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初二数学培优第6讲 等边三角形

发布时间:2013-10-11 13:34:35  

第6讲 等边三角形

本讲知识归纳

1.等边三角形性质:

等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.

2.等边三角形的判定:

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;

(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

3.在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半.

基础回顾

例1 如图,D是等边△ABC内一点,DB=DA,BP=AB,∠P= 30°.求证:BD平分∠

PBC.

例2 如图,已知六边形ABCDEF中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°. 求证:AB+BC=EF+ED.

练习

1.如图.D、E分别是等边△ABC的BC、CA上的点,且AE=CD,AD与BE相交于F,CF⊥BE.求AF:BF的值.

2.已知六边形ABCDEF的每个内角都相等,且AB=1,BC=CD=DE=9.求这个六边形的周长

.

方法运用

例3 如图,O是等边△ABC内一点,已知∠AOB=115°,∠BOC=125°,求以OA、OB、OC为

边所构成三角形各内角的度数

.

练习

3.如图,A(O,4),B(-2,O),C(2,O),CM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N.

(1)求证:CM+CN=AB;

(2)过O点作直线EF交AC于E,BF与AC相交于P点,若AE+BF=AB,问PE与PF存在怎

样关系并证明.

图① 图②

问题探究

例4 如图,在正五边形ABCDE中.M、N分别是正五边形ABCDE边上的点,BM与CD交于点

0,且∠BON=108°.

(1)当点M、N在CD、DE上时(如图①),求证:BM=CN;

(2)当点M、N分别在DE、EA上时(如图②),试问BM=CN是否成立?说明理由

.

图① 图②

例5 如图,△ABC为等边三角形,D为BC上任一点,∠ADE=60°,边DE与∠ACB的外角平

分线相交于点E.

(1)求证:AD=DE;

(2)若点D在CB的延长线上,(1)的结论是否仍然成立?若成立请给予证明;若不成立,

请说明理由

.

图① 图②

练习

4.(1)如图,在等边△ABC中,在BC边上任取一点P.过点P作AC的平行线,过点C作AB

的平行线,两线交于点Q,求证:AP=BQ.

(2)在上面的条件下,点P在BC边上任意运动,延长AP交BQ于D,请画出图形.问AD

与BD+CD之间是否存在确定关系?若存在,请指明这个关系,并证明你的结论,若不存在,请说明理由.

5.如图,△AOB和△ACD是等边三角形,其中AB⊥x轴于E点,点E坐标为(3,0),点C(5,0).

(1)如图①,求BD的长;

(2)如图②,设BD交x轴于F点,求证:∠OFA=∠DFA;

(3)如图③,若点P为OB上一个动点(不与0、B重合),PM⊥OA于M,PN⊥AB于N.当P

在OB上运动时,下列两个结论:①PM+PN的值不变;②PM-PN的值不变.其中只有一个是正确的,请找出这个结论,并求出其值

.

图①

图② 图③

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