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23.1图形的旋转

发布时间:2013-09-18 09:54:27  

第二十三章 旋转

23.1图形的旋转

(第一课时)

平移变换

轴对称变换

荡秋千 转动的时针 刮水器 转动的车轮

这些运动有什么共同的特征?

认识旋转

图形的旋转
O 45
0

B

A

顺时针 O 45 点A绕__点,往___方向,转动了__度到点B.

认识旋转
B
/

B
60
0

A

A

/

0

35

O

认识旋转
B′ A C B O

100

0

A′

C′

旋转的概念 认识旋转
A O A 在平面内,把一个图形绕一个 定点,沿某个方向转动一个角度, 像这样的图形变换称作旋转B 你能给旋转下个定义吗? / C A (Circumrotation). A′ B′

这个定点称为旋转中心, B O 所转动的角称为旋转角. A C′ B O
旋转的三要素:
旋转中心, 旋转方向,

B 旋转角度.

/

找一找
请仔细观察此图, 点A,线段AB,∠ABC分 别转到了什么位置? B

B′ A C

A′

对应点

点A
线段AB ∠ABC

点A′

O

C′

对应线段
对应角

线段A′B′ ∠ A′B′C′

试一试
如图,△ABO绕点O旋转得到△CDO,则:
点D 点B的对应点是________; 线段OD 线段OB的对应线段是________; 线段AB 线段CD的对应线段是________; ∠COD ∠AOB的对应角是________; ∠D ∠B的对应角是________; O 点O 旋转中心是________; ∠AOC ∠BOD 旋转角是_________________; A

B C

D

A

E F B

旋转的性质:

问题:

D

O

C

1.在图形的旋转过程中,哪些发生了改变?哪些没有发生 旋转前后的图形全等; 改变? 2.分别连结对应点A、D与旋转中心O,量一量线段OA与 对应点到旋转中心的距离相等; 线段OD,它们有什么关系?任意找一对对应点,量一下 它们与旋转中心的连线段,你能发现什么规律? 对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角. 3.量一下∠AOD的度数,再任意找几对对应点,分别量 一下对应点与旋转中心连线段的度数,你又能发现 什么规律?

旋转的基本性质 ◆旋转前、后的图形全等. ◆对应点到旋转中心的距离相等. ◆每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此 相等. ◆图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定.

例1:钟表的分针匀速旋转一周需要60分.
(1)指出它的旋转中心; (2)经过20分,分针旋转了多少度?

解:(1)它的旋转中心是钟表的轴心; (2)分针匀速旋转一周需要60 360? ? 20 ? 120? 分,因此旋转20分,分针 60 旋转的角度为

例2.如图,正方形ABCD中,E是AD上一点,以点C为中心 将△CDE逆时针旋转90°画出旋转后的图形. 如连结EM,那么△CEM是怎样的三角形? 等腰直角三角形

D

C

E

A

B

M

随堂练习
1.下列现象中属于旋转的有(

①地下水位逐年下降;②传送带的移动;③方向盘的转动;
④水龙头开关的转动;⑤钟摆的运动;⑥荡秋千运动. A.2 B.3 C.4 D.5

C

)个

2. 下列说法正确的是( B )

A.旋转改变图形

的形状和大小 B.平移改变图形的位置 C. 图形可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到

3.如图,如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合,那么图

3个 形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有______个.
A D


E

B

C

F

4、 如图:P是等边?ABC内的一点,把?ABP按不同的方向通过 旋转得到?BQC和?ACR,
(1)指出旋转中心、旋转方向和旋转角度?

(2)?ACR是否可以直接通过把?BQC旋转得到?
A

P B



O

R

C

Q

5.如图,在正方形ABCD中,E是CB延长线上一点,△ABE

经过旋转后得到△ADF,请按图回答:
(1)旋转中心是哪一点? (3)∠EAF等于多少度? (4)经过旋转,点B与点E分别移动到 什么位置? (5)若点G是线段BE的中点,经过旋转 后,点G移到了什么位置?请在图形 上作出. (6)连结EF,请判断△AEF的形状,并说明理由.D (7)试判断四边形ABCD与AFCE面积的大小关系. G. (2)旋转角是多少度?

E B

A

.H

F

C

6.已知,如图边长为1的正方形EFOG绕与之边长相 等的正方形ABCD的中心O旋转任意角度,求图中阴影部 分的面积.
G A D

O E B

C F

6.已知,如图边长为1的正方形EFOG绕与之边长相等的正方 形ABCD的中心O旋转任意角度,求图中阴影部分的面积.
G A D

O E B

C F

1.香港区徽可以看作是什么“基本图案”通过怎样的旋转而 得到的?

可以看作是一个花瓣连续4次旋转所形成的,每 次旋转分别等于720 , 1440 , 2160 , 2880

2.本图案可以看做是一个菱形通过几次旋转得到的?每 次旋转了多少度? 5次 600, 1200, 1800, 2400, 3000
也可以看做是二个相邻菱形通 过几次旋转得到的?每次旋转 了多少度?

2次

1200 , 2400

还可以看做是几个菱形通过几 次旋转得到的?每次旋转了多 少度? 3个 3个
0 1次 180600 1次

3. 如图,杠杆绕支点转动撬起重物,杠杆的旋转
中心在哪里?旋转角是哪个角?
A

B/
B

O A/

在支点O 旋转角为∠AOA/

1. 旋转的定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿着 这节课你学到了什么知识? 某个方向转动一定的角度,这样的图形运动称为旋转. 这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.

