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22.1_一元二次方程_课件

发布时间:2013-10-12 11:33:40  

义务教育课程标准实验教材九年级

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走近生活

问题1: 要设计一座2m高的人体雕像,根据有关实例表
明:当雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高 度比,等于下部与全部的高度比时,可增加雕像的和 谐与美感,问:雕像的下部应设计为多高? A

2-x
C

AC BC = BC 2



BC =2AC

2

设雕像下部高xm,于是得方程

2m

x
B

x2=2(2-x)

问题2: 同学们桌上有一张矩形纸片,长25cm,
宽15cm,在它的四角各剪去一个同样的正方 形,然后将四周突出部分折起,就能制作一 个无盖方盒, 如果要制作的无盖方盒的底面 积为300cm2,那么纸片各角应剪去的正方 形边长为多少cm?
(25-2x)(15-2x)=300

x
(15-2x)

(25-2x)

300cm2
25㎝

15㎝

问题3:
学校要组织一次排球邀请赛,参赛的 每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时 间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场 比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
1 x? x ? 1? ? 28 2

探究新知
方程① ② ③有什么特点?

① x2=2(2-x) ② (25-2x)(15-2x)=300 ③
1 x? x ? 1? ? 28 2

(1)这些方程的两边都是整式, (2)方程中只含有一个未知数,

(3)并且未知数的最高次数是2.
像这样等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.

一般地,任何一个关于x的一元二次 方程,经过整理,都能化成如下形式

ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? .
2

这种形式叫做一元二次方程的一般形式.

其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次
项,b是一次项系数;c是常数项.

判断下列方程是否为一元二次方程? 例1:

(1)x +x =36
(3)x+3y=36

2

? ?

(2) x + x =36

3

2

?
?

1 2 (4) 2 ? ? 0 x x
2

(5) x+1=0
2

?

(7)4 x ? 1 ? (2 x ? 3)
(8)( x ) ? 2 x ? 6 ? 0
2

x (6) ? 6 ? 3 2

? ?

例2:把下列方程化成一元二次方程的一般形 式,并写出它的二次项系数,一次项系数和 常数项。
方程 一般形式
2

二次项 一次项 常数 系数 系数 项

3x( x ?1) ? 5( x ? 2) 3x ? 8x ? 10 ? 0

3 1 2

-8
5 0 16

-10 0 -1 -17

x( x ? 5) ? 0

x ? 5x ? 0
2

1 ? 2x ? 0
2
2 2

2x ?1 ? 0
2

(2x ? 1) ? 2( x ? 3) 2 x 2 ? 16 x ? 17 ? 0 2

抢答:
一元二次方程
2

二次项 一次项 常数项 系数 系数

2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2

2 -4 3 4 m-3 3

1 2 -1

4 0 -1

2

2

2

0
1-m -8

-5
-m -10

3x(x-1)=5(x+2)

比一比
将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并 写出其中的二次项系数,一次项系数及常数项:

?1? 5x

2

?1 ? 4x
2

?2? 4x

? 81

?3?  ?x ? 2? ? 25 4x
?4??3x ? 2??x ? 1? ? 8x ? 3  

例题

讲解
例3. 方程(2a—4)x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方 程?在什么条件下此方程为一元一 次方程? 解:当a≠2时是一元二次方程;

当a=2,b≠0时是一元一次方程;

开动脑筋
关于x的方程(m -9) x +(m-3) x +5m-1=0,
(1)当m取何值时是一元二次方程?
2 2

m ≠±3
(2)当m取何值时是一元一次方程?

m =-3

?
一元一次方程与一元二次 方程有什么联系与区别?
一元一次方程 一元二次方程

一般式
相同点 不同点

ax2+bx+c=0 (a≠0) 整式方程,只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2

ax+b=0 (a≠0)





认识了一元二次方程,接下来我们 就要探求一元二次方程的解. 方程解的定义是怎样的呢?

