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24.2.2直线与圆的位置关系(第三课时)

发布时间:2013-10-13 13:35:50  

南宁市良庆区南晓中学

滕少英

问题1:过平面内一已知点,画一已知圆的切线会 有几种情形?
P O P P 1)点P在圆内 无切线 2)点P在圆上 有且只有一条切线 3)点P在圆外 O O

问题2:过圆外一点P如何画圆的切线,能画几条?

如图,已知⊙O外一点P,你能用尺规过点P 作⊙O的切线吗? A 1.连结OP 2.以OP为直径作⊙O′, 与⊙O交于A、B两点, · o· ′ 连接AP,BP
即直线PA、PB为⊙O的切线 通过作图你能发现什么呢? 1.过圆外一点作圆的切线可以作两条 2.点A和点B关于直线OP对称
o B

p

在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段 的长叫做这点到圆的切线长
A

切线与切线长的区 别与联系:
1)切线是一条与圆 相切的直线,不可度 量



P

B

2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长,可 以度量

如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点。如果连结OA、 OB、OP,图中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系? ∵ PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点 A ∴OA⊥PA,OB⊥PB
又∵OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB,∠APO=∠BPO

·
B

p

o

切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
A

∵ PA、PB是⊙O的切线, A、B为切点 ∴PA=PB,∠APO=∠BPO

·
B

p

o

思考: 如图,若连接AB,则OP与AB有什么关系?
A

∴PA=PB,∠APO=∠BPO ∴OP⊥AB,且OP平分AB

从圆外一点引圆的两条切 线,圆心和这一点的连线 垂直平分切点所成的弦; 平分切点所成的弧。

实际上,这个图形是轴对称图形,对称轴是直线OP

o

∵ PA、PB是⊙O的切线, A、B为切点

·
B

C D

p

⌒ ⌒ AD与BD 相等吗?

切线长定理的应用
例1、已知:PA,PB分别切⊙O于A、B,CD切 ⊙O于E,PO=13,AO=5,则△PCD周长为 ______
解:∵PA是切线 ∴AP⊥AO 又∵PO=13,AO=5 ∴AP=12 又∵ PB是切线 ∴ PB=PA=12 又∵ CD是切线 ∴ DA=DE,CE=CB
D P A O

E
C B

∴ △ PCD周长=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE =PA+PB =24

切线长定理的应用
练习 1、如图,PA、PB分别切圆O于A、B,并与 ⊙O的切线DC分别相交于C、D,已知 PA=7cm,则△PCD的周长等于_________
D P C B A O

切线长定理的应用
练习 如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 ☉O分别相切于点L、M、N、P 求证:AB+CD=AD+BC
D
P A L N C M

B

思考

如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?

如何确定这个圆的圆心位置,与半径大小?

1)分别作∠ABC,∠ACB的 平分线相交于点⊙O 2)过点O作OD⊥BC 3)以O为圆心,OD为半径作圆 ⊙O就为⊿ABC 中面积最大的圆 内切圆和内心的定义:

O D

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三

角形三条角平分线的交点,叫做三角

形的内心.

三角形外接圆
C

三角形内切圆
C

. o
A B B

. o
A

外接圆圆心:三角形三边 垂直平分线的交点。
外接圆的半径:交点到三 角形任意一个顶点的距离。

内切圆圆心:三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径:交点到三 角形任意一边的垂直距离。

例1、已知△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切 于点D,E,F。若BC=16 cm ,AC=10cm,AB=12cm。 求AF,BD,CE。 ? x F
9-X

解:设AF=xcm,则 AE=x CE=CD=12-x BD=BF=10-x

A

x
E
O
13-X

∵BC=BD+CD
∴12-x+10-x=16 解得x=3 ∴AF=3,BD=7,CE=9

B

9-X

D

13-X

C

? AF、BD、CE的长分别是 cm、 、 。 3 7cm 9cm

练习P98: 1、如图,在△ABC中,点O是内心, ∠ABC=50°, ∠ACB=75°,求∠BOC的度数 (1)∵点O是△ABC的内心, 1 1 ∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= ?50°= 25° 2 2 1 1 同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= ?75° = 37.5° 2 2
∴ ∠BOC=180 °-(∠1+ ∠3) = 180 °-(25°+ 37.5 °) B
2 )1

A O
4 3(

C

变式训练: 如图,在△ABC中,点O是内心, ∠A=70°, 求∠BOC的度数 1 0 0 BOC=180 -( ∠ 1+ ∠ 3) =180 - 21800- ∠ A) (
1 =180 - ( ∠ B+ ∠ C) 2
0

=117.5°

=900- 1 ∠A 2

如图,某市有一块由三条马路围成的三角 形绿地,现准备在其中建一小亭供人们休 息,要求小亭中心到三条马路的距离相等 ,试确定小亭的中心位置。(不写作法, 保留作图痕迹)

课后思考:
如图,有一张四边形ABCD纸片,且 AB=AD=6cm,CB=CD=8cm, ∠B=90°. (1)要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆 形纸片,你能否用折叠的方法找出圆心,若 能请你度量出圆的半径(精确到0.1cm); (2)计算出最大的圆形纸片的半径(要求精 确值


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