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圆和圆的位置关系

发布时间:2013-10-12 08:03:39  

点与圆的位置关系 名称 图例 r d r 点在圆内 点在圆上

d 与r 的数量关系

d<r d=r

d
r d 点在圆外

回顾

d>r

直线与圆的位置关系
图例

r d

r

d

r

d

名称 交点数

相离
0个

相切 1个

相交 2个
回顾

d与r
的数量 关系

d>r

d=r

d<r

生活中的圆与圆的位置关系

图片欣赏

生活中的数学

生活中的数学

你还能举一些生活中由圆和圆组 成的图案吗?

动手操作
请同学们在白纸上画出一个半径是5厘米 的圆,并画出一条经过它圆心的水平直线,如 图,用手上的圆形模板沿直线向所画的圆作相 对运动,观察在运动过程中,两圆的交点有几 种情况?

外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.

切点 外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.

相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点 内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.

特例

内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.

外离

外切

相交

内切

内含(同心圆)

圆 圆 与 和 圆 圆 的 的 位 位 置 置 关 关 系 系

外离 内含 外切 内切 相交

没 有 公 共 点 一 个 公 共 点 两 个 公 共 点

相 离

相 切

相 交

2008北京奥运会自行车比赛会标在图中两 圆的位置关系是_____

在图中有两圆的多种位置关系,请你找出 还没有的位置关系是 . 相交

在图中有两圆的多种位置关系,请你找出 还没有的位置关系是 相交和内切.

在图中有两圆的多种位置关系,请你找出还 内切 没有的位置关系是 .

在图中有两圆的多种位置关系,请你找出 相交 还没有的位置关系是 .

图中有几种相切?

外切内切

圆心距d:两圆心之间的距离

观 察 与 思 考

怎样从两圆的圆心距与两圆半径的数量关 系来判断两圆的位置关系?

R
O1

?

r
d

R
2

? O

O1 R

?

r
d

? O2
R

两圆外离 R

两圆外切

? d O1

r

? O

2

?dO r ? O
1
2

O1 r ? ?2 dO
两圆内含

两圆相交

两圆内切

活动2: 两圆的位置关系 d与r1和r2的关系 如果两个圆的半径分别为r11+r2(r1<r2), <=> d>r 和r 外离 圆心距(两圆圆心的距离)为d,当两圆外离时, <=> d=r1+r2 外切 d与r1和r2有怎样的关系?反过来,当d与r1和r2满 相交 <=> r2-r1<d<r 足这样的关系时,两圆一定外离吗? 1+r2 内切 <=> d=r2-r1 <=> d<r2-r1 内含
r1 r1 d ○2 ○1 ○ ○1d 1 r1 ○1

圆和圆的五种位置关系
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离

外切

相交

O1O2>R+r
R r

O1O2=R+r
R

R-r<O1O2<R+r
R
r

O1 O2

O1 O2

r

O1O2

内切

内含

同心圆 (一种特殊的内含)

O1O2=R-r

0≤O1O2<R-

r

O1O2=0

两圆位置关系的性质与判定:
位置关系

0
两圆外离
两圆外切

性质 判定
内 切

R―r

同 心 两圆内切 内 圆 含 两圆内含

两圆相交

位 d置 d >R+ r 0 关 d =R+ r 1 系 R? r <d <R+ r 2 外 数 R? r =d 切 外 1 相 离 0 字 R? 交 r >d 化

d 和R、 r关系 交 点 R+r

设⊙O和⊙P的半径分别为R、r, 圆心距为d。在下列情况下,两圆的位 置关系怎样?

(1)R=6,r=3,d=4 (2)R=5,r=2,d=1 (3)R=7,r=3,d=4 (4)R=5,r=2,d=7 (5)R=4, r=1, d=6

1.

如图⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm。 若以P为圆心作⊙P与⊙O相切,求⊙P的半径?

解:设⊙P的半径为R (1)若⊙O与⊙P外切, 则 OP=5+R =8 R=3 cm 8cm 解:设大圆的半径为5x,小圆的半径为3x (2)若⊙O与⊙P内切, O P ① 两圆外切时:5x+3x=8 得x=1则 OP=R-5=8, R=13 cm ∴两圆半径分别为5cm和3cm 所以⊙P的半径为3cm或13cm

. .

