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九年级数学上册_24_2-5圆课件_新人教版2

发布时间:2013-10-12 08:03:41  

你知道赵州桥吗?

它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人 民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m, 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?

实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折, 重复几次,你发现了什么?由此你能得到 什么结论?

可以发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所
在直线都是它的对称轴,它有无数条对称轴.

看一看
C C

.
A

O E B A

.

O
E B

D

D

AE≠BE

AE=BE

AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C

A

M└


O

你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B 小明发现图中有: ③AM=BM, 由 ① CD是直径 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ② CD⊥AB

D

⌒ ⑤AD=BD.



垂径定理
连接OA,OB, 如图,小明的理由是: 在Rt△OAM和Rt△OBM中, 则OA=OB. ∵OA=OB,OM=OM, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. C ∴AM=BM. A B ∴点A和点B关于CD对称. M└ ∵⊙O关于直径CD对称,


O

∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.

D

⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.



垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所 对的两条弧. 如图∵ CD是直径, C CD⊥AB, A B
M└


O

∴AM=BM,

⌒ ⌒ AC =BC,

D

⌒ AD=BD.



AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C

A





M


O

D

你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的 B 想法和理由. 小明发现图中有: ②CD⊥AB, ⌒ ⌒ 可推得 ④AC=BC, 由 ① CD是直径 ⌒ ⌒ ③ AM=BM ⑤AD=BD.

垂径定理的逆定理
连接OA,OB, 如图,小明的理由是: 在△OAM和△OBM中, 则OA=OB. ∵OA=OB,OM=OM,AM=BM ∴△OAM≌△OBM. C ∴∠AMO= ∠ BMO. A B ∴CD⊥AB M└ ∵⊙O关于直径CD对称, ●O ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D

⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.



平分弦(不是直径)的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧.

例1 :如图,已知在⊙O中,弦AB 的长为8厘米,圆心O到AB的距离 为3厘米,求⊙O的半径。

A

E

B

. O

解:连结OA。过O作OE⊥AB,垂足为E, 则OE=3厘米,AE=BE。 ∵AB=8厘米 ∴AE=4厘米 在RtAOE中,根据勾股定理有OA=5厘米

∴⊙O的半径为5厘米。

例2:已知:如图,在以O为圆 心的两个同心圆中,大圆的弦 AB交小圆于C,D两点。 求证:AC=BD。

O
E C D B

.

A

证明:过O作OE⊥AB,垂足为E, 则AE=BE,CE=DE。 AE-CE=BE-DE。 所以,AC=BD

判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦

③垂直于弦的直径

平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦

⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦, 必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线,将弦所对 的两条弧分别三等分

1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m, 拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求 桥拱的半径(精确到0.1m).
37.4m

C
7.2m

A R

D

B

O

圆心角的概念
B A

O C

我们把顶点在圆心的 角叫做圆心角.
∠AOB ∠COD ∠BOD

D

∠AOC

探 究
如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’ 的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?
A′ B
A′ B

B′

B′

· O

A

O

·

A

A′

根据旋转的性质,将圆
B

B′

O

·

心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A′OB′的位置时, ∠AOB= ∠A′OB′,射线 OA与OA′重合, OB与OB′重合.而同圆的半径 A 相等,OA=OA′,OB=OB′, ∴点 A与 A′重合,B与B′重 合.

∴ AB与A ' B ' 重合,AB与A′B′重合.

AB ? A ' B '

AB ? A ' B '.

弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧相等,所对的弦也相等. 前提条件 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角
同圆或等圆中, 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角 有一组量相等, 它们所对应的其 相等 相等 ______,所对的弧_________. 余各组量也相 等.

相等 相等 _____, 所对的弦________;

例1:如图,在⊙O中, 11111111AC=BD,?1 ? 45?, 求∠2的度数。

解: ∵ AC=BD (已知)
∴ AC-BC=BD-BC (等式的性质) ∴

AB=CD
(在同圆中,相等的弧所 对的圆心角相等)

∴ ∠1=∠2=45°

一.判断下列说法是否正确:
1相等的圆心角所对的弧相等。( × ) 2相等的弧所对的弦相等。( × ) 3相等的弦所对的弧相等。( × ) 二.如图,⊙O中,AB=CD,
B 1 C D 2 O A

?1 ? 50

?

o ?2 ? ____. 50

例2 如图, 在⊙O中, =AC ,∠ACB=60°, AB

求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.

A

证明:

? AB=AC
∴ AB=AC. 又∠ACB=60°, ∴ AB=BC=CA. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
B

O

·
C

练习
如图,AB、CD是⊙O的两条弦.

AB ? CD (1)如果AB=CD,那么___________, ?AOB ? ?COD _________________.
(2)如果AB ? CD ,那么____________, AB=CD _____________. ?AOB ? ?COD (3)如果∠AOB=∠COD,那么 AB=CD _____________,_________. AB ? CD
A E

B

O

·
F

D

C

练习
如图,AB、CD是⊙O的两条弦. (4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD 于F,OE与OF相等吗?为什么?
OE ? OF ,
A
E B

证明: OE ? AB, OF ? CD    ? 1 1 ? AE ? AB, CF ? CD 2 2   又 ? AB

=CD    AE=CF ? C   又 ? OA=OC    Rt ?AOE ? Rt ?COF ?     OE ? OF . ?

