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一次函数(知识点+题型)

发布时间:2013-10-13 13:35:51  

初二(上)数学 知识改变命运创造未来

【教学标题】一次函数

【教学目标】

1、 正比例函数和一次函数的概念及性质,知道正比例函数和一次函数的图像形状、位置与

解析式的关系,会用待定系数法确定函数的解析式,能运用函数知识解决一些实际问题;

2、 掌握数学解题的几种常用方法:数形结合、分类讨论、待定系数法等;

3、提高分析问题和应用函数知识解决实际问题的能力。

【重点难点】

一次函数与面积相关题型

【教学内容】

1、一次函数和正比例函数(重点)

一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,其中k一次项系

1

数(以后的学习中我们常称作斜率),例如y=2x-1,y=2x等都是一次函数。特别地,当一次函数y=kx+b中的b为0时,函数y=kx(k是常数,k≠0)叫做正比例函数。例如y=2x,y=-3x等都是正比例函数。

正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数。一次函数和正比例函数的关系如图所示,就像等边三角形与等腰三角形的关系一样。

例1:下列函数,那些是一次函数?哪些是正比例函数?

x8y??y??2y?8x?x(1?8x)3x(1);(2);(3); 1?8x. (4)y?

解析:形如y=kx(k≠0)的函数,既是正比例函数,又是一次函数,因为正比例函数是特殊的一次函数。

m?8y?(m?3)x?1例2:已知,当m为何值时,y是x的一次函数? 2

解析:一次函数y=kx+b中一次项系数k≠0,在解决这类题目是不要忽略这个条件。本题中

28?1m?3?0此外,本题中x的指数m?。

n-1例3:要使y=(m-2)x+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .

1

初二(上)数学 知识改变命运创造未来

2、一次函数的图像及画法:

(1)一次函数的图像

?2x?1x?1通过描点发画出:y?2x;y?2;y?的函数图像

我们通过画一次函数的图像发现:任何一个一次函数的图像都是一条直线,且具有以下特点:

① 正比例函数y=kx(k≠0)的图像是经过原点(0,0)和(1,k)两点的一条直线。也就是说在平面直角坐标系里过原点(与x轴和y轴不重合)的直线是正比例函数的图像。 ② 画正比例函数的图像时:过(0,0)、(1,k)两点画一条直线即可。

③ 一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图像是经过点(0,b)且和直线y=kx平行的一条直线。由图像特点可以区别一次函数和正比例函数的图像。

(2)一次函数图像的画法:

由于两点确定一条直线,因此,画一次函数的图像使用之前学过的描点法,只需要要确定两点即可。所以在直角坐标系里,画一次函数或正比例函数的图像时,先描出适合解析式的两个点,再连成线就得到了一次函数或正比例函数的图像。

(3)实际问题中的一次函数图像:

在实际问题中,由于自变量x的取值范围受到一定的限制(比如涉及到实际问题x一般都是取正值),一次函数的图像就不是一条直线了,有时是一条射线或线段或直线上的部分点构成的,主要看自变量x的取值范围。

例1:在同一直角坐标系里画出下列函数的图像。

(1) y=2x与y=2x+3;

1

(2) y=2x+1与y=2x+1

解析:选两点以计算和描点简单为原则。一般地,当b≠0时,画一般的一次函数的y=kx+b

b

的图像时,应选择它与两坐标轴的交点:(0,b)和(k,0);画正比例函数时,通常选?

