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2.1.3三角形的性质

发布时间:2013-10-13 13:35:51  

本节内容 本课内容 2.1

三角形
——2.1.3 三角形的性质

动脑筋
在小学, 我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼 等操作(如图2-12), 知道三角形的内角和是 180°,你能说出这些方法的原理吗?

图2-12 折叠三角形纸板,可以把它 可以将∠A,∠B剪下并移 的三个角拼成一个角. 至顶点C处拼接成一个角.

上述两种操作都是将三角形的 三个内角拼到一起构成一个平 角.

由此受到启发:
如图2-13, 将△ABC的边BC 所在的直线平移,

使其像经过点A, 得到直线B′C′.
因为直线在平移下的像是与它平行的直线, 所以B′C′∥BC. 则∠B′AB =∠B,∠C′AC =∠C. 又∠B′AB +∠BAC +∠C′AC = 180°, 所以∠B +∠BAC +∠C = 180°. B C B′ A C′

图2-13

结论

三角形的内角和等于180°.

三角形内角和定理还有没有别的证法呢? 多种方法证明的核心是什么?

借助平行线的“移角”的功 能,将三个角转化成一个平 角.

例3

在△ABC 中, ∠A 的度数是∠B 的度数的3

倍,∠C 比∠B 大15°,求∠A,∠B,∠C的度数
解 . 设∠B为x°,则∠A为(3x )°,∠C为(x + 15) °, 3x + x +( x + 15 )= 180. x = 33.

从而有
解得

所以

3x = 99 , x + 15 = 48.

答: ∠A, ∠B, ∠C的度数分别为99°, 33°, 48°.

探究

三角形按角如何分类呢?

说一说
一个三角形的三个内角中, 最多有几个直角?

最多有几个钝角?

三角形的内角和等于180°,
因此最多有一个直角或一个 钝角.

三角形中, 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形,
有一个角是直角的三角形叫直角三角形, 有一个角 是钝角的三角形叫钝角三角形, 如图2-14.

锐角三角形

直角三角形
图2-14

钝角三角形

直角三角形可用符号“Rt△” 来表示, 例如直角三 角形ABC 可以记作“Rt△ABC”. 在直角三角形中, 夹直角的两边叫作直角边, 直角的对边叫作斜边. 两 条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.

如图2-15, 把△ABC的一边BC延长, 得到 ∠ACD. 像这样, 三角形的一边与另一边的延长线

所组成的角, 叫作三角形的外角(exterior angle). A
对外角∠ACD来说, ∠ACB是 与它相邻的内角, ∠A, ∠B 是与它不相邻的内角. B C D

图2-15

探究
在图2-15 中, 外角∠ACD 和与它不相邻 的内角∠A, ∠B 之间有什么大小关系?
因为∠ACD +∠ACB = 180°, 我觉得可以利用“三角 ∠A +∠B +∠ACB = 180°, 形的内角和等于180° ” 所以∠ACD -∠A -∠B = 0 (等量减 的结论. 差相等). 等量,

A

B

C

D

于是∠ACD =∠A +∠B.

图2-15

结论

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 .

练习
1. 填空: (1) 在△ABC中, ∠A= 60°, ∠B=∠C, 则∠B=

60° ;

(2) 在△ABC中, ∠A-∠B= 50°,

∠C-∠B= 40°, 则∠B=

30°

.

2. 如图, AD是△ABC的角平分线, ∠B= 36°, ∠C= 76°, 求∠DAC的度数. 解 因为∠B= 36°, ∠C= 76° 又 ∠BAC+∠B+∠C=180°, A

所以 ∠BAC=68°,
因为 AD是△ABC的角平分线, 所以 ∠DAC = 1∠BAC = 34 ° . 36° 76° C D

2

B

3. 如图,∠CAD=100°,∠B= 30°,求∠C 的度数. A 解 因为∠CAD是△ABC的外角, 所以 ∠B+∠C= ∠CAD , B 30° C D

100°

于是∠C = ∠CAD -∠B
= 100°-30°=70°

中考 试题
如图,在△ABC中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC
66.5 和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=______°
解析

∵∠B=47°, ∴ ∠BAC+∠BCA=180°– 47°=133°, A ∴∠CAD+∠ACF=360°–133°=227°,

D

又 AE和CE是角平分线,
∴∠CAE+∠ACE=113.5°,

B C F

E

∴∠E=180°–113.5°=66.5.

小结
1.这节课我们研究的是什么?为什么要这么研究?

2.从方法上你有哪些收获?
3.“一题多解,多解归一”,需要把多种解法的共

性挖掘出来,归纳成解决一类问题的方法.






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