② 两.圆内切时:5x-3x=8 得x=4 2 两圆的半径之比为5:3,当两圆相切时,圆心距为 8cm,求两圆的半径? ∴两圆半径分别为20cm和12cm

1、⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,在下列情 况下,分别求出两 圆的圆心距d的取值范围:

d>7 d=7 (1)外离 ________ (2)外切 ________ (3)相交 ____________(4)内切 ________ 3<d<7 d=3 (5)内含___________ 0 ≤d<3
2、⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm, 求⊙O1和 ⊙O2的位置关系.设:
外切 外离 (2)O1O2=7cm ________ (1)O1O2=8cm ______ 内切 相交 (3)O1O2=5cm _______(4)O1O2=1cm _________ 内含 (5)O1O2=0cm _______

判断正误:
1、若两圆只有一个交点,则这两圆外切. ( × ) 2、如果两圆没有交点,则这两圆的位置关系是外 离. ( )

3、当O1O2=0时,两圆是同心圆.

×





4、若O1O2=1.5,r=1,R=3,则O1O2<R+r,所以两圆 √ 相交. ( ) 5、若O1O2=4,且r =7,R=3,则O1O2<R-r,所以 × 两圆内含. ( )

×

1、已知⊙O1、⊙O2的半径为r1、r2,如果r1= 5,r2=3,且⊙O1、⊙O2相切,那么圆心距

d=______. 8或2

例:如图,⊙○的半径为5cm,点P是
⊙○外一点,○P=8cm ,以P为圆心作一 相切 内切 个圆与⊙○ 外切 ,这个圆的半径应是多 少?

A

B



P

1.已知两个圆内切,圆心距是2cm,如果 一个圆的半径是3cm,那么另一个圆的半 径是多少?

2、已知⊙O1,⊙O2的半径为r1、r2如果r1=1,
r2=2,且⊙O1、⊙O2相外切,那么与⊙O1、⊙O2 都相切且半径为3的圆能画出几个?

6个

3、三个圆两两互相外切,它们的半径分别是 1、2、3,则以三个圆心为顶点的三角形应是 ( A ) A、直角三角形 C、钝角三角形 B、锐角三角形 D、无法确定

(第3题图)

4、已知两圆的半径分别为R和r (R>r),圆心距为d,且 R2+d2-r2=2dR,则两圆的位置关系 为( D ) A、相交 C、外切 B、内切 D、内

切或外切

5、如图,两个圆的圆心都在x轴

上,交点为A、B ,已知点A的坐标 为(-2,3),则点B的坐标为 (-2,-3) y _______。 A
○′ ○

B

x

6、如图所示,两圆轮叠靠在墙边,已 知两圆轮半径分别为4和1,则它们与 墙的切点A,B间的距离为( C ) A、3 C、4
A B O1

B、8 D、5

C O2

7.如图,建筑工地的地面上有三根外径都 是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其 最高点到地面的距离为______m. A
O1


O3

O2

. P
B



定圆O 的半径是4cm,动圆P 的半径是1cm. ⑴设⊙O 和⊙P相外切,点P 与点O 的距离是多少?点P可以在 什么样的线上移动? 解:因为⊙O与⊙P外切,
所以OP=4+1=5(cm). 点P在以O为圆心,以 5cm为半径的圆上运动. P

1cm

·

·

O
4cm

⑵设⊙O和⊙P相内切,情况又怎样?
解:因为⊙O与⊙P内切,
所以OP=4-1=3(cm). O P

·

·

点P在以O为圆心,以 3cm为半径的圆上运动.

试一试

圆和圆的位置关系

今有一圆形硬币,在这硬币的周围排列几枚同样 大小的硬币,使所有的硬币都与这枚硬币外切,并 且相邻彼此外切,则需硬币多少枚?

我们发现通过两圆圆心的直线是它的对称轴

O1

O2

O1

T O2

经过两圆圆心的直线叫做连心线
两圆相切时,由于切点是它们唯一的公共点, 所以切点一定在对称轴上.

如果两圆相切,那么切点一定在连心线上.

小结:
1)两圆的五种位置关系

2)用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量 关系来判别两圆的位置关系

再见


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