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四川省木里县中学中考数学 分类全集66圆与相似三角形复习

发布时间:2013-10-15 11:31:01  

分类全集66圆与相似三角形复习

26.(本小题满分12分)

如图12-1所示,在△ABC中,AB?AC?2,动点E在BA∠A?90,O为BC的中点,

边上自由移动,动点F在AC边上自由移动.

(1)点E,F的移动过程中,△OEF是否能成为∠EOF?45的等腰三角形?若能,请指出△OEF为等腰三角形时动点E,F的位置.若不能,请说明理由.

(2)当∠EOF?45时,设BE?x,CF?y,求y与x之间的函数解析式,写出x的取值范围.

(3)在满足(2)中的条件时,若以O为圆心的圆与AB相切(如图12-2),试探究直线EF与?O的位置关系,并证明你的结论.

B 图12-1 图12-2

26.解:如图,

(1)点E,F移动的过程中,△OEF能成为?EOF?45°的等腰三角形.

此时点E,F的位置分别是:

①E是BA的中点,F与A重合.

②BE?CF????E与A重合,F是AC的中点. ············ 3分

(2)在△OEB和△FOC中,

?EOB??FOC?135°,?EOB??OEB?135°,

∴?FOC??OEB.

又∵?B??C,

··························· 5分 ∴△OEB∽△FOC.

∴BEBO. ?COCF

? ∵BE?x,CF?

y,OB?OC?

∴y?2(1≤x≤2). ·························· 8分 x

(3)EF与?O相切.

∵△OEB∽△FOC,

1

BEOE. ?COOF

BEOE. ∴?BOOF

BEBO即. ?OEOF

又∵?B??EOF?45°,

∴△BEO∽△OEF.

10分 ∴?BEO??OEF. ···························

∴点O到AB和EF的距离相等.

∵AB与?O相切,

∴点O到EF的距离等于?O的半径.

12分 ∴EF与?O相切. ···························· ∴

24.如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分

∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB=AF·AC,cos∠ABD=3,52AD=12.

⑴求证:△ANM≌△ENM;

⑵求证:FB是⊙O的切线;

⑶证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.

24.⑴证明:∵BC是⊙O的直径

∴∠BAC=90

又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,

∴AM=ME,∠AMN=EMN

又∵MN=MN,

∴△ANM≌△ENM

⑵∵AB=AF·AC ∴AB?AF ACAB

又∵∠BAC=∠FAB=90 o

2o

2

∴△ABF∽△ACB

∴∠ABF=∠C

又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90

∴FB是⊙O的切线

⑶由⑴得AN=EN,AM=EM,∠AMN=EMN,

又∵AN∥ME,∴∠ANM=∠EMN,

∴∠AMN=∠ANM,∴AN=AM,

∴AM=ME=EN=AN

∴四边形AMEN是菱形

∵cos∠ABD=3,∠ADB=90 5oo

∴BD?3

AB5

设BD=3x,则AB=5x,,由勾股定理AD?

而AD=12,∴x=3

∴BD=9,AB=15

∵MB平分∠AME,∴BE=AB=15

∴DE=BE-BD=6

∵ND∥ME,∴∠BND=∠BME,又∵∠NBD=∠MBE

∴△BND∽△BME,则ND?BD MEBE

设ME=x,则ND=12-x,12?x?9,解得x=15 x152

∴S=ME·DE=15×6=45 2

24.(本小题满分9分)

如图8-1,已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点,以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B,交射线OX于点C.连结BC,作CD⊥BC,交AY于点D.

(1) (3分) 求证:△ABC∽△ACD;

3(2) (6分) 若P是AY上一点,AP=4,且sinA=, 5

① 如图8-2,当点D与点P重合时,求R的值;

3 5x2-3x2?4x

② 当点D与点P不重合时,试求PD的长(用R表示).

图8-1

图 8-2 24.(1) 由已知,CD⊥BC,∴ ∠ADC=90°–∠CBD,

·············1

又∵ ⊙

O切AY于点B,∴ OB⊥AB,∴∠OBC=90°–∠CBD, ········ 2分 ∴ ∠ADC=∠OBC.又在⊙O中,OB=OC=R,∴∠OBC=∠ACB,∴∠ACB=∠ADC.

又∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD . ···················· 3分

3(2) 由已知,sinA=,又OB=OC=R,OB⊥AB, 5

∴ 在Rt△AOB中,AO=OBR54==R,AB=R, 3sinA33

5

58∴ AC=R+R=R . ························· 4分 33

ACAD由(1)已证,△ABC∽△ACD,∴ , ··············· 5分 ?ABAC

8RAD16?∴,因此 AD=R. ····················· 6分 483RR33

163① 当点D与点P重合时,AD=AP=4,∴R=4,∴R=. ········· 7分 34

② 当点D与点P不重合时,有以下两种可能:

316i) 若点D在线段AP上(即0<R<),PD=AP–AD=4–R; ········ 8分 43

316ii) 若点D在射线PY上(即R>),PD=AD–AP=R–4. ········· 9分 43

3163综上,当点D在线段AP上(即0<R<)时,PD=4–R;当点D在射线PY上(即R>)434

163时,PD=R–4.又当点D与点P重合(即R=)时,PD=0,故在题设条件下,总有34

16PD=|R–4|(R>0). 3

26. (2010广西百色,26,10分)如图1,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,垂足为B,AC交⊙O于点D.

(1)用尺规作图:过点D作DE?BC,垂足为E(保留作图痕迹,不写作法和证明);

(2)在(1)的条件下,求证:△BED∽△DEC;

4

C

D

A B O

图1 图2 【分析】(1)要证△BED∽△DEC,有一公共角,故只要证明∠C=∠EDB即可.

(2)在Rt△OBC中,只要找到OB与OC的关系即可.由于∠ADB =

90?, D是AC的中点,所以BD垂直平分AC,所以△ABC是等腰直角三角形.

C

答案:(1)如图 (2)证明:∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=∠CDB=90?

∴∠CDE+∠EDB=90? 又∵DE⊥BC ∴∠CED=∠DEB=90? ∴∠CDE+∠C=90? ∴∠C=∠EDB ∴△BED∽△DEC

(3)解:∵∠ADB =90?, D是AC的中点 ∴BD垂直平分AC ∴BC=AB=2OB 设OB=k则BC=2k

∴OC

A

∴sin∠OCB =

OB5=

5OC20(8分)如图,BD为⊙O的直径,点A是弧BC的中点,AD交BC于E点,AE=2,ED=4.

(1)求证: ?ABE~?ABD;

(2) 求tan?ADB的值; (3)延长BC至F,连接FD,使?BDF的面积等于 求?EDF的度数.

5

20.(1)∵点A是弧BC的中点 ∴∠ABC=∠ADB

又∵∠BAE=∠BAE ∴△ABE∽△ABD...........................3分 (2)∵△ABE∽△ABD ∴AB=2×6=12 ∴AB=23 2

在Rt△ADB中,tan∠ADB=2?..............................3分 63

(3)连接CD,可得BF=8,BE=4,则EF=4,△DEF是正三角形,

∠EDF=60°...........................................................2分

21.(10分) 如图9,已知,在△ABC中,∠ABC=900,BC为⊙O

的直径, AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点,PF⊥BC交BC

于点G,交AC于点F.

(1)求证:ED是⊙O的切线.

(2)如果CF =1,CP =2,sinA =

4,求⊙O的直径BC. 5 图

9

21、解:⑴ 连接OD …………………………………………1分 ∵BC为直径 ∴△BDC为直角三角形。

又∵∠OBD=∠ODB

Rt△ADB中E为AB中点 ∴∠ABD=∠EDB …………………………2分

∵∠OBD+∠ABD=90 ∴∠ODB+∠EDB=90

∴ED是⊙O的切线。 …………………………………………5分

(2)∵PF⊥BC

6 00

∴∠FPC=∠PDC 又∠PCF公用

∴△PCF∽△DCP ………………………………………………………7分 ∴PC2=CF·CD

又∵CF=1, CP=2, ∴CD=4 …………………………………………8分 可知 sin∠DBC = sinA =

26.(本小题满分10分)

如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F。

4 544DC4=即= 得直径BC= 5 ………………………………………10分 BC5BC5

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径为2,BE=1,求cosA的值.