O

·
F

D

圆周角

如下图,同学们能找到圆心角吗?它具有什么样 的特征?(顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心 角),今天我们要学习圆中的另一种特殊的角,它的 名称叫做圆周角。

圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢?像图(3)中的 解就叫做圆周角,而图(2)、(4)、(5)中的角 都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一 个角是不是圆周角。

(顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角)

探究:有关圆周角的度数
1. 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度? 2.90°的圆周角所对的弦是否是直径? 线段AB是⊙O的直径,点C是⊙O 上任意一点(除点A、B),那么, ∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角. 想想看,∠ACB 会是怎么样的角? 为什么呢?

证明:
因为OA=OB=OC,所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形,所以 ∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB. 又∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°, 所以∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°. 因此,不管点C在⊙O上何处(除点A、 B),∠ACB总等于90°,

结论: 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90° (直角)。反过来也是成立的,即90°的圆周角 所对的弦是圆的直径。

类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系? A A A C C C


O



O

B



O

B
B 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周 角和圆心角之间有的关系.

圆周角和圆心角的关系
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系? A C


A C


A C B


O

O

O

B
?

B

注意:圆心与圆周角的位置关系.

1.首先考虑一种特殊情况: 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. A ∵∠AOC是△ABO的外角, ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB, ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. B ●O C

1 即 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2

D C ●O

=

1 ∠COD, 2

1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2

B

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2

A C


=

1 ∠COD, 2

1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2

B

O

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.


周角定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角 的一半. C2
C1

C3

半圆(或直径) 所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所 对的弦是直径.

O

·

B

例1 如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长. 解:∵AB是直径,∴ ∠ACB= ∠ADB=90°. 在Rt△ABC中,
C

BC ?

AB2 ? AC 2 ? 102 ? 62 ? 8
∵CD平分∠ACB,

??ACD ? ?BCD.
∴AD=BD.

A

O

B

又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2, 2 2 ? AD ? BD ? AB ? ? 10 ? 5 2(cm) 2 2

D

2.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个 三角形是直角三角形.(提示:作出以这条边为直径的圆.) 1 已知:△ABC 中,CO为AB边上的中线, 且CO= AB 2 求证: △ABC 为直角三角形.
证明: 以AB为直径作⊙O, 1 ∵AO=BO, CO= 2 AB, ∴AO=BO=CO.
A · O C

B

∴点C在⊙O上.

又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2

∴ △ABC 为直角三角形.

1.AB、AC为⊙O的两条弦,延长CA到D,使
AD=AB,如果∠ADB=35° , 求∠BOC的度数。

∠BOC =140° ⌒ ⌒ 2、如图,在⊙O中,BC=2DE, ∠BOC=84°,
求∠A的度数。

∠A=21°

3. 如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D 为半圆上的两点,∠COD=50°,则 ∠CAD=______; 50°

4、在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周角分 别为(2x+100)°和(5x-30)°,则x=_ 20° _;

小结
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角 的一半. C2
C1

C3

半圆(或直径) 所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所 对的弦是直径.

O

·

B

垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧.
A

C M└


B
O

平分弦(不是直 径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条 弧.

D

例1:如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直 且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于 E,求证四边形ADOE是正方形. 证明:

?OE ? AC OD ? AB AB ? AC ??OEA ? 90? ?EAD ? 90? ?ODA ? 90?
∴四边形ADOE为矩形,AE ? AC,AD ? AB 又 ∵AC=AB
C

1 2

1 2

∴ AE=AD
E

∴ 四边形ADOE为正方形.
A

·
O D B

例2 已知:⊙O中弦 AB∥CD。 求证:AC=BD
证明:作直径MN⊥AB。 ∵AB∥CD,∴MN⊥CD。 则AM=BM,CM=DM
⌒ ⌒

M C A D B

.O
N









(垂直平分弦的直径平分弦所对的弦) AM-CM=BM-DM ∴AC=BD













M A B C A A O E D B

. O
C

.

.O
D B N

总结:

解决有关弦的问题,经常是 过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的 直径,连结半径等辅助线,为应用垂 径定理创造条件。

弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧相等,所对的弦也相等. 前提条件 在同圆或等圆中,相等的

弧所对的圆心角
同圆或等圆中, 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角 有一组量相等, 它们所对应的其 相等 相等 ______,所对的弧_________. 余各组量也相 等.

相等 相等 _____, 所对的弦________;

? ? BC ? 例3.如图,AB是⊙O 的直径, =CD ? DE, ∠COD=35°,求∠AOE 的度数.

解:
E D C

? ? ? ? BC ? CD ? DE
? ?BOC=?COD=?DOE=35
B

?

A

O

·

? ?AOE ? 180 ? 3 ? 35
?

?

? 75

?

圆周角定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角 的一半. C2
C1

C3

半圆(或直径) 所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所 对的弦是直径.

O

·

B

例4

一个圆形人工湖,弦AB是 湖上的一座桥,已知桥AB 长100m.测得圆周角 ∠C=45°求这个人工湖 的直径.
A

C

B

例4

一个圆形人工湖,弦 AB是湖上的一座桥, 已知桥AB长100m.测 得圆周角∠C=45°求 这个人工湖的直径.
A

C D

B


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