你是用什么方法获得这些知识的?
2. 旋转的性质:

本节课你还有什么地方没有解决吗? ① 旋转不改变图形的大小与形状,但可改变定向;
② 旋转前后两图形任意一对对应点与旋转中心的连 线所成的角都是旋转角, ③ 对应点到旋转中心的距离相等.

(第二课时)

1. 旋转的定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿着 这节课你学到了什么知识? 某个方向转动一定的角度,这样的图形运动称为旋转. 这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.

你是用什么方法获得这些知识

的? 2. 旋转的性质:

① 旋转不改变图形的大小与形状,但可改变定向; 本节课你还有什么地方没有解决吗? ② 旋转前后两图形任意一对对应点与旋转中心的连 线所成的角都是旋转角, ③ 对应点到旋转中心的距离相等.

议一议
1.如图,如果把钟表的指针看做四边形AOBC,它绕O点旋 转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中: (1)旋转中心是什么?
旋转中心是O

(2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置? 点D和点E的位置 (3)旋转角是什么? ∠AOD和∠BOE都是旋转角

(4)AO与DO的长有什么关系?BO与EO呢?
(5)∠AOD与∠BOE有什么大小关系?
∠AOD=∠BOE

AO=DO,BO=EO

2、下列图形均可以由“基本图案”通过变换得到.(填序号) ①⑤ (1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是_________; ②⑥ (2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是____ ③④ (3)既可以由平移变换, 也可以由旋转变换得到的图案是_____













3.在图中,正方形ABCD与正方形EFGH边长相等,这 个图案可以看作是哪个“基本图案”通过旋转得到 的 .

简单的旋转作图
例1 : 将A点绕O点沿顺时针方向旋转60?.

点的旋转作法

B

B点即为所求作.
A O

简单的旋转作图
例2 将线段AB绕O点沿顺时针方向旋转60?.
线段的旋转作法

C

A D

O

则线段CD即为所求作.
B

简单的旋转作图
图形的旋转作法

例3

如图,△ABC绕C点旋转后,顶

点A得对应点为点D. 试确定顶点B对 应点的位置以及旋转后的三角形.
E

A

D

则△DEC即为所求作.

B

C

3、如图,ΔDEF是由△ABC绕某一中心旋转一定 的角度得到,请你找出这旋转中心.

C D B E F

A

.O

旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。

简单的旋转作图
1.已知线段AB和点O,请画出线段AB绕点O按逆时 针旋转1000后的图形. M
B′ A′ N B

O A

2.⑴如图,画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转900后的 对应三角形;

⑵如果点D是AC的中点,那么经过上述旋转后,点D旋转 到什么位置?请在图中将点D的对应点 C D′表示出来. B' C' D
D'
A B

(3)如果AD=1cm,那么点D旋转过的路径是多少?

C B' C' D

D'
A

B

3.如图所示的方格纸中,将△ABC向右平移8格,再以 O为旋转中心逆时针旋转900,画出旋转后的三角形.

C

O

B A

例4.在等腰直角△ABC中,∠C=900,BC=2cm,如果 以AC的中点O为旋转中心,将这个三角形旋转1800, 点B落在点B′处,求BB′的长度.

B/
O

C/ C

A A/

B

随堂练习
1.将等边△ABC绕着点A按某个方向旋转400后得到

△ADE(点B与点D是对应点),则∠BAE的度数为_____.

动手操作
请设计一个绕一点旋转600后能与自身重合的图形.

2.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=1200,以BC为边向 形外作等边三角

形△BCD,把△ABD绕着点D按顺时针 方向旋转600后得到△ECD,若AB=3,AC=2,求∠BAD 的度数与AD的长. E

A

C

B

D

23.2.1 中心对称

一、复习提问:
1.什么是轴对称呢?

2.关于轴对称的两个图形有哪些性质?

轴对称 定 1 有一条对称轴—直线 2 图形沿轴对折,(翻 转达180度。) 义 3 翻转后与另一个图形 重合。
把一个图形沿着某一条 直线折叠能与另一个图 形完全重合,那么就说 这两个图形关于这条直 线对称或轴对称.

性 1 两个图形是全等形。
质 2 对称轴是对称点连线 的垂直平分线。

二.新课探究
C

如果将一个图形绕一点旋转180度得 到一个新的图形,这样的两个图形是什 A 么关系呢?D
A 你知道吗?可以 告诉我吗?

B

E

研究观察
(1)把其中一个图案绕点O旋转180°.你有什么发现? (2)线段AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.把 △OCD绕 点O旋转180°.你有什么发现?
C

O
D O

B

重 合

重 合

A

1.中心对称的定义:
C

B

A A

E

像这样把一个图形绕着 某一点旋转180度,如果它 能够和另一个图形重合,那 么,我们就说这两个图形 D 关于这个点对称或中心 对称,这个点就叫对称中 心,这两个图形中的对应点, 叫做关于中心的对称点.

观察:C、A、E三点的位置关系怎样?线段AC、
AE的大小关系呢? C、A、E三点在一条直线上或∠CAE= 180°. AC=AE

思考:
1.把△ABC绕着O点旋转60 ° 得到的△A`B`C`,这两个三 A` 角形成中心对称吗?
不是,因为旋转了60 ° B` 2.把△ABC绕着O点旋转120 ° 得到的△A`B`C`,这两个三 角形成中心对称吗? 不是,因为旋转了120 ° C

180°
120° )60° O C` A B

3.把△ABC绕着O点旋转180 °,得到的△A`B`C`,这两个三角形成中 心对称吗? 是,因为旋转了180 ° 问题1.2.与问题3有什么区别和联系呢?

