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初二数学培优第4讲 角平分线、垂直平分线

发布时间:2013-10-11 13:34:34  

第4讲 角平分线、垂直平分线

本讲知识归纳

1.(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;

(2)与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

2.三角形三条边的垂直平分线交于一点(称为三角形的外心),这点到三角形三顶点的距离相等.

基础回顾

例1 已知,如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,P是AD上任一点.求

证:PE=PF.

例2 如图,在平面直角坐标系中,AF、BE为角平分线,MN⊥AF交y轴于N点.

(1)求∠AME;

(2)求证:AM=MN;

(3)连FG,问FG与AB的位置关系并证明,

练习

1.如图,AD为△ABC,的高,∠B=2∠C.求证:

CD=AB+BD.

2.如图,A(-1,0),B(0,),∠AB0=30°,∠OAB的角平分线与OB的垂直平分线相交于P点.

(1)求P点的坐标;

(2)作∠ABO的平分线交AP于M,判断△PBM的形状.

方法运用

例3 如图,∠AOB= 30°,点P是∠AOB内一点,P0=8,在∠AOB的两边上分别有点R、Q(均

不同于O).

(1)求△PQR周长的最小值;

(2)当△PQR周长取最小值时,求∠QPR的值.

分析:由对称变换作出符合要求的点Q与R,根据对称的性质,结合已知条件求出∠PQR

的周长与∠QPR的值.

例4 如图,已知直线MN与MN异侧两点A、B,在MN上求作一点P,使PA-PB最大,并说

明理由.

练习

3.已知,如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB= 90°.D是BC上一点,CD=2,BD=BE,∠DBE=90°,连接CE,交AB于M,且CE=6.在AB上找一点P,使△PCD周长最小,并求出这个最小值.

4.如图,长方形台球桌ABCD上,一球从AB边上某处P点出发,分别撞击球桌的边BC、CD、DA各一次后,又回到出发点P处,每次球撞击桌边时,撞击前后的路线与桌边所成的角相等(如图中∠?=∠?).已知AB=3,BC=4,求此球所走路线的总长度

.

问题探究

例5 如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(-1,0),点C的坐标是(1,0),点D为

y轴上一点,点A为第二象限内一动点,且∠BAC=2∠BDO,过D作DM⊥AC于M.

(1)求证:∠ABD=∠ACD;

(2)若点E在BA延长线上,求证:AD平分∠CAE;

(3)当A点运动时,

理由.

AC?AB的值是否发生变化?若不变,求其值,若变化,请说明AM

例6 已知等腰△ABC和等腰△ADE的顶点公共,B、A、E在同一条直线上,∠BAC=∠DAE,

PB=PD,PC=PE.

(1)如图1,若∠BAC=90°,则∠BPC+∠DPE= ;

(2)如图2,若∠BAC=?,则∠BPC+∠DPE= ;

(3)在图1的基础上将等腰Rt△ABC绕点A旋转一个角度,得到图3,则∠BPC+∠DPE= _ ;并证明你的结论

.

图1 图2 图3

练习

5.如图,P为△ABC的BC边垂直平分线上的一点,且∠PBC=

AC、AB于D、E.求证:

BE=CD. 1∠A,BP、CP的延长线分别交2

6.已知:△ACB为等腰直角三角形,点P在BC上,以AP为边长作正方形APEF.

(1)如图①,当点P在BC上时,求∠EBP;

(2)如图②,当点P在BC的延长线上时,求∠

EBP.

图① 图②

7.如图,A(-4,O),B(O,4),AE⊥BE,∠OAE=22.5°.

(1)求证:BD=2AE;

(2)若∠AP0=45°,问PA与PB有何位置关系.

图① 图②

8.如图,△ACO为等腰直角三角形.

(1)如图①,C(-1,3),求A点坐标;

(2)如图②,过A点作AE⊥AC,若∠EFO=∠CFO,求∠EOF的大小;

(3)如图③,当△ACO绕O点旋转时,过C点作CN⊥y轴,M为AO的中点,问∠MNO大小

是否发生变化?

图①

图② 图③

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