能使方程左右两边相等的 未知数的值就叫方程的解

问题 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之 间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应 邀请多少个队参加比赛?

解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:

1 x( x ? 1) ? 28 2
即:x(x-1)=56

思考:
? ? ? ? 你能否说出下列方程的解? 2 1) x ? 36 ? 0 2 2) x ? 36 ? 0 2 3) ( x ? 6) ? 0

一元二次方程的根的情况与一元一 次方程有什么不同吗?

练习:
2

1)下面哪些数是方程 x ? x ? 6 ? 0 的根? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2 2)你能写出方程 x ? x ? 0 的根吗?
0或1 即:平方后是它本身的数是哪些?

例题讲解
1)已知关于x的一元二次方程 则a的值为?B ?
A.1 B.-1

( a ? 1) x ? x ? a ? 1 ? 0,的一根是0
2 2

C.1或-1

D.0

?

例题讲解 例题讲解

(2)关于x的方程 (m ? 2) x ? 3m x ? m ? 4 ? 0
2 2 2 2

有一根为 , 则2m ? 4m ? 3 0
2

的值为多少?

?

解 : 0是方程的解 ∵ ? 代入得m ? 4 ? 0 ? m ? ?2
2

经检验m ? ?2都符合题意 ? 2m ? 4m ? 3 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3
2 2

或2m ? 4m ? 3 ? 2 ? (?2) ? 4 ? (?2) ? 3 ? 19
2 2

? 代数式的值为 或19. 3

1)若a ? b ? c ? 0, 则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0必有一解为 1 .
2

2)若a ? b ? c ? 0, 则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0必有一解为 -1.
2

3)若4a ? 2b ? c ? 0, 则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0必有一解为 2. 4)根据下表的对应值 试判断一元二次 ,
2

? 方程ax ? bx ? c ? 0的一解的范围是 C?
2

x
ax2 ? bx ? c

3.23 -0.06

3.24 -0.02

3.25 0.03

3.26 0.07

A 3<x <3.23 C 3.24<x <3.25

B 3.23<x <3.24 D 3.25<x <3.26

练一练: 1.方程(mx-1)x2+mx+1=0为关于x的一元二 次方程则m的值为___ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1 2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2+bx+c=0 B mx2+x-m2=0 C (m+1)x2=(m+1)2 D (m2+1) x2-m2=0

? (m ? 3) x ? 5 ?

0 中, 3.方程 (m ? 2) x 当m为何值时,此方程为一元二次方程?当m为 何值时,此方程为一元一次方程?

m2 ?2

1、一元二次方程 3x2+x=2 的二次项系数 3 1 为 ,一次项系数为 , 常数项为 -2 。 2、判断关于x的方程3x2-mx(3x+3m-1)=2x+1 是不是一元二次方程,如果是,指出其二次项系 数,一次项系数和常数项。

?

3.当m为何值时,方程

(m ? 1) x

4m

?2

? 27mx ? 5 ? 0

是关于x的一元二次方程. 4. 将下列方程化为一般形式,并分别指 出它们的二次项、一次项和常数项及它 们的系数: ⑴ 6y ? y
2




? ( x ? 2)(x ? 3) ? 8
(2 3 ? x)(2 3 ? x) ? ( x ? 3)
2

?

若方程x2a+b-2xa-b+3=0是关于 x的一元二次方程,则a、b的 值各是多少?
?2 a ? b ? 2 ? ?a ? b ? 2 ?2 a ? b ? 1 ? ?a ? b ? 2 ?2 a ? b ? 2 ? ?a ? b ? 1 ?2 a ? b ? 2 ? ?a ? b ? 0

?2 a ? b ? 0 ? ?a ? b ? 2

1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 化为 ax 2 ? bx的形式,我们把 ?c ?0 ax ? bx ? c ? 0 (a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式。

3、模仿一元二次方程的定义你能对一元三次 方程下个定义吗?请你试试看!


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