合作探究:
旋转三角板,画关于点O对称的两个三角形: 第一步,画出△ABC; 第二步,以三角板的一个顶点O为中心,把三角板旋 转180°,画出△A′B′C′; 第三步,移开三角板.
A’ A

C’ C

B’ B

O

B

C

A

合作探究:
旋转三角板,画关于点O对称的两个三角形: 第一步,画出△ABC; 第二步,以三角板的一个顶点O为中心,把三角板旋 转180°,画出△A′B′C′; 很显然画出的△ABC与 第三步,移开三角板. △A’B’C’关于点O对称. A’ 分别连接AA’ ,BB’,CC’。 点O在线段AA′上吗? C’ B’ 如果在,在什么位置? O C B △ABC与△A′B′C′有什么关 系? A
(1)点O是线段AA ′的中点 (为什么?) (2)△ABC≌△A′B′C′ (为什么?)

证明:
(1). 点A′是绕点A旋转180°后得到的,即线段OA绕点 O旋转180°得到线段OA′,所以点O在线段AA′上,且 OA= OA′,即点O是线段AA′的中点. 同样地,点O是线段BB′ 、CC′的中点. A’
B’ (2).在△AOB与△ A′

O B′中 C’ OA=OA ′,OB=OB ′ ∠AOB= ∠AOB ′ ∴ △AOB≌△ A′ O B′(SAS) ∴AB=A ′ B ′ 同理 : BC=B ′ C ′,AC=A ′ C ′ ∴ △ABC≌△ A′ B′C ′(SSS)

O

B

C

A

找一找:

下图中△A′B′C′与△ABC 关于点O是成中心对称的, 你能从图中找到哪些等量 关系?

(1)OA=OA′、OB=OB′、 OC=OC′ (2)△ABC≌△A′B′C′

2.归纳:中心对称的性质
(1)关于中心对称的两个图形,对称点所 连线段都经过对称中心,并且被对称中心所 平分. (2)关于中心对称的两个图形是全等形。

3.中心对称与轴对称有什么区别?又有什么联系?

O


1





中心对称
有一个对称中心—— 点 图形绕中心旋转180°

有一条对称轴—— 直线

180° ) 2 图形沿轴对折(翻转
3

翻转后和另一个图形重合 旋转后和另一个图形重合

4、轴对称 与中心对称定义、性质对比对:
轴对称 中心对称 定 1 有一条对称轴—直线 有一个对称中心—点。 2 图形沿轴对折,(翻 图形绕中心旋转180度。 转达180度。) 义 3 翻转后与另一个图形 旋转后与另一个图形重合。 重合。 性 1 两个图形是全等形。 两个图形是全等形。

质 2 对称轴是对称点连线 对称点连线都过对称中心, 的垂直平分线。 且被对称中心平分。

4.中心对称的作图
例1、(1)已知A点和O点,画出点A关于点O的对称点A' A' A O 连结OA, 并延长到A',使OA'=OA, 则得到点A关于点O的对称点A' 例1.(2)、已知线段AB和O点,画出线段AB关于点O的对称线 段A' B' B'
连结AO并延长到A',使OA'=OA, 则得到点A关于点O的对称点A' 连结BO并延长到B' ,使O B' =OB, 则得到点B关于点O的对称点B' 连结 A‘ B’ ,则得到线段AB关于点 O的对称线段A' B'

A O

A'

B

例1 (3).如图.选择点O为对称中心,画出与
△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
怎么办?可以帮 帮我吗?
B′ A′

C′

△A′B′C′即为所求的三角形。

例1(4) 已知四边形ABCD和点O,画四边 形A′B′C′D′,使它与已知四边形关于这一点 对称。
B′ A′

C′

O
D′

D

C
A

B

四边形A1B1C1D1即为所求的图形。

你知道 怎么办 1、画一个与已知四边形ABCD中心对称图形。 吗? (1)以顶点A为对称中心; N (2)以BC边的中点为对称中心。

提高练习

F

B

B

A
G C E A

. O
C D

M

D

2、 如图,已知等边三角形ABC和点O, 画△A’B’C’,使△A’B’C’和△ABC关于点O

成中心对称。
A C’ O B A’ C B’

如图,已知△ABC与△A’B’C’中心对称, 求出它们的对称中心O。
C B’ B A
怎么办?可以帮 帮我吗?

A’

C’

解法一:根据观察,B、B’应是对应点,连 结BB’,用刻度尺找出BB’的中点O,则点

O即为所求(如图)
C O B A C’ B’

A’

解法二:根据

观察,B、B’及C、C’应是两
组对应点,连结BB’、CC’,BB’、CC’相交 于点O,则点O即为所求(如图)。
C A’

O B’
B

A

C’

练习P64. 1. 2

你学会了吗?

例题
求证:具有对称中心的四边形是平行四边形。 A D

O

C B 证明:O是四边形ABCD的对称中心, 根据中心对称性质,线段AC、BD必过点O, 且AO=CO,BO=DO, 即四边形ABCD的对角线互相平分, 因此,? 边形ABCD是平行四边形。 四

下课了!