22

取(0,0)、(1,k)两点。例如画正比例函数y=3x的图像,可以选择(0,0)、(1,3)两点,或是(0,0)、(3,2)两点。

观察本题中得到的图像,可以看出:直线y=k1x与直线y=k2x+b,若k1=k2时,两条直线平 2

初二(上)数学 知识改变命运创造未来 行。因此,画一次函数y=kx+b的图像除了上述的方法外,还可以将y=kx沿y轴平移单位长度而得到(当b>0,向上平移;当b<0,向下平移)。 b个

11

例2:画正比例函数y=3x与y=-3x的图像。

解析:画正比例函数y=kx的图像,通常选择(0,0)、(1,k)两点。

1

观察本题中得到的图像,可以得到两个正比例函数都经过(0,0)点,当k=3>0,图像过

1

一、三象限,直线由左向右y值在增大,即y随x 的增大而增大;;当k=-3<0时,图像过二、四象限,直线由左向右y值在下降,即y随x 的增大而减小。

例3:在同一直角坐标系里画出一次函数y=2x+1和y=-2x+1的图像。

解析:y=2x+1和y=-2x+1都是b≠0的一次函数,画这样的一次函数图像,通常选取(0,b)b

和(k,0)两点。 ?

3、一次函数和正比例函数的图像性质(重点)

(1)一次函数y=kx+b的图像是经过点(0,b)的直线,这个点是直线y=kx+b和y轴的交点。当b>0,此交点在y轴的正半轴上;当b<0,此交点在y轴的负半轴上;当b=0,此交点在原点,此时一次函数就是正比例函数。

(2)正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的直线。

(3)一次函数y=kx+b的图像,当k>0,直线由左向右y值在增大,即y随x 的增大而增大;当k<0,直线由左向右y值在下降,即y随x 的增大而减小。

例1:已知一次函数y=(6+3m)x+(m-4),y随x的增大而增大,函数的图像与y轴的交点在y轴的负半轴上,求m的取值范围。

解析:根据一次函数图像的性质可知:6+3m>0,且m-4<0,解这两个不等式,求公共解即可。

?(mx?4)?m?2例 2:已知m是整数,且一次函数y的图象不过第二象限,则m

为 .

???xa例 3:若直线y和直线y?x?b的交点坐标为(m,8),则a?b?.

例4:在同一直角坐标系内,直线

=-2x+3y=x+3与直线y都经过3

初二(上)数学 知识改变命运创造未来 点 .

=-2x+2m-5例5:当m满足 时,一次函数y的图象与y轴交于负半轴.

y?

例6:函数3x?12,如果y?0,那么x的取值范围是 .

例7:已知函数y=(k-1)x+k2-1,当k_______时,它是一次函数,当k=_______?时,它是正比例函数.

1y??x?52例8:如图1是函数的一部分图像,(1)自变量x的取值范围

是 ;(2)当x取 时,y的最小值为 ;(3)在(1)

中x的取值范围内,y随x的增大而 .

例9:已知一次函数

(1)

(2)

(3)y=(6+3m)xn+(-4),求: m为何值时,y随x的增大而减小; 轴的交点在m,n分别为何值时,函数的图象与yx轴的下方? m,n分别为何值时,函数的图象经过原点?

m=-1,n=-2时,设此一次函数与x轴交于A,与(4)当

面积。

y轴交于B,试求△OAB

4、直线y=kx+b的位置与k、b之间的关系(难点)

直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的,其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势(两种情况);b决定直线与y轴交点的位置,是在正半轴上还是在负半轴上,还是在原点上(三种情况)。k和b综合起来决定直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置有以下六种情况:

(1)k>0,b>

直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限)

(2

)k

>0,b<直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限);

(3)k<0,b>直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);

(4)k<0,b<直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限);

(5)k>0,直线经过第一、三象限;

4

初二(上)数学 知识改变命运创造未来

(6)k>0,

直线经过第二、四象限;

规律:由k和b的符号可决定直线y=kx+b的位置;反过来,由直线y=kx+b图像的位置可决定k和b的符号,这种“数”与“形”的相互转化是数学中的一种重要的思想,对解题很有帮助。

例1:已知直线y1=kx+b经过一、二、四象限,则直线y2=bx+k不经过几象限。

例2:如果一次函数y=kx+(k-1)的图像经过第一、三、四象限,则k的取值范围是 。

3m?x的交点在第三象限内,则m的取值范围4x?2与直线y?例3:已知直线y?

是 .

