haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

《菱形》典型例题

发布时间:2013-10-14 09:40:09  

八上强化提高(9)--------------《菱形,矩形,正方形》典型例题

例1 如图,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE?AB,AB?a,求:

(1)?ABC的度数;(2)对角线AC的长;(3)菱形ABCD

的面

例2 已知:如图,在菱形ABCD中,CE?AB于E,CF?AD于 F.求证:

AE=AF

例3 如图,已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形,且AD?DF.

求证:GH垂直平分CF.

例4 如图,且DE?CD?CF. ABCD中,AD?2AB,E、F在直线CD上,

求证:BE?AF.

例5 如图,在Rt△ABC中,?ACB?90?,E为AB的中点,四边形BCDE是平行四边形.求证:AC与DE互相垂直平分

1 / 7

例6、如图,在是△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,点F在直线DE上,AF=CE.

(1)说明,四边形ACEF是平行四边形;(5分)

(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?说明理由.(4分)

(3)四边形ACEF可能是正方形吗?说明理由.(3分) B

D C

例7、如图,△ABC中,点O是AC边上一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于E,交∠BCA的外角平分线于点F.

(1)说明:EO=OF

(2)当点O运动到时,四边形BEFC可能是菱形吗?并说明理由.

(3)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并说明理由.

(4)在(3)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?并说明理由.

M

梯形的性质和判定

一、等腰梯形添加辅助线的方法

二、典型例题

例1、在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于E,且AE=AD,BC=3AD,

则∠B等于( )

A.30° B.45° C.60° D.135°

例2、等腰梯形的腰长为5 cm,上、下底的长分别为6 cm和12 cm,则它的面积 为_______.

2 / 7

例3、在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=60°,CD=10 cm,BC=2AD,则梯形的面积为_______.

例4. (2011四川绵阳11,3)如图,在等腰梯形站ABCD中,AB//CD,

对角线AC、BD相交于O,∠ABD=30°,AC⊥BC, AB = 8cm,则△

COD的面积为例5. (2011湖南邵阳,16,3分)如图(六)所示,在等腰

梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,AC⊥BC,∠B=60°,

BC=2cm,则上底DC的长是_______cm。

变式题

4. (2011四川南充市)如图,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,点E,F在BC上,且BE=CF,连接DE,AF.求证:DE=AF.

AD

EF2. (2011江苏苏州)如图,已知四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∠A=90°,BC=BD,CE⊥BD,垂足为E.(1)求证:△ABD≌△ECB;

(2)若∠DBC=50°,求∠DCE的度数.

例6. (2011重庆市潼南10分) 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.

⑴ 求证:AD=AE;

⑵ 若AD=8,DC=4,求AB的长.

3 / 7 24题图

变式题

1、 在梯形ABCD中,上底AD=1 cm,下底BC=4cm,对角线BD⊥AC,且BD=3cm,

AC=4cm.求梯形ABCD的面积.

3、(山西太原)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是边AB上两点,且AE?BF,DE与CF相交于梯形ABCD内一点O.

(1)求证:OE?OF;

(2)当EF?CD时,请你连接DF,CE,判断四边形DCEF

是什么样的四边形,并证明你的结论.

F

E B

课后练习

1、梯形ABCD中,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠C=60°,当AB=CD=4时,梯形ABCD的周长 DCDA

60 BBAC

2、在等腰梯形ABCD中,AB∥CD, 对角线AC平分∠BAD,∠B=60o,CD=2cm,则梯形ABCD的面积为3.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC为对角线,AE⊥BC于E,AB⊥AC,若

∠ACB=30°,BE=2.则EC=___________.

5.在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AC,若∠D=110°,∠ACD=30°,则∠BAC等于

7.直角梯形一腰长16 cm,该腰和一个底所成的角为30°,那么另一腰长________ cm.

9、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC⊥BD,过D点作DE∥AC交BC的延长线于E点.

⑴求证:四边形ACED是平行四边形;

⑵若AD=3,BC=7,求梯形ABCD的面积.

E

4 / 7

参考答案

例1 分析 (1)由E为AB的中点,DE?AB,可知DE是AB的垂直平分线,从而

(2)而AD?DB,且AD?AB,则?ABD是等边三角形,从而菱形中各角都可以求出.

(3)由菱形的对角线互相垂直,可知AC?BD,AO?OC,利用勾股定理可以求出AC.

S?1AC?BD. 2

解 (1)连结BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AD?AB.

?E是AB的中点,且DE?AB,∴AD?DB.

∴?ABD是等边三角形,∴?DBC也是等边三角形.

∴?ABC?60??2?120?.

(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC与BD互相垂直平分, ∴OB?111BD?AB?a. 222

13AB2?OB2?a2?(a)2?a,∴AC?2AO?3a. 22∴OA?(3)菱形ABCD的面积S?112AC?BD??a?a?a. 222

说明:本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形,这个菱形有许多特点,通过解题应该逐步认识这些特点.

例2 分析 要证明AE?AF,可以先证明BE?DF,而根据菱形的有关性质不难证明?BCE??DCF,从而可以证得本题的结论.

证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴BC?CD,?B??D,且?BEC??DFC?90?,∴?BCE??DCF,∴BE?DF,

?AB?AD,

∴AB?BE?AD?DF,

∴AE?AF.

例3 解答:连结AC.

∵四边形ABCD为菱形,

∴?B??D?60?,AB?BC?CD?AD.

5 / 7

∴?ABC与?CDA为等边三角形.

∴AB?AC,?B??ACD??BAC?60?

∵?EAF?60?,

∴?BAE??CAF

∴?ABE??ACF

∴AE?AF

∵?EAF?60?,

∴?EAF为等边三角形.

∴?AEF?60?

∵?AEC??B??BAE??AEF??CEF,

∴60??18??60???CEF

∴?CEF?18?

说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质,解题关键是连AC,证?ABE??ACF 例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH是菱形,再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH垂直平分CF.

证明:∵四边形ABCD、BEDF都是长方形

∴DE//BF,AB//CD,?DFH??BCD?90,AD?BC

∴四边形BGDH是平行四边形

∵AD?DF,∴DF?BC

在△DFH和△BCH中 ?

??DFH??BCH???DHF??BHC

?DF?BC?

∴△DFH≌△BCH ∴DH?BH,HF?HC

∵四边形BGDH是平行四边形

∴四边形BGDH是菱形

∴GH平分?BHD ∴GH平分?FHC ∵HF?HC

∴GH垂直平分FC.

例5 分析 要证BE?AF,关键是要证明四边形ABHG是菱形,然后利用菱形的性质

6 / 7

证明结论.

证明 ∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB//CD,AB?CD,AG//BH,∴?1??E

∵CD?ED,∴AB?ED

??1??E?在△ABG和△EDG中 ??2??3

?AB?ED?

∴△ABG≌△DEG ∴AG?GD

∵AD?2AB ∴AG?AB

同理:AB?BH ∴AG?BH

∵AG//BH

∴四边形ABHG是平行四边形

∵AB?BH ∴四边形ABHG是菱形

∴AF?BE.

例6 分析 要证明AC与DE互相垂直平分,只要证明四边形ADCE是菱形.所以要连结AD

证明 ∵在Rt△ABC中,E为AB的中点

∴AE?CE?BE

∵四边形BCDE是平行四边形

∴CD//AB,CD?BE ∴CD//AE,

∴四边形ABCE是平行四边形

∵AE?EC ∴ADCE是菱形 ∴AC与DE互相垂直平分.

7 / 7

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com