23.2.2 中心对称图形

观 察
将下面的图形绕O点旋转180°,你有 什么发现?
A O B o (2)圆 O (4) 正方形
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(1)线段

O (3)平行四边形

A

D

O

B C 如果一个图形绕一个点旋转180°后,能和原来的 图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形; 这个点叫做它的对称中心;互相重合的点叫做对 称点.
ABCD 点O 图中_________是中心对称图形 对称中心是______ 点B 点C 点A的对称点是______ 点D的对称点是______

?

A
0

B

? C D ? 在中心对称图形上,每一对对称点与对称 中心又怎样的关系?
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归纳:
连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称 中心,且被对称中心平分.

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判断下列图形是否是中心对称图形?如果 是,那么对称中心在哪?

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小练习
下列图形是中心对称图形吗?

认真观察旋转180°后……

都是中心对称图形。 图形的中心就是对称中心。

都是中心对称图形。 图形的中心就是对称中心。

下列图形中哪些是中心对称图形?








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工农业生产

旋转的物体必须具有稳定性,而中心对称的设计恰恰
满足了旋转物体的这一需求.因而在工农业生产制作转动 工具时,都不可避免地考虑应用中心对称的设计,小的如

日常生活中单车、闹钟内的齿轮,电风扇的扇叶;大的如
推动飞机、轮船的轮桨,风力发电用的风车等等. 另外,在日常使用的一些生活工艺品(如:地毯、挂

毯),也不难发现中心对称的影子!

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想一想
在生活中你还见过哪些中心对称图形?

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中心对称与中心对称图形有什么区别与联系?

O

O

中心对称与中心对称图形的区别与联系
名 称

中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180?, 如果他能够与另一个图形重合,那 么就说这两个图形关于这点对称, 这个点叫做对称中心,两个图形关于 点对称也称中心对称,这两个图形 中的对应点叫做关于中心的对称点 ①两个图形完全重合; ②对应点连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分

中心对称图形
如果一个图形绕着一个 点旋转180?后的图形能 够与原来的图形重合, 那么这个图形叫做中心 对称图

形,这个点就是 它的对称中心 ________

定 义

性 质

区 ①两个图形的关系 别 ②对称点在两个图形上

①具有某种性质的一个图形 ②对称点在一个图形上

联 若把中心对称图形的两部分分别看作两图,则它们成中心对称。 系 若把中心对称的两图看作一个整体,则成为中心对称图形。

中心对称图形与轴对称图形有什么区别与联系?

O

课堂小结
中心对称图形与轴对称图形的区别与联系 轴对称图形
有一条对称轴—— 直线
图形沿轴对折(翻转 180° )

中心对称图形
—— 有一个对称中心 点

图形绕对称中心旋转180° 旋转前后的图形完全重合

翻转前后的图形完全重合

轴对称图形与中心对称图形的比较
对 图 称

轴对称图形


中心对称图形
图形 对称中心



图形

对称轴条数

线段 角 等腰三角形 等边三角形 平行四边形 矩行 菱行 正方形
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轴对称图形与中心对称图形的比较
对 图 形 性 称

轴对称图形
图形 对称轴条数

中心对称图形
图形 对称中心

线段 角 等腰三角形 等边三角形 平行四边形 矩形 菱形 正方形

2条 1条 1条 3条

中点

对角线交点

2条

对角线交点 对角线交点 对角线交点

2条
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4条

正三角形是中心对称图形吗?是轴对称吗?正方 形呢?正五边形呢?正六边形呢?……你能发现 什么规律?

正多边形都是轴对称;边数为 偶数的正多边形都是中心对 称图形。
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选择题:
(1)下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形 的是( )

C

A 角

B 等边三角形

C 线段

D平行四边形

(2)下列多边形中,是中心对称图形而不是轴对称 图形的是( A )

A平行四边形

B矩形

C菱形

D正方形

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观察图形,并回答下面的问题: (1)哪些只是轴对称图形? (3)(4)(6) (2)哪些只是中心对称图形?(1)

(2)(5) (3)哪些既是轴对称图形,又是中心对称图形?

(1)

(2)

(3)

(4)

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(5)

(6)

4、在26个英文大写正体字母中,哪些字母是中心对称图 形?哪些字母是轴对称图形?

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

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它是轴对称图形吗?

它是中心对称图形吗?
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B

2.在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯 形、⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形 ①②③④⑥⑦⑧⑨ 和⑨圆中,是轴对称图形的有______________,是 ①⑤⑥⑦⑧⑨ 中心对称图形的有____________,既是轴对称图形 又是中心对称图形的有____________. ①⑥⑦⑧⑨

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下面的扑克牌中,哪些牌面是中心对称图形?

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巩固练习
3.已知:

下列命题中真命题的个数是( B ①关于中心对称的两个图形一定不全等 ②关于中心对称的两个图形是全等形 ③两个全等的图形一定关于中心对称 A 0 B 1 C 2 D 3 ).

4.按要求画一个图形,所画图形中同时要有一个正 方形和一个圆,并且这个图形既是轴对称图形又是 中心对称图形.

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(1)平行四边形是中心对称图形吗?如果是,

请找出它的对称中心,并设法验证你的结论。 (2)根据上面的过程,你能验证平行四边形的 哪些性质?

O

(1)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线 的交点。 (2)能验证平行四边形的对边相等、对角相等、对角线 互相平分等性质。

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议一议:回顾“轴对称图形”和“两个图形成
轴对称”的概念,比较下面两组图形,它们有什么区 别和联系呢?

