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22.1一元二次方程第1课时

发布时间:2013-09-18 09:29:02  

22.1 一元二次方程
(第1课时)

知识回顾
3x-2=0

这是一个什么样的方程? 只含有一个未知数(元), 并且未知数的最高次数是1次的整 式 方程叫一元一次方程

知识引入
要设计一座2m高的人体雕像,修雕像的上部 (腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部 与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?
A

C

2cm

雕像上部的高度AC,下部的高度BC应 有如下关系: 2 AC BC 即 BC =2AC = BC 2

设雕像下部高xm,于是得方程
B

整理得 x2=2(2-x)

x2+2x-4=0①

问题展示
问题1 :如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm, 在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的无盖方盒的底 面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 (100-2x)cm,宽为(50-2x)cm。根据方盒 的底面积为3600cm2,得 x (100-2x)(50-2x)=3600. 整理,得 4x2-300x+1400=0. 化简,得 x2-75x+350=0 . ②

由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸.

问题2: 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每 天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
全部比赛共4×7=28场

设应邀请x个队参赛,每个队要与其他(x-1)个队各赛1场,由于甲队对
乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全队比赛共 场。 列方程 整理,得 化简,得

1 x ?x ? 1? 2

1 x? x ? 1? ? 28 2 1 2 1 x ? x ? 28 2 2

x ? x ? 56
2



由方程③可以得出参赛队数.

对比、观察、思考
3x-2=0① 相同点: ② 方程两边都是整式;都含有 一个未知数 不同点:

x ? 2x ? 4 ? 0
2

x ? x ? 56
2
2



x ? 75 x ? 350 ? 0

方程①中的未知数x最高次是1次 ④ 方程② ③ ④中的未知数x最高次 是2次

你能类比方程①的定义给
② ③ ④方程下定义吗?

一元二次方程
像这样的等号两边都是整式,只含有一个未
知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二

次)的方程,叫做一元二次方程.

一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方

ax 程, 经过整理,都可以化为,

2

? bx ? c ? 0?a ? 0?

的形式,我们把这种形式称为一元二次方程的一 般形式. 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中
二次项系数 一次项系数

a
b

ax2
bx

二次项
一次项 常数项

c

思考:为什么规定a≠0
当a=0时
当a≠0,b=0时 bx+c=0 ax2+c=0

当a≠0,c=0时
当a≠0,b=0,c=0时

ax2+bx=0
ax2=0

知识应用 试一试
1、判断下列方程中,哪些是一元二次方程?

(1)x2 +

1 2x

-3=0

(不是) (不是) ( 是)

(2)

x2 - 2y -3=0 (3) –5y2 +3y +1=0

(4) 2x2=0

(是 )
2 (5)ax +bx+c=0 (不一定)

知识应用
2例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般

形式,并写出其中的二次项系数,一次项系数及常数项. 解:去括号,得 3x2-3x=5x+10. 移项,合并同类项,得一元二次方程的 一般形式: 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为 -10.

练习 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写 出其中的二次项系数,一次项系数及常数项:

?1?

5x ? 1 ? 4 x;
2

? 2 ? 4x

2

? 81;

? 3? 4 x ? x ? 2 ? ? 25 ? 4 ?? 3 x ? 2 ?? x ? 1? ? 8 x ? 3

?1? 5x 2 ? 1 ? 4 x
一般式: x 2 5

? 4 x ? 1 ? 0.

?2? 4 x 2 ? 81

二次项系数为5,一次项系数-4,常数项-1.

? 81 ? 0. 二次项系数为4,一次项系数0,常数项-81.
一般式: 4x
2

?3?  ?x ? 2? ? 25 4x
一般式:

  2 ? 8 x ? 25 ? 0. 4x

二次项系数为4,一次项系数8,常数项-25.

?4?  x ? 2??x ? 1? ? 8x ? 3 ?3
一般式:

3x2 ? 7 x ? 1 ? 0.

二次项系数为3,一次项系数-7,常数项1.

2.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化 成一元二次方程的一般形式: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25, 求正方形的边长x; 解:设其边长为x,则面积为x2

4x2=25

25 x ? 4 25 5 5 x?? 4 x ? 或x ? ? (舍去) 2 2
2

(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100, 求矩形的长x;

解:设长为x,则宽(x-2)
x(x-2)=100. x2-2x-100=0.

(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与 全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一 段的长x;

解:设其中的较短一段为x,则另较长 一段为(1-x) x· = (1-x) 2 1 X2-3x+1=0.

本课小结
1. 一元二次方程的定义 2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0( a≠0 ) 3.一元二次方程中的二次项为ax2,a为二次项系数; 一次项为bx,一次项系数为b;常数项为c。

作业: 习题22.1

1, 2


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