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多边形及其内角和(二)

发布时间:2013-10-13 12:34:57  

人教版数学教材八年级上

7.3多边形及其内角和(二)
济阳初中

回顾思考:
1.多边形定义:一般地,由n条不在同一直 线上的线段首尾顺次连结组成的平面图 形称为n边形,又称为多边形. 2.特殊的多边形:如果多边形各边都相等, 各个角也都相等,那么这样的多边形就 叫做正多边形. 3. n边形从一个顶点出发,能引出n-3条对 角线 4. n边形从一个顶点出发,能引出n-3条对 角线可把n边形分成了n-2个三角形?

探索多边形的内角和
A D

图中有几个三角形?
2个

B C

四边形的内角和是 多少度?
360°

探索多边形的内角和
A D
E

图中有几个三角形?
3个

B

五边形的内角和是 多少度?
C
540°

探索多边形的内角和
A B

图中有几个三角形?
E

4个

D

F

六边形的内角和是 多少度?
720°

C

探索多(n)边形的内角和

多 边 形 的 边 数 分成三角形的个数 多边形的内角和

3

4

5

6

7

… … …

n

1

2

3

4

5

n-2
(n-2)×180°

180° 360° 540° 720° 900°

n边形的内角和=(n-2)· 180°

结论:
多边形内角和定理:

n边形的内角和等于(n-2)· 180?.
说明: (1)多边形的内角和仅与边数有关,与多边形 的大小、形状无关; (2)强调凸多边形的内角?的范围:0?<?<180?.

例1:求八边形的内角和的度数。
解:
∵ n=8 ∴(n-2)×180°=(8-2)×180°

=1080°
答:八边形的内角和为1080°。

例2:一个正多边形的一个内角为150°, 你知道它是几边形吗? 解:设 这个多边形为n边形,根据题意得: (n-2)×180=150n

n=12
答:这个多边形是12边形。

巩固练习:

1、七边形内角和为(900°) 2、十边形内角和为(1440° ) 3、多边形内角和为1080°则它是 ( 六 )边形。 4、多边形内角和为1800°则它是 ( 十 )边形。
5、有一个正多边形的外角是60°,

那么该正多边形是正( 六 )边形。

问题
大家清晨跑步吗?小明就有每天坚持 跑步的好习惯,他怎样跑步呢?右图就是 小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑, 按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并 思考如下几个问题: (1)小明每从一条街道转到下一条街道时,身 体转过的角是哪个角?在图中标出它们. 1 A 5 E 4

B

2
C 3 D

(2)他每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少?
(3)在上图中,你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 的大小吗?你是怎样得到的?

探索:分别求出下列多边形的外角和的度数.
1

1

1

2

4
4 3

5

3 2
2

3

360°
1 2 3 5 4 6

360°
1 2 3 4

360°
8 7 6 5

360°

360°

猜想与说理:
n边形的外角和是多少度呢?
答:都是360°.因为多边形的外角与它相邻 的内角是邻补角,所以n边形的外角和加内角 和等于n· 180°,内角和为(n-2)· 180°,因此, 外角和为

:n· 180°-(n-2)· 180°= 360°.

结论:多边形的外角和都等于360°.

例3:一个多边形的内角和等 于它的 外角和的3倍,它 是几边形?

解:设它是n边形,
则:(n-2).180°=3×360°

解之得:n=8
答:它是8边形

例4:一个正多边形的每个内角比相 邻外角大36°求这个多边形的边数。
解:设一个外角为x, 则内角为 x+36° 根据题意得: x+x+36°=180° ∴ x=72° 360°÷72°=5 答:这个正多边形为正五边形。

巩固练习二:
1、一个十边形的每一个内角都相等, 那么这个十边形的每一外角等于( C )

A、144° B、 72 ° C、 36° D 、18°
2、一个多边形每一个外角都等于45°,

则这个多边形的内角和等于( C )
A、 720° B、 675° C、 1080°D、945°

练习:

1.一个多边形的外角都等于60°, 这个多边形是几边形?
解:因为多边形的外角和等于360°, 所以根据题意,可知道这个多边形的 边数是:360÷60=6 .
答:这个多边形是六边形.

2.下图是三个完全相同的正多边形 拼成的无缝隙不重叠的图形的一部 分,这种多边形是几边形?为什么?
解:设:这个正多边形的一个内 角 为 x° , 则 由 题 图 得 : 3x=360°. x=120°.再根据多边 形 的 内 角 和 公 式 得 : n×120°=(n-2)×180°. 解得 n=6 . 答:这种多边形是六边形

3、一个多边形的内角和 是外角和的4倍,这是几边 形?
解:设是n边形,则:
(n-2)×180°=4×180° 解之得:n=6,

答:这个多边形是六边形

4、四边形的四个内角的比 是8:6:3:7,求它的四个内角.
解:设它的四个内角分别为8x 6x 3x 7x ,则: 8x + 6x + 3x + 7x =360°解之得:x=15° 答:它的四个内角分别为 120°90°45°105°

5、一个多边形的每个内角都比 相邻的外角3倍多20度,求这个 多边形的边数.
解:设每个内角为x, 则:x=(180 ° -x)×3+20° 解之得:x=140 ° ∵ (n-2) ×180 °=n ×140 ° ∴n=9 答:这个多边形是九边形

6、两个多边形的边数比是1:2, 两个多边形的内角和为1440度, 求这两个多边形的边数.
解:设一个多边形的边数为n,则:另 个多边形的边数为2n 由题意可知: (n-2) × 180 °+ (2n-2) × 180 °=1440° 解之得:n=4
答:这两个多边形是四边形和八边形


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