轴对称和 轴对称图形的区别和联系
轴对称图形 两个图形成轴对称
两 _个图形

区别

一 _ 个图形





1.沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够 互相重合 ____. 对称轴 2.都有____. 3.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成 两个图形,那么这两个图形关于这条直线 对称 ___;如果把两个成轴对称的图形看成 一个图形,那么这个图形就是____. 轴对称图形

3.中心对称与轴对称有什么区别?又有什么联系?

O


1





中心对称
有一个对称中心—— 点 图形绕中心旋转180°

有一条对称轴—— 直线

180° ) 2 图形沿轴对折(翻转
3

翻转后和另一个图形重合 旋转后和另一个图形重合

4、轴对称 与中心对称定义、性质对比对:
轴对称 中心对称 定 1 有一条对称轴—直线 有一个对称中心—点。 2 图形沿轴对折,(翻 图形绕中心旋转180度。 转达180度。) 义 3 翻转后与另一个图形 旋转后与另一个图形重合。 重合。 性 1 两个图形是全等形。 两个图形是全等形。

质 2 对称轴是对称点连线 对称点连线都过对称中心, 的垂直平分线。 且被对称中心平分。

正方形是中心对称图形吗?正方形绕两条对角线 的交点旋转多少度能与原来的图形重合?能由此 验证正方形的一些特殊性质吗?

旋转 900

正方形是中心对称图形吗?正方形绕两条对角线 的交点旋转多少度能与原来的图形重合?能由此 验证正方形的一些特殊性质吗?

旋转 1800

是中心对称图形

正方形是中心对称图形吗?正方形绕两条对角线 的交点旋转多少度能与原来的图形重合?能由此 验证正方形的一些特殊性质吗?

旋转 2700

正方形是中心对称图形吗?正方形绕两条对角线 的交点旋转多少度能与原来的图形重合?能由此 验证正方形的一些特殊性质吗



旋转 3600

正方形是中心对称图形吗?正方形绕两条对角线 的交点旋转多少度能与原来的图形重合?能由此 验证正方形的一些特殊性质吗?

旋转 nx900
正方形是中心对称图形;它绕两条对角线的交点旋转 900或其整数倍,都能与原来的图形重合,因此,可以 验证正方形的四边相等、四角相等、对角线互相垂直平 分等性质。

y

o

x

在平面直角坐标系中画出下图点 关于x轴的对称点. y
A(-4, 2)

·

5 4 3 2

思考:关于x轴对 称的点的坐标具 有怎样关系?
x

1 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 A’ (-4, -2) -3

·

关于x轴对称的点 横坐标相等, 纵坐标互为相反数.

(a,-b) 点(a, b)关于x轴对称的点的坐标为______.

-4

在平面直角坐标系中画出下图点关于y轴的对 称点.
y 5 4 3 2 1

思考:关于y轴对 称的点的坐标具 有怎样关系?

A (-4, 2)

·

A’’(4, 2) 关于y轴对称的点,

·

-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3

1 2 3 4 5

横坐标互为相反数 x 纵坐标相等

-4

(-a,b) 点(a, b)关于y轴对称的点的坐标为______.

探 究

在直角坐标系中,已知A(4,0)、B(0,-3)、C (2,1)、? (-1,2)、E(-3,-4),作出A、B、C、 D D、E点关于原点O的中心对称点,并写出它们的坐 标,并回答:这些坐标与已知点的坐标有什么关 系?
y

A(4,0)?
B’ D C A’ o C’ E D’ B x E’

A’(-4,0) B’ (0,3) C’(-2,-1) D’ (1,-2) E’ (3,4)

B(0,-3) C(2,1) D(-1,2) E(-3,-4)

A

归纳: 在平面坐标系中,两个点关于原点对称时, 横坐标互为相反数, 纵坐标互为相反数.
即:点P(x, y)关于原点O对称 (-x,-y) 点P' 坐标为________________.
引申:若点P与P'的横,纵坐标分别互为相反数, 即P(x,y), P' (-x,-y), 则点P与P'关于原点O成中心对称.

☆例题精析
如图,利用关于原点对称的点的坐标的特点, 作出与线段AB关于原点对称的图形.
y
4 3 2

B′
-4 -3 -2 -1

1

A′
2

分析:要作出线段AB关于原点 的对称线段,只要作出点A、点B关 于原点的对称点A′、B′即可.
B
3

-2

O1 -1 A

x

-3

做一做:如图,利用关于原点对称的点的坐标的 特点,作出△ABC关于原点对称的图形. y 解:△ABC的三个顶点
C
5 4 3 2 1 A(-4,1),B(-1, -1),C(-3,2) 关于原点的对称点分别为

A

· ·

B` ·
1 2 3 4 5

A' (4,-1),B' (1,1),C' (3,-2)

· ·
-4

·
C`

·

-4 -3 -2 -1 0 -1 B -2 -3

x

A`

依次连接A‘ B’ ,B‘ C’ ,C‘ A 就可得到与△ABC关于原点 对称的△ A' B' C ' .

思考:在平面直角坐标系中,作关于原点的中心
对称的图形的步骤如何?

步骤:1.写出各点关于原点的对称的点的 坐标;

2.在坐标平面内描出这些对称点的 位置; 3.顺次连接各点即为所求作的对称 图形.