2x?b与直线y?3x?4的交点在x轴上. 例4:b为 时,直线y?

?kx?b?1例5:一次函数y的图象如图2,则3b与2k的大小关系

?kx?b?1是 ,当b?时,y是正比例函数.

x?b的图象过点(m,1)和(1,m)两点,且m?1,则k?,b的例6:一次函数y?k

取值范围是 .

解析:借助函数的图像,利用数形结合的方法,运用函数的有关性质解决问题,

是解此类问题的关键。

3、 一次函数解析式的确定(重点)

求一次函数的解析式,关键求出k,b的值,一般的可以根据已知条件列出关于k,b的二元一次方程组,求出k,b的值,从而求出一次函数的解析式,这种求一次函数的解析式的方法叫做待定系数法。

待定系数法解题的一般步骤:

(1)确定所求问题含待定系数的解析式y=kx+b或y=kx;

(2)根据恒等条件,列出一组含待定系数k和b的二元一次方程组;

(3)解方程或消去待定系数,求出k,b的值,从而求出一次函数的解析式。

注意:对于正比例函数y=kx中,只有一个待定系数k,一般只需要一个条件即可求出k值;而一次函数y=kx+b有两个待定系数k和b,需要两个条件,才能求出k和b的值。 例1:已知一次函数的图像经过(-4,15)(6,-5)两点,求此一次函数的解析式。 解析;图像上的每一点的横坐标和纵坐标都是这个函数中自变量与函数的一对对应值。 例2:已知直线y=kx+b经过点A(0,6),且平行于直线y=-2x。

5

初二(上)数学 知识改变命运创造未来

(1) 求该直线的函数解析式;

(2) 如果这条直线经过P(m,2),求m的值。

例3:已知一次函数图像经过点(0,-2),且与坐标轴围成的三角形的面积为3,求一次函数的解析式。

y??x?

例4:已知一次函数y?kx?b(?2,5)3

的图象经过点,且它与y轴的交点和直线2

与y轴的交点关于x轴对称,那么这个一次函数的解析式为 .

例5:已知一次函数y?kx?b的图像经过A(-3,-2)及点(1,6),求函数的解析式,并求出该函数图像与坐标轴围成的面积。

例6:一次函数的图像交x轴于点B(-6,0),交正比例函数的图像于A,且A点的横坐标为-4,S△AOB=15.求一次函数和正比例函数的解析式。

【过手练习】

一、选择题

1、下列函数中,y是x的一次函数的是( )①y=x-6;②y= -3x –1;③y=-0.6x;④y=7-x

A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、②③④

2、一次函数y= -3x+2的图象经过第( ) 象限

A、一、二、三;B、一、二、四;C、一、三、四 ;D、二、三、四。

3、若一次函数y=kx+b的图象经过点(-2,-1 )和点(1,2),则这个函数的图象不经过(

A、第一象限 ;B、第二象限 ;C、第三象限 ;D、第四象限

4、下列说法正确的是( )

A、正比例函数是一次函数;B、一次函数是正比例函数;

C、正比例函数不是一次函数;;D、不是正比例函数就不是一次函数。

5、当ab>0,ac<0,直线ax+by+c=0不通过的象限是( )、

A、第一象限 ;B、第二象限;C、第三象限 ;D、第四象限

6、若一次函数y=mx+1与y=nx-2的图象交于x轴上一点,则m:n=( )、

A、1:2;B、-1:2;C、2:1;D、-2:1

6 )

初二(上)数学 知识改变命运创造未来

7、如果一次函数y=kx+(k-1)的图像经过第一、三、四象限,则 k的取值范围是( )、

A、k>0 ;B、k<0 ; C、0<k<1 ; D、k>1

8、一次函数y=3x+p和y=x+q的图像都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B、C两点,那么△ABC的面积是( ) A、2;B、4;C、6;D、8

9、直线y=kx+b经过一、二、四象限,则k、b应满足( )

A、k>0, b<0; B、k>0,b>0; C、k<0, b<0; D、k<0, b>0.

