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《梯形》典型例题

发布时间:2013-10-14 10:00:41  

《梯形》典型例题

AE//BD。例1 已知:如图,四边形ABCD为矩形,四边形ABDE为等腰梯形,

求证:?

BED??BCD.

例2 已知,如图,梯形ABCD中,AB//DC,AD?BC,延长AB到E,使BE?DC,求证:AC?

CE.

例3 如图,把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形(全部用上,互不重叠且不留空隙),并把你的拼法画出来:

(1)不是正方形的菱形一个;(2)不是正方形的矩形一个;(3)梯形两个;

(4)不是矩形、菱形的平行四边形一个;(5)不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。

例4 如图,已知:四边形ABCD是等腰梯形,其中AD?BC,若AD?5,CD?2,AB?8.

求:梯形ABCD的面积.

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例5 如图,已知:在梯形ABCD中,AD//BC,AC、BD相交于点O. 求证:S?AOB?S?DOC.

?D?50?,AB?4,例6 已知:如图,梯形ABCD中,AB//CD,?C?80?,

DC?10.

求BC的长.

例7 已知:如图,在梯形ABCD中,AB//CD,过B作BE//AD,过D作DE//AC交BE于E.

求证:S?DCE?S?ABC.

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参考答案

例1 分析 要证?BED??BCD,则考虑这两个三角形中对应边、对应角的相等关系。

而DE?AB?CD,BD?BD,且BE?AD?BC,则问题得证,本题要证对应的角相等也并不困难。

证明 ∵四边形ABCD为矩形,∴DC?AB,BC?AD. ∵四边形ABDE为等腰梯形,且AD、BE为其对角线, ∴DE?AB,BE?AD。在?BED和?BCD中,DE?DC,BE?BC,又BD?BD,∴?BED??BCD.

例2 证法一 由ABCD是等腰梯形,∴?ADC??BCD. 又DC//AB,∴?DCB??CBE.

在?ADC与?CBE中,AD?BC,?ADC??CBE,DC?BE, 于是?ADC≌?CBE,故AC?CE。

证法二 如图,连结BD,由DC//BE,DC?BE可知四边形DCEB为平行四边形,所以DB?

CE.

又ABCD为等腰梯形,于是AC?BD,故AC?EC.

证法三 如图,作CF?AE于F,DM?AE于M。

在?AMD与?BFC中,?DAM??CBF,AD?BC,?DMA??CFB?90?,所以?ADM??BCF,AM?BF.

又DC//AB,DM//CF,故DC?MF.

又由DC?BE,可得AM?MF?BF?BE.

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所以F为AE的中点,CF为AE的垂直平分线,所以AC?EC.

证法四 如图,连结BD。

由DC//AB,DC?BE知四边形BECD为平行四边形,所以?2??3。 又ABCD是等腰梯形,所以AC?BD.

又由AD?BC,AB?AB,可知?ABC??BAD。

所以?1??2,?1??3,AC?CE.

说明:本题采用了几种常用的作辅助线的方法证得结论,目的是说明解与梯形有关的问题经常用这些作辅助线的方法。

例3 分析 画出这些图形的关键是认识这些图形,也可以动手剪出这样的四个直角三角形,动手拼一拼,拼的过程中要注意把相等的两条边拼在一起。

例4 分析:由已知条件知,梯形ABCD是等腰梯形,由于等腰梯形是一个

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轴对称图形,由图中的辅助线很容易想到AE?BF. 在此基础上应用勾股定理,就可以解决问题.

解答:过点D、C作DE?AB于E,CF?AB于F.

则根据等腰梯形的轴对称性可知:AE?BF.

∵DE//AB,DE?AB,CF?AB,

∴四边形CDEF是矩形.

∴ DC?EF. ∴AE?11(AB?CD)?(8?2)?3 22

在Rt?ADE中,根据勾股定理有,

DE?AD2?AE2?52?32?4

∴ S梯形ABCD?1(2?8)?4?20. 2

说明 等腰梯形是一个轴对称图形,在计算等腰梯形的有关量时,就要从上底的两个端点作下底的垂线,从而产生一个矩形和两个全等的直角三角形,然后我们就可以根据等腰梯形的对称性,矩形自身的性质以及全等的直角三角形的性质解决问题.

例5 分析 图中有两条线AD和BC是平行的,也就是说一条直线上的各点到另一条直线的距离相等.所以如果出现同底的三角形,就可以保证其面积相等,因此,在这个图形中就能出现面积相等的三角形.

证明:∵AD//BC,

∴A、D两点到BC的距离相等.

即?ABC中BC边上的高与?DBC中BC边上的高相等.

∴ S?ABC?S?DBC(等底等高).

∴S?ABC?S?OBC?S?DBC?S?OBC ∴ S?AOB?S?COD

说明 本题中,我们也可以用?BAD和?CAD的面积相等,推出?AOB和?COD的面积相等,等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时,起关键作用.

例6 解法1 如图,延长DA,CB交于F.

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∵ AB//CD,?D?50?,?C?80?,

∴ ?1??D?50?,?2??C?80?

∴ ?F?180??50??80??50?

∴ ?1??F??D

∴BF?AB,CF?CD.

∴ BC

?CF?FB?CD?AB?10?4?6

解法2 如图,作BD//AD,交DC于E.

∵ AB//CD,?D?50?,AB?4,

∴ DE?AB?4,?1??D?50?

在?CBE中,∵?1?50?,?C?80?,

∴?EBC?50? ∴ ?1??EBC

∴CB?CE ∴DC?10,

∴BC?CE?CD?DE?CD?AB?10?4?6

分析 本题综合考查了梯形的性质及等腰三角形的判定,易错点是作辅助线后探索不出图中所含的等腰三角形.

解题关键是作出恰当的辅助线.

例7 分析:计算面积,我们可以通过面积的计算公式,但同时,对于一些特殊的图形可采取特殊的方法,如,同底同高的两个三角形面积相等,同底等高的三角形和平行四边形的面积比为1:2. 那么由给出条件中的几对平行线,可考虑构造几个平行四边形. 延长DC交BE于F,延长AC交BE于M,则图中就有两个平行四边形,即AMED

和ABFD. 而且这个平行四边形的底都为AD,且高都是AD,BE平行线之间的距离,即它们的高也相等,所以它们的面积相等. 继续观察图形可发现?ABC的面积恰好是

好是ABFD面积的一半,?DCE的面积恰AMED的一半. 因此可证明这两个三角形的面积相等.

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证明:延长DC交BE于F,延长AC交BE于M. 则四边形ABFD和四边形AMED皆为平行四边形,且

(同底等高)

又∵

∴ S?ABC?S?DCE. (等底等高),

(同底等高),

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