练习: (关于原点对称的点的坐标问题)
1.已知点M的坐标为(3,-5),则关于x轴

对称的点的坐 标点M’的坐标为 (3,5) ,关于y轴对称的点M’ 的坐标为 (-3,-5) ,关于原点对称的点的坐标 为 (-3,5) . y轴 2.点M(-2,3)与点N(2,3)关于______对称; 原点 3.点A(-2,-4)与点B(2,4)关于______对称; y 轴或原点 4.点G(4,0)与点H(-4,0)关于____ _____对称.

1.若设点M(a,b),
M点关于X轴的对称点M1( a,-b )

M点关于Y轴的对称点M2( -

a, b ), M点关于原点O的对称点M3(-a,-b )
2.点A(-1,-3)关于x轴对称点的坐标是____________. 关于原点对称的点坐标是____________. 3.若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则 m=_____,n=_____ .

2、作出下列点关于原点的对称点,并写出它们的坐标。 A(4,0) B(0,-3) C(2,1)y D(-1,2) E(-3,-2) 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1O 1 -2 E -3 B 2

D

C
A 3 4 x

这些点的坐标与已知点的坐标有什么关系?

3、下列各点中哪两个点关于原点对称?
A(-5,0), B(0,2), C(2,-1), D(2,0), E(0,5) F(-2,1) G(-2,-1)

点C(2,-1)与F(-2,1)
关于原点对称的点的横坐标、纵坐标的符号都 互为相反数

4.已知点P(a,3)和P’(-4,b)关于原点对称,则(a+b) 1 的值为 .

2008

分析:∵P(a,3)和P’(-4,b)关于原点对称, 2008 2008 ∴a=4,b=-3, ∴(a+b) =(4-3) =1

5、四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(5,0),B(-2,3), C(-1,0), D(-1,-5),作出与四边形ABCD关于原点O对称的图形 y

B

C

5 4 3 2 1 2 3 4

A
5

-5 -4 -3 -2 -1 -1O 1 -2 -3 -4 D -5

x

6、两个三角形有什么位置关系?分别写出对应 点的坐标。 y
5 4 3 2 1

B

C
2 3 4 5

A
x

-5 -4 -3 -2 -1 -1O 1 F -2 D -3 -4 E -5

7、在如图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中,关于 y轴对称的两个三角形的编号为 ①与②;关于坐标原点O对称 的两个三角形的编号为 ①与③ ;
y 5
4



3 2 1



-5

-4

-3

-2

-1 O -1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

5

x





8、如图,阴影部分组成的图案 既是关于x轴 成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对 称的图形.若点A的坐标是(1,3),则点M 和点N 的坐标分别是:

y
A

M(-1,-3) N(1,-3)
x
N

O M

课堂小结 1、会求已知点关于原点对称的 点的坐标。 2、会利用坐标画出关于原点对 称的图形。

作业

? 习题23.2第3、4题

探究1
如何确定平面直角坐标系 中A,B点关于原点对称的 点A′,B′坐标?
A ( 2,1 ), A′ ( -2,-1 ) ,
B( 1,-2 ) -3 B′ ( -1,2 ) -2

B′
2
1 -1 O -1 -2 -3

y A
1 2 3

x

A′

B

关于原点对称的两个点坐标之间有什么关系? 横坐标、纵坐标均互为相反数
(-a,-b) 点(a, b)关于原点对称的点坐标为______.

我们学过平移、轴对称和旋转,我们可以利用这些图形变换中的一种进行 图案设计,还可以利用这些图形变换的组合进行图案设计。例如,图中的 图案就是由 经过旋转、轴对称和平移得到的。

这些图案有什 么共同特征?


下列这些图案是怎样设计得到的呢?

23.3图案设计

学习目标 :
? 1、利用旋转、平移和轴对称来进行简单的 图案设计。 ? 2、认识和欣赏平移、旋转和轴对称在现实 生活中的应用。

重点:灵活运用平移、旋转的组合进 行简单的图案设计。 难点:利用旋转、平移的组合进行图 案设计。

以点O为旋转中心将 逆时针旋转90°三次作出图,然后以L为对称轴 作出图。平移图就可以作出图中的图案。

o

L

你能搜集一些利用平移、轴对称和旋转的组合设计的图案吗?你能利用这 些图形变换的组合自己设计一些图案吗?试试看,并与同学互相交流。

分析图案的形成过程
基本图案 图案的形成过程

分析图案的形成过程

基本 图案

图案 的形 成过 程

运动美(一)

运动美(一)

运动美(二)

运动美(二)

你能找出图 这幅图案可 案中的全等 看成是怎样 图形吗? 制作的呢?

请同学们分组讨论: 怎样用圆规画出这个六花瓣图?

这 样 的 作 图 对 你 有 所 启 发 吗 ?

注意! 半径能不能变?

A

O

A
O

A
O

A
O

画完之后请同学们思考以下几个问题:

(1) 图中A点的位置对六花瓣的形状有没 有影响?对花瓣的位置有影响吗?
A A
O

A
O

A
O

O

(对形状没影响,对位置有影响)

练习:
画出下图所示的图案

参考图案

探索新知

仔细观察下面海军图,分析它是怎样设计得到的。

探索新知

基本图案

拓展提高

请以给定的图形○○△△=(两个圆,两个三角形, 两条平行线)为构件,尽可能多地构思有意义的一 些有意义的图形,并写上一两句贴切,诙谐的解说 词.如下图就是符合要求的图形,你能构思其它图 形吗?比一比,看谁想得多,看谁想得妙!

