ+CR

方法运用

例3 如图,△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC中点,AD平分∠BAC,MF∥AD交AC于F.求

FC的长

.

例4 如图,在凸五边形ABCDE中,∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点, 求证:AM⊥CD.

练习

3.如图,∠B=∠C,∠ADB= 90°-1∠BDC.求证:△ABC是等腰三角形.

2

4.如图,直角梯形ABCD,CD∥AB,AB=AC,AE⊥AC,且AE=AD,连BE交AC于F.求证;BF=EF.

问题探究

例5 如图,已知B(-1,O),D(O,2),经过点C(3,0)的直线EC交直线BD于A,交y轴

于E,使AD=AE.

(1)求证:AB=AC;

(2)△ABC沿x轴方向平行移动时,AB交y轴于D,直线DF交AC延长线于F,交x轴

于G且BD=CF,

求证:OG长度不变.

图① 图②

例6 如图,BD平分∠ABC,AD=DE,EF∥BC,求证:

AB=EF.

练习

5.在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD为∠B的平分线.求证:

BC=BD+AD.

6.如图,直角坐标系中,A(O,4),B(4,O),点M、N分别在y轴和x轴上,N点在B点右侧,且AM=BN.

(1)求S△AOB;

(2)如图①,若点M在AO上,求证:CM=CN;

(3)如图②,若点M在y轴负半轴上,(2)中的结论是否成立,请说明理由.

图① 图②

7.已知,如图①,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(4,0).

(1) BD平分∠ABO的外角,∠AD0=45°,求∠BAD的大小;

(2)在①中,求AE的值; OB

(3)如图②,点P在OB上,AP⊥PF,∠OBF=135°,问AP是否变化?

PF

图① 图②

8.在△ABC中,AD为中线,BE为角平分线,BF=AC.

(1)求证:AE=EF;

(2)若EF=EG,点G在BC上.求证:∠ABG+∠AEG=180°;

(3)在(2)的条件下,若∠FEG=?,求∠FAG的大小.

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