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线段的垂直平分线的性质

发布时间:2013-10-12 08:03:41  

13.1.2 线段的垂直平分线的性质

如果一个平面图形沿一条直线 折叠 ,直线两旁的部
分能够 互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.

对称轴 折痕所在的这条直线叫做_________.

A

A′
B′

B

C
把一个图形沿着某一条直线 折叠 ,如果它能

C′

够 与另一个图形重合 ,那么就说这两个图形关于这条直 线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是

对应点,叫做 对称点 .

m

A
C B D

F

E

?ABC和?DEF关于直线m对称,那么直线m是线段 AF CD 、 BE 的 垂直平分线 。 垂直平分线:经过线段中点并且垂直于这条线段 的直线,叫做这条线段的垂直平分线.

1.掌握线段垂直平分线的性质和判定.
2.会应用线段垂直平分线的性质和判定解题.

探索并证明线段垂直平分线的性质
如图,直线l 垂直平分线段AB,P1,P2,P3,?是 l 上的点,请猜想点P1,P2,P3,? 到点A 与点B 的距 离之间的数量关系. 相等. P3 你能用不同的方法验证这一结论吗? P
2

P1 A B

l

探索并证明线段垂直平分线的性质
请在图中的直线l 上任取一点P,那么点P与线段 AB 两个端点的距离相等吗?
P3 猜想:线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等. A P2 P1 B

l

探索并证明线段垂直平分线的性质
证明:“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等.” 已知:如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC =CB,点 P 在l 上. l 求证:PA =PB. P

A

C

B

探索并证明线段垂直平分线的性质
证明:∵ l⊥AB, ∴ ∠PCA =∠PCB. 又 AC =CB,PC =PC, ∴ △PCA ≌△PCB(SAS). A ∴ PA =PB. 线段垂直平分线的性 质: l P

C

B

线段垂直平分线上的 点与这条线段两个端点的 距离相等.

用符号语言表示为: ∵ CA =CB,l⊥AB, ∴ PA =PB.

课堂练习
练习1 如图,在△ABC 中,BC =8,AB 的中垂线 交BC于D,AC 的中垂线交BC 与E,则△ADE 的周长等 8 于______. A

B

D

E

C

课堂练习P62
2 如图,AD⊥BC,BD =DC,点C 在AE 的 垂直平分线上,AB,AC,CE 的长度有什么关系? AB+BD与DE 有什么关系? 解:∵ AD⊥BC,BD =DC, A
∴ ∴ ∵ ∴ AD 是BC 的垂直平分线, AB =AC. 点C 在AE 的垂直平 分线上, AC =CE.

B

D

C

E

∴ AB =AC =CE. ∵ AB =CE,BD =DC, ∴ AB +BD =CD +CE. 即 AB +BD =DE .

探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来,如果PA =PB,那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢? P 点P 在线段AB 的垂直平分线上.

已知:如图,PA =PB. 求证:点P 在线段AB 的垂直平 A 分线上.

B

探索并证明线段垂直平分线的判定
证明:过点P 作线段AB 的垂线PC, 垂足为C.则∠PCA =∠PCB =90°. 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中, ∵ PA =PB,PC =PC, ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB(HL). ∴ AC =

BC. A 又 PC⊥AB, ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上.

P

C

B

探索并证明线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平分 线上. 用数学符号表示为: ∵ PA =PB, ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上.

P

A

C

B

探索并证明线段垂直平分线的判定
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗? 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点? P 这些点能组成什么几何图形? 在线段AB 的垂直平分线l 上的 点与A,B 的距离都相等;反过来, 与A,B 的距离相等的点都在直线l 上,所以直线l 可以看成与两点A、 A B 的距离相等的所有点的集合.

C

B

课堂练习P62 2
练习3 如图,AB =AC,MB =MC.直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗?

A
解:∵ AB =AC, ∴ 点A 在BC 的垂直平分线. ∵ MB =MC, ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上, ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B 平分线.

M
D C

1、因为 AD为BC的中垂线 ,所以AB=AC。 线段垂直平分线上的点与这条 理由:
线段两个端点的距离相等.

A

B

D

C

2、因为 AB=AC ,所以A在线段BC的中垂线上 与一条线段两个端点距离相等的 理由:
点,在这条线段的垂直平分线上。
M

3、如图, NM是线段AB的中垂线, ①②③ 。 下列说法正确的有: ①AB⊥MN,②AD=DB, ③MN⊥AB, ④MD=DN,⑤AB是MN的垂直平分线

A

D N

B

课堂小结

(1)本节课学习了哪些内容? (2)线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的? 两者之间有什么关系? (3)如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线?

作业

P65习题13.1

6

如何作出线段的垂直平分线? 由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知, 只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可.

作线段的垂直平分线. 已知:线段AB. 求作:线段AB的垂直平分线.
A

C

B

(1)分别以点A,B为圆心, 作法:

以大于 1 AB的长为半径作弧,
2

D

两弧交于C,D两点. (2)作直线CD. CD即为所求.

结论:对于轴对称图形,只要 找到任意一组对应点,作出对 应点所连线段的垂直平分线, 就得到此图形的对称轴.

尺规作图
(P62) 如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已 知直线的垂线? (1)为什么任意取一点K ,使点K与点C 在直线两旁? 1 (2)为什么要以大于 DE 的长为半径作弧? 2 (3)为什么直线CF 就是所求作的垂线? C D A

E K
F B


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