路灯与倒影

沙漏

小丑踩球

漂亮的小领结

指南针

除号

两只拔河的小鸡

小鸟飞翔 小鸡 猫头鹰

小猪小猪胖乎乎

鱼翔浅底 蝴蝶纷飞

唐老鸭溜冰

三毛他哥二毛

母女俩

开心雪人

用望远镜 的小女孩

请遵守交 通规则

企盼奥运

渔翁

流星雨

浪漫一刻

放飞心情

小雨伞

旭日东升

红旗飘扬

装甲车

宝剑

飞碟

钥匙

自行车

衬衣

把手

温暖的家

保护视力

传送带

天平

电灯

棒棒糖

红缨枪

圣诞树

直升飞机

手拉车

双基演练

1.剪 纸 是 中 国 的 民 间 艺 术 ,剪 纸 方 法 很 多 ,如 图 所 示 是 一 种 剪 纸 方 法 的 图 示( 先 将纸折叠,然后再剪,展开即得到图案):

下面四个图案中,不能用上述方法剪出的是(

).

2.将 一 正 方 形 纸 片 按 图 中 ⑴ 、⑵ 的 方 式 依 次 对 折 后 ,再 沿 ⑶ 中 的 虚 线 裁 剪 , 最 后 将⑷中的纸片打开铺平,所得图案应该是下面图案中的( )

A

B

C

D

能力提升

1.(1)观

察 图 中 的 ① ~ ④ 中 的 阴 影 部 分 构 成 的 图 案 , 请 写 出 这 四 个 图 案 都 具 有 的 两个共同特征; (2)借 助 图 ⑤ 中 的 网 格 , 请 设 计 一 个 新 的 图 案 , 使 该 图 同 时 具 有 你 在 解 答 (1)中 所 定 的 两 个 共 同 特 征 。

2.如 图 是 五 个 小 正 方 形 拼 成 的 图 形 .请 你 移 动 其 中 一 个 小 正 方 形 ,重 新 拼 成 一 个 图 形 ,使 得 所 拼 成 的 新 图 形 : (1)是 轴 对 称 图 形 ,但 不 是 中 心 对 称 图 形 ; (2)是 中 心 对 称 图 形 ,但 不 是 轴 对 称 图 形 ; (3)既 是 轴 对 称 图 形 ,又 是 中 心 对 称 图 形 .

聚焦中考

1.(2008 . 山 东 聊 城 ) 把 一 张 正 方 形 纸 片 按 如 图 所 示 的 方 法 对 折 两 次 后 剪 去两个角,那么打开以后的形状是( )

A. 六 边 形 B. 八 边 形 C. 十 二 边 形 D. 十 六 边 形 2.( 2008.山 东 东 营 )将 一 正 方 形 纸 片 按 下 列 顺 序 折 叠 ,然 后 将 最 后 折 叠 的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.( )

将纸片展开,得到的图形是

A

B

C

D

小结作业 ? 小结

本节课你学到了什么知识?图案设计的
关键是什么?

利用平移、轴对称和旋转的图形变换中

的一种或组合设计图案

1.如 图 ,已 知 线 段 CD 是 线 段 AB 平 移 后 的 图 形 ,D 是 B?点 的 对 称 点 , ?作 出 线 段 AB, 并 回 答 , AB 与 CD 有 什 么 位 置 关 系 .

C

C

l

B D
说 明 CD 与 对 称 线 段 C′ D′ 之 间 有 什 么 关 系 ? 3.如 图 ,已 知 线 段 CD, 作 出 线 段 CD 关 于 D 点 旋 转 90°的 旋 转 后 的 图 形 , ? 并说明这两条线段之间有什么关系?
C

D

2.如 图 ,已 知 线 段 CD,作 出 线 段 CD 关 于 对 称 轴 L 的 对 称 线 段 C′ D′ , ?并

D

探索新知

按下面的步骤,请每一位同学完成一个别致的图案 (1)准备一张正三角形纸片(课前准备)(如图a) (2)把纸片任意撕成两部分(如图b,如图c) (3)将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称,得 到新的图形. (4)并将(3)得到的图形以正三角形的一个顶点作 为旋转中心旋转,得到如图d(如图c保持不动) (5)把如图d平移到如图c的右边,得到如图e (6)对如图e进行适当的修饰,使得到一个别致美丽 的如图f的图案.

第二十三章旋转小结

一.本章知识结构图

二、本章学习目标
基本要求: 通过具体实例认识图形的旋转,探索它 的基本性质,理解对应点到旋转中心的距离 相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此 相等的性质;会识别中心对称图形(从略高 要求移动到基本要求)

较高要求: 能运用旋转的知识解决简单的计算问题; 运用旋转的知识进行图案设计;与

其他变换 共同解决实际问题. 能够按要求作出简单平面图形旋转后的 图形,能依据旋转后的图形,指出旋转中心 和旋转角.

三、本章学习重点、难点
? 重点:了解图形旋转的特征,认识 旋转的基本性质、中心对称及其性 质. ? 难点:旋转图形性质的应用.

(一)图形的旋转 1.旋转的定义: 在平面内,将一个图形绕一个定点沿某 个方向转动一个角度,这样的图形变换称为旋 转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋 转角. 注意:在旋转过程中保持不动的点是旋转中心.
2.旋转的三个要素:

旋转中心、旋转的角度和方向.

3.旋转的性质:

(1)对应点到旋转中心的距离相等;

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角 等于旋转角;
(3)旋转前后的图形全等.

