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命题与证明

发布时间:2013-10-13 13:35:52  

2.2 命题与证明
主讲 刘贻升

课题导入
同学们知道,语文中的语句有四种类型: 陈述句、疑问句、祈使句和感叹句。 例:1、不在一条直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫 三角形。 2、三角形的三内角和等于180°。 3、这条边的长度是多少? 4、延长直线AB到C 。 5、今天的天气真好! 其中1是三角形的定义,对三角形的概念作出了详细的说 明和明确的规定; 2是命题,对三角形的三内角和是多少作出了判断, 都是陈述句; 3是疑问句; 4是祈使句,是作图语句; 5是感叹句。

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1、定义(definition): 对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句, 叫这个概念的定义。
例:把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫代数式。 同一平面内没有公共点的两条直线叫平行线。 含有未知数的等式叫方程。 连结三角形角的顶点与对边的交点且平分这个角的线段叫这 个角的角平分线。

2、命题(proposition): 对某一件事情作出判断的语句叫作命题。
例:如果a=b,b=c,那么a=c。 如果两个角的和等于90°,那么这两个角互为余角。 定义和命题都属于陈述句。

3、命题的一般形式: 如果……,那么…… 命题包括两个部分:如果引出的部分是条件,又称题设,那 么引出的部分是结论。 如果、那么是关联词。 有时候,为了简便,可以省略关联词。 例:对顶角相等。 →如果两个角是对顶角,那么这两个角相等。 同角的余角相等。 →如果两个角相等,那么这两个角的余角也相等。 试将下例命题改写成“如果……,那么……”的形式: 1)、两条直线相交,只有一个交点; 2)、个位数字是5的整数一定能被5整除; 3)、互为相反数的两个数之和等于0; 4)、三角形的一个外角大于它的任何一个内角。

4、命题的真假 观察下例命题: 1)、两点之间线段最短; 2)、三角形的一个外角大于它的任何一个内角; 3)、每一个月都有31天; 4)、如果a是有理数,那么a是整数; 5)、同位角相等; 6)、同角的补角相等。 上述命题,有的是正确的,有的是错误的。我们把 正确的命题叫真命题,用字母T(true)表示; 错误的命题叫假命题,用字母F(false)表示。 命题真假的判别: 命题为真时,1、用定义判别; 2、用定义、公理、定理和推论证明 命题为假时,举反例

4、命题的互逆
两个命题,如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件,这样的两个命题称 互逆命题。 其中一个叫原命题,另一个叫原命题的逆命 题(简称逆命题)。 1)、任何一个命题都有逆命题; 2)、原命题正确,逆命题不一定正确;反之亦然。

例:写出下列命题的逆命题,并判断它们的真假: 1)若两数相等,则它们的绝对值相等; 2)如果m是整数,那么它也是有理数; 3)两直线平行,内错角相等; 4)两边相等的三角形是等腰三角形。

公理、定理、推论和证明
一、公理、定理和推论: 1、公理(Axiom):一些人们在长期实践中总结出来的公认 的作为证明原始依据的真命题。又称基本事实。 例:两点确定一条直线。 两点之间线段最短。 2、定理(Theorem):以定义和公理为依据,经过证明为 真的命题。 例:三角形的三内角和等于180°。 3、推论:由某个定理直接得出的真命题,叫这个定理的推 论。 例:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 (即三角形外角定理,是三角形内角和定理的推论。)

4、互逆定理: 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题, 那么它就叫作原定理的逆定理。 互为逆定理的两个定理叫互逆定理。 例:内错角相等,两直线平行。 两直线平行,内错角相等。 公理、定理和推论都可以作为判断其它命题真 假的依据。

二、证明(Proof) 通过推理的方法判断命题为真的过程,叫证 明。 1、证明的过程:就是从命题的条件出发,运用定义、 公理、定理和推论,进行一步步的推理,最后证 实命题结论成立的过程。 2、证明的方法: 证明命题为真时:综合法 分直接法:从条件到结论 间接法:从结论到条件(如反证法) 反证法是先否定结论,再推出矛盾的条件 证明命题为假时:举反例(举出一个满足命题条件 而不满足结论的例子)。

3、证明的步骤 平面几何证题的基本步骤: 1)、根据命题,画出几何图形; 2)、根据题意和图形,写出已知和求证; 3)、根据已知和相关的定义、公理、定理和 推论,进行推理,得出结论。 即:画图→写已知和求证→证明 如果命题是以已知和求证的形式给出,则直 接证明即可。

初中平面几何证明常用公理
一、等量公理: 等量的和相等 等量的差相等 等量代换 二、直线、线段公理: 通过两点有且只有一条直线 连结两点的所有连线中线段最短 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (平行公理) 三、图形公理: 整体大于部分 平移不改变图形的形状、大小和方向 旋转不改变图形的形状和大小 轴反射不改变图形的形状和大小

(完)


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