10、函数Y=4x-2与y=-4x-2的交点坐标为( )

A、(-2,0); B、(0,-2);C、(0,2);D、(2,0)

二、填空

11、函数的三种表示方法:_______,用描点法画函数图象的一般步骤是_____。

12、当m=_______时,函数y=(m+3)x2m,+1+4x-5(x≠0)是一个一次函数。

13、如果将一次函数y=kx+b中的b减少一个单位,那么它的图象将向_____平移一个单位。

14、点M(-2,k)在直线y=2x+1上,点M到x轴的距离d=_____。

15、作出函数y=1-x的图象,并回答下列问题、随着x值的增加,y值的变化情

况是__;图象与y的交点坐标有__,与x轴的交点坐标是___;当x_____时,y

≥0。

16、A市和B市各有机床12台和6台,现运往C市10台,B市8台。若从A

市运一台到C市、D市各需运费4万元和8万元,从B市运1台到C市、D市

各需运费3万元和5万元。

(1)设B市运往C市X台,求总运费Y关于x的函数关系式

(2)若总运费不超过90万元,问总有多少种调运方案写出来

(3)求总运费最低的调运方案,最低费用多少?

17、已知直线L经过A(-1,0)与B(2,3),另一直线经过点B且与x轴交

于点P(m,0)。

(1)求直线L的解析式(写过程)

(2)若△APB的面积为3,求m的值(写过程)

【拓展训练】

题型一、点的坐标

方法: x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;

7

初二(上)数学 知识改变命运创造未来

若两个点关于x轴对称,则他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数;

若两个点关于y轴对称,则它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数;

若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数;

1、 若点A(m,n)在第二象限,则点(|m|,-n)在第____象限;

2、 若点P(2a-1,2-3b)是第二象限的点,则a,b的范围为__________________;

3、 已知A(4,b),B(a,-2),若A,B关于x轴对称,则a=______,b=_______;若

A,B关于y轴对称,则a=__,b=______2____;若若A,B关于原点对称,则a=___-4____,b=_____-2____;

4、 若点M(1-x,1-y)在第二象限,那么点N(1-x,y-1)关于原点的对称点在第____象限。 题型二、关于点的距离的问题

方法:点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示,点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示;

A(xy,),B(xy

,)AABB 任意两点;

若AB∥x轴,则

若AB∥y轴,则x?xBA(x,0),B(x,0)AB的距离为A; y?yBA(0,y),B(0,y)AB的距离为A;

Ax(,y

)AA 点

1、 点B(2,-2)到x轴的距离是____2_____;到y轴的距离是_______2_____;

2、 点C(0,-5)到x轴的距离是_____5____;到y轴的距离是______0______;到原点的

距离是________5____;

3、 点D(a,b)到x轴的距离是_____|b|____;到y轴的距离是______|a|______;到原点的

距离是__√a2+b2__________;

?1??1?M,?,N,??0?02?,则?2??4、 已知点P(3,0),Q(-2,0),则PQ=__5________,已知点

MQ=___1_____; E2,?1,F2,?8????,则EF两点之间的距离是____7______;已知点G(2,-3)、H(3,4),则G、H两点之间的距离是_________; 5、 两点(3,-4)、(5,a)间的距离是2,则a的值为____-4______;

6、已知点A(0,2)、B(-3,-2)、C(a,b),若C点在x轴上,且∠ACB=90°,则C点坐标为(4,0)

(-1,0)

题型三、一次函数与正比例函数的识别

方法:若y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数,特别的,当b=0时,一次

函数就成为y=kx(k是常数,k≠0),这时,y叫做x的正比例函数,当k=0时,一次函数就成为若y=b,这时,y叫做常函数。

☆A与B成正比例?A=kB(k≠0)

1、当k____=3_________时,2y?k?3x???2x3??是一次函数;

是一次函数; 2、当m___=3__________时,2m?1y?m?3x??4x5??