? 例1.台风“麦莎”过去后,许多大树被大风 刮倒吹折.一棵笔直的大树被风吹折后倒地, 折断点为B(B点离地面为树高的 1 处). 求∠B的度数. 3
A′

B

A

C

? 例2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°, ∠ABC=60°,△ABC以点C为中心旋转到 △A′B′C的位置,使B在斜边A′B′上, A′C与AB相交于D,试确定∠BDC的度 数.
解:∵△A′B′C是由△ABC旋转所得, ∴∠B′=∠ABC=60°,B′C=BC, ∴△B′BC是等边三角形. ∴∠BCB′=60°. ∵∠BCD=90°-60°=30°, ∴∠BDC=180°- (60°+30°) =180°-90°=90°.

4.简单图形的旋转作图:

(1)确定旋转中心; (2)确定图形中的关键点; (3)将关键点沿指定的方向旋转指 定的角度; (4)连结各点,得到原图形旋转 后的图形.

例3. 把△AOB绕点O逆时针方向旋转 90°,画出旋转后的图形.

错解:旋转时,把 ∠AOB′看作90° 进行了旋转.

例3. 把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°, 画出旋转后的图形. 正解: 按逆时针方向把OA旋 转到OA′,使∠AOA′ =90°,把OB旋转到 OB′,使∠BOB′= 90°,如图.

(二)中心对称 1.中心对称图形与对称中心: 在平面内,某一图形绕某一点旋 转180°后能与原来的图形互相重合, 那么这个图形叫做中心对称图形,这 个点叫做对称中心. 了解平行四边形、圆是中心对称图形.

例4.下列图形中,中心对称图形是 ( ) 答案:B

例5.下列图形中,既是中心对称又是 轴对称的图形是( )
答案:C

2.中心对称和对称中心:

把一个图形绕着某一点旋转 180°后,如果它能和另一个图形完 全重合,那么称这两个图形成中心 对称,这个点叫做对称中心.这两个 图形中的对应点,叫做关于中心的 对称点.
3.中心对称和中心对称图形的关系:

4.中心对称的特征:

成中心对称的两个图形中, 连结对称点的线段都经过对称中心

, 并且都被对称中心平分; 反之,如果两个图形的对应点连 成的线段都经过某一点,并且都被 该点平分,那么这两个图形一定关 于这一点成中心对称.

5.对称中心的确定:

将其中的两个关键点和它们的对 称点的连线作出来,两条连线的交 点就是对称中心.
6.关于中心对称的作图:

(1)确定对称中心; (2)确定关键点; (3)作关键点的关于对称中心 的 对称点; (4)连结各点,得到所需图形.

7、关于原点对称的点的坐标:

(a,b)关于原点的对称点是
(-a,-b) 例6、点P(-1,3)关于原点对称的点的 坐标是 ; 点P(-1,3)绕着原点顺时针旋转90o 与P’重合,则P’的坐标为 ;

? 例7.如图,如果四边形CDEF旋转后 能与正方形ABCD重合,那么图形所 在的平面上可以作为旋转中心的点 共有几个? 可以作为旋转中 心的点有3个,即 D、O、C.

例8.有甲、乙两棵“小树”,你能对 甲“树”进行适当的操作,将它与乙 “树”重合吗?写出你的操作过程.

解:可以先将甲“树”绕图上的A点旋转,使得 甲“树”被“扶直”,然后,再沿AB方向将 所得“树”平移到B点位置,即可与乙树重合 (如图2). 本题将旋转与平移相结合.

例9.边长为4的正方形ABCD的对称 中心是坐标原点O,AB∥x轴,BC∥y轴, 反比例函数与的图象均与正方形 ABCD的边相交,则图中的阴影部分的 面积是( ) A、2 B、4 C、8 D、6

答案:C

旋转的应用:
例10.已知E、F分别在正方形ABCD边AB和 BC上,AB=1,∠EDF=45°.求△BEF的周长. 解:∵ABCD是正方 形, ∴∠ADC=90°, AD=DC=AB=BC=1.

将△ADE绕着点D逆时针旋转 90°到△DCM的位置.由旋转的 特征可知AE=CM,DE=DM, ∠ADE=∠CDM. ∵∠EDF=45°, ∴∠FDM=45°. ∴△DEF与△DMF关于DF成轴 对称, ∴EF=FM.
△BEF的周长=BE+EF+BF =BE+(FC+CM)+BF=BE+FC+AE+BF =(BE+AE)+(FC+BF)=BA+BC=2, 所以△BEF的周长为2.

? 例11.如图,水渠旁有一大块L形耕 地,要画一条直线为分界线,把耕 地平均分成两块,分别承包给两个 人,BC边是灌溉用的水渠的一岸.每 块土地都要有水渠,怎么平分土地 才能满足每个人的需要?

例5.把正方形ADCB绕着点A,按顺时针方向 旋转得到正方形AGFE,边BC与GF交于点H (如图).试问线段GH与线段HF相等吗? 请先观察猜想,然后再证明你的猜想.

解:HG=HB.
证法1:连结AH, ∵四边形ABCD,AEFG都是正 方形. ∴∠B=∠G=90 ° 由题意知AG=AB,又AH=AH. ∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL), ∴HG=HB.

解:HG=HB.
证法2:连结BG, ∵四边形ABCD,AEFG都是正方 形. ∴∠ABC=∠AGF=90 ° 由题意知AG=AB, ∴∠AGB=∠ABG, ∴∠HGB=∠HBG ∴HG=HB.


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