8

初二(上)数学 知识改变命运创造未来

3、当m____=4_________时,

2m?1

y?m?4x??4x5??

是一次函数;

4、2y-3与3x+1成正比例,且x=2,y=12,则函数解析式为; 题型四、函数图像及其性质

方法:

k(称为斜率)表示直线y=kx+b(k≠0) 的倾斜程度;

b(称为截距)表示直线y=kx+b(k≠0)与y轴交点的 距离 ,也表示直线在y轴上的 位置 。

☆同一平面内,不重合的两直线 y=k1x+b1(k1≠0)与 y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系: 当 时,两直线平行。 当 时,两直线垂直。

当 时,两直线相交。 当 时,两直线交于y轴上同一点。 直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系 (1)两直线平行:k1=k2且b1 ?b2

9

初二(上)数学 知识改变命运创造未来

(2)两直线相交:k1?k2

(3)两直线重合:k1=k2且b1=b2

☆特殊直线方程:

X轴 : 直线 0=x Y轴 : 直线 y=o

与X轴平行的直线 y=x+b 与Y轴平行的直线 y=b

一、 三象限角平分线 y=x 二、四象限角平分线 y=-x

1、对于函数y=5x+6,y的值随x值的减小而___减小________。

2、对于函数y?12?x23, y的值随x值的___减小_____而增大。

3、一次函数 y=(6-3m)x+(2n-4)不经过第三象限,则m、n的范围是__m>2 n>2________。

4、直线y=(6-3m)x+(2n-4)不经过第三象限,则m、n的范围是___m>2 n>2______。

5、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限,那么直线y=-bx+k经过第__一_二三____象限。

6、无论m为何值,直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第___一___象限。

7、已知一次函数

(1)当m取何值时,y随x的增大而减小?

(2)当m取何值时,函数的图象过原点?

(1)由

解得

∴当时,y随x的增大而减小

(2)由,解得

∴当时,函数的图象过原点

题型五、待定系数法求解析式

方法:依据两个独立的条件确定k,b的值,即可求解出一次函数y=kx+b(k≠0)的解析式。

☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b(k≠0);

☆ 若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式构建方程。

1、若函数y=3x+b经过点(2,-6),求函数的解析式。

将(2,-6)代入y=3x+b

得:-6=3×2+b,∴b=-12

即y=3x-12.

2、直线y=kx+b的图像经过A(3,4)和点B(2,7),

10

初二(上)数学 知识改变命运创造未来 Y=-3k+13

3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y(升)与行驶时间x(小时)之间的关系.求油箱里所剩油y(升)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式,并且确定自变量x的取值范围。 分析:根据图形是线段,是直线上的一部分,所以,我们可以确定油箱里所剩油y(升)是行驶时间x(小时)的一次函数,明白这些后,就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。

解:因为,函数的图像是直线,

所以,油箱里所剩油y(升)是行驶时间x(小时)的一次函数,

设:一次函数的表达式为:y=kx+b,

因为,图像经过点A(0,40),B(8,0),

所以,把x=0,y=40,x=8,y=0,分别代入y=kx+b中,

得:40=k×0+b,0=8k+b

解得:k=-5,b=40,

所以,一次函数的表达式为:y=-5x+40。当汽车没有行驶时,油箱里的油是40升,此时,行驶的时间是0小时;当汽车油箱里的油是0升,此时,行驶的时间是8小时,所以,自变量x的范围是:0≤x≤8.

4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x轴交于点(-2,0)求解析式。

设一次函数解析式为:y=2x+b 将点代入:b=4 所以解析式就是:y=2x+4

5、若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6,相应的函数值的范围是-11≤y≤ 9,求此函数的解析式。

y=52x-6或y= -52x+4.

6、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称,求k、b的值。

因为关于y轴对称,

所以与y轴的交点不变为(0,7)

因为直线y=-3x+7与x轴的交点为(7/3,0)

所以直线y=kx+b与x轴的交点为(-7/3,0)

11

初二(上)数学 知识改变命运创造未来 所以b=7,(-7/3)k+7=0

所以k=3, b=7

7、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于x轴对称,求k、b的值。

解法1:

设A(x,y)是直线y= -3x+7上一个点,

其关于y轴对称的点的坐标为(-x,y ),

则有:y= -3x+7,y= -kx+b

整理,得:-3x+7= -kx+b,

比较对应项,得:k=3,b=7。

解法2:设A(m,n)是直线y= -3x+7上一个点,

其关于y轴对称的点的坐标为(a,b),

则有:b=n,m=-a,

因为,A(m,n)是直线y= -3x+7上一个点,

所以,点的坐标满足函数的表达式,

即n=-3×m+7,

把n=b,m=-a,代入上式,得:

b=-3×(-a)+7,

整理,得:b=3a+7,即y=3x+7,它实际上与直线y=kx+b是同一条直线,

比较对应项,得:k=3,b=7。

解法3:

因为,y=kx+b,所以,x= ,

因为,y= -3x+7,所以,x= ,

因为,直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称,

所以,两直线上点的坐标,都满足纵坐标相同,横坐标坐标互为相反数,

所以, = - = ,

比较对应项,得:y-b= y-7,k=3,

所以,k=3,b= 7。

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初二(上)数学 知识改变命运创造未来

解法4、

因为,直线y= -3x+7,

所以,

当x=1时,y=-3×1+7=4,

即点的坐标(1,4);

当x=2时,y=-3×2+7=1,

即点的坐标(2,1);

因此,(1,4)、(2,1)关于y轴对称的坐标分别为(-1,4)、(-2,1),

所以,点(-1,4)、(-2,1)都在直线y=kx+b,

所以, ,

解得:k=3,b=7.

8、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于原点对称,求k、b的值。

k=-3,b=-7.

题型六、平移

方法:直线y=kx+b与y轴交点为(0,b),直线平移则直线上的点(0,b)也会同样的平移,平移不改变斜率k,则将平移后的点代入解析式求出b即可。

直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;(“左加右减,上加下减”)。

1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线

2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线

1

3. 直线y=2x向右平移2个单位得到直线 3x?2

4. 直线y=2向左平移2个单位得到直线 ?

5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线

6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线

y?

7. 直线1x3向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线 。

3y??x?148. 直线向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线________。

9. 过点(2,-3)且平行于直线y=2x的直线是。

10. 过点(2,-3)且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.

13

初二(上)数学 知识改变命运创造未来

1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线

2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 即

111y?(x?2)y?x?1223. 直线y=2x向右平移2个单位得到直线 即。

333y?(x?2)?2y??x?1x?2224. 直线y=2向左平移2个单位得到直线即。 ?

5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线y-4=2x+1即y=2x+5。

6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线y+6=-3x+5即y=-3x-1。

y?

7. 直线11y?1?(x?1)x33向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线即y?12x?33。

3y??x?148. 直线向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线

333y?2?(x?1)?1y??x?444。 即

9. 过点(2,-3)且平行于直线y=2x的直线是y+3=2(x-2)即。

10. 过点(2,-3)且平行于直线y=-3x+1的直线是y+3=-3(x-2)+1即

11.把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表示的函数是_y=3x-2___________;

12.直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而(2a,7)在直线n上,则a=____________;

题型七、交点问题及直线围成的面积问题

方法:两直线交点坐标必满足两直线解析式,求交点就是联立两直线解析式求方程组的解;

复杂图形“外补内割”即:往外补成规则图形,或分割成规则图形(三角形);

往往选择坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标确定高;

1、 直线经过(1,2)、(-3,4)两点,求直线与坐标轴围成的图形的面积。

4

2、 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A(3,4),且OA=OB

(1) 求两个函数的解析式;(2)求△AOB的面积;

对正比列函数y=k1*x过(3,4) 以是4=3k1

k1=4/3

14

初二(上)数学 知识改变命运创造未来 以是正比列函数为y=4x/3

OB=OA=根号3^2+4^2=5

以是B(0,-5)

故设一次函数y=k2*x-5 也过(3,4)

以是4=3k2-5

k2=3

一次函数为y=3x-5

3、 已知直线m经过两点(1,6)、(-3,-2),它和x轴、y轴的交点式B、A,直线n过点(2,

-2),且与y轴交点的纵坐标是-3,它和x轴、y轴的交点是D、C;

(1) 分别写出两条直线解析式,并画草图;

(2) 计算四边形ABCD的面积; (3) 若直线AB与DC交于点E,求△BCE的面积。 解: (1)8=-2k b

2=k b

解之,得: k=-2 b=4

则该函数解析式为:y=-2x 4 (2)与x轴的交点坐标(0,2)

与y轴的交点坐标(4,0)

(3)将x=2 a ,y=1-a代入y=-2x 4

则1-a=-4-2a 4

解之,得a=-1

4、 如图,A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,p)在第一象限,直线PA交y轴于点C(0,2),直线PB交

y轴于点D,△AOP的面积为6; (1) 求△COP的面积; (2) 求点A的坐标及p的值;

(3) 若△BOP与△DOP的面积相等,求直线BD的函数

解析式。

做辅助线PF,垂直y轴于点F。做辅助线PE垂直x轴于点E。

(1)求S三角形COP

解:S三角形COP = 1/2 * OC * PF = 1/2 * 2 * 2 = 2

(2)求点A的坐标及P的值

解:可证明三角形CFP全等于三角形COA,于是有

PF/OA = FC/OC.代入PF=2和OC=2,于是有FC * OA = 4.(1式)

又因为S三角形AOP=6,根据三角形面积公式有S = 1/2 * AO * PE = 6,于是得到AO * PE = 12.(2式)

其中PE = OC + FC = 2 + FC,所以(2)式等于AO * (2 + FC) = 12.(3式)

通过(1)式和(3)式组成的方程组就解,可以得到AO = 4, FC = 1.

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初二(上)数学 知识改变命运创造未来 p = FC + OC = 1 + 2 = 3.

所以得到A点的坐标为(-4, 0), P点坐标为(2, 3), p值为3.

(3)若S三角形BOP=S三角形DOP,求直线BD的解析式

解:因为S三角形BOP=S三角形DOP,就有(1/2)*OB*PE = (1/2)*PF*OD,即

(1/2)*(OE+BE)*PE = (1/2)*PF*(OF+FD),将上面求得的值代入有

(1/2)*(2+BE)*3 = (1/2)*2*(3+FD)即 3BE = 2FD。

又因为:FD:DO = PF:OB 即 FD:(3+FD) = 2:(2+BE),可知BE=2.B坐标为(4,0) 将BE=2代入上式3BE=2FD,可得FD = 3. D坐标为(0,6)

因此可以得到直线BD的解析式为:

y = (-3/2)x + 6

5、已知:经过点(-3,-2),它与x轴,y轴分别

交于点B、A,直线经过点(2,-2),且与y轴交

于点C(0,-3),它与x轴交于点D

(1)求直线

(2)若直线与的解析式; 交于点P,求

因为y=2x+m过(-3,-2)则m=4.y=2x+4. 又因为 y=kx+b过(2,-2)(0,3),所以y=-5/2x+3..两直线交点坐标p(-2/9,32/9), 因为A(0.4);C(0,3).D(6/5,0).所以△ACP的面积s1=1/2AC.h,h是P点横坐标的绝对值,所以s1=1/2×.1× 2/9=1/9. △ACD的面积s2=1/2×AC×t,t是d的横坐标的绝对值,所以s2=1/2×1×6/5=3/5. 所以

(1)l1的解析式是y=2x+4; l2的解析式是y=-2/5x+3; (2)s△ACP=1/9; S△ACD=3/5.

6. 如图,已知点A(2,4),B(-2,2),C(4,0),求△ABC的面积。

12

的值。

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