26.(本小题满分10分)

解:(1)证明:连结AD、

OD

7

∵AC是直径 ∴AD⊥BC ∵AB=AC ∴D是BC的中点 又∵O是AC的中点 ∴OD//AB ∵DE⊥AB ∴OD⊥DE ∴DE是⊙O的切线

(6分)

(4分)

(2分)

(2)由(1)知OD//AE

FOOD

?

FAAEFC?OCOD∴ ?

FC?ACAB?BEFC?22∴ ?

FC?44?1

∴解得FC=2 ∴AF=6 ∴cosA=

(8分)

AEAB?BE4?11

??? AFAF62

?

(10分)

25.(9分)如图,在△ABC中?ACB?90,D是AB的中点,以DC为直径的?O交

△ABC的三边,交点分别是G,F,E点.GE,CD的交点为M

,且ME?,

MD:CO?2:5.

(1)求证:?GEF??A. (2)求?O的直径CD的长.

(3)若cos?B?0.6,以C为坐标原点,CA,CB所在的直线分别为X轴和Y轴,建立平面直角坐标系,求直线AB的函数表达式.

第25题图

8

25.(9分) (1)连接DF

?CD是圆直径,??CFD?90?,即DF?BC

??ACB?90?,?DF∥AC. ······················ 1分

??BDF??A.?在?O中?BDF??GEF,??GEF??A. ······· 2分 (2)?D是Rt△ABC斜边AB的中点,?DC?DA,??DCA??A, 又由(1)知?GEF??A,??DCA??GEF. 又??OME??EMC,?△OME与△EMC相似 ·············· 3分 OMME2

?ME?OM?MC ····················· 4分

??

MEMC

2

又?

ME?,?OM?MC??96

?MD:CO?2:5,?OM:MD?3:2,?OM:MC?3:8 ·········· 5分 设OM?3x,MC?8x,?3x?8x?96,?x?2

?直径CD?10x?20. ·························· 6分 (3)?Rt△ABC斜边上中线CD?20,?AB?40

BC

,?BC?24,?AC?32 ········ 7分 ?在Rt△ABC中cos?B?0.6?AB设直线AB的函数表达式为y?kx?b,

根据题意得A(32,0),B(0,24)

25题图

3?k???0?k?b?24?

?? 解得?4 ?32?k?b?0??b?24

3

········· 9分 ?直线AB的函数解析式为y??x?24(其他方法参照评分)

4

23.(本题满分10分)

已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC.连结DE,DE

.

(1) 求证:AM?MB?EM?MC; (2) 求EM的长;

(3)求sin∠EOB的值.

B

9

23.(本题满分10分)

解:⑴ 连接AC,EB,则∠CAM=∠BEM. ……………1分 又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB. ∴

B

EMMB

,即AM?MB?EM?MC.………3分 ?

AMMC

(2) ∵

DC为⊙O的直径,

∴∠DEC=90°,EC

??7. ………………………4分 ∵OA=OB=4,M为OB的中点,∴AM=6,BM=2. …………………………………5分 设EM=x,则CM=7-x.代入(1),得 6?2?x(7?x).

解得x1=3,x2=4.但EM>MC,∴EM=4. …………………………………………7分 (3) 由(2)知,OE=EM=4.作EF⊥OB于F,则OF=MF=

14

OB=1. ………………8分

在Rt△EOF中,EF=OE?OF

22

?42?12?, …………………………9分

∴sin∠EOB=

EF?. ……………………………………………………………10分 OE4

25.(本题满分10分)

如图(8)所示,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点D在⊙O 上,过点C的切线交

AD的延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD.

(1)求证:DC=BC;

(2)若AB=5,AC=4,求tan∠DCE的值.

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA ∵CE是⊙O的切线

E

D

B

O

A

图(8)

25.(1)证明:连接OC ··························· 1分

D

B

O

10

A

∴∠OCE=90° ············· 2分 ∵AE⊥CE

∴∠AEC=∠OCE=90°

∴OC∥AE ··············· 3分 ∴∠OCA=∠CAD

∴∠CAD=∠BAC ············ 4分

??BC? ∴DC

∴DC=BC ······························ 5分 (2)∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° ∴BC?

AB2?AC2?52?42?3 ················ 6分

∵∠CAE=∠BAC ∠AEC=∠ACB=90°

∴△ACE∽△ABC ·························· 7分 ∴ ∴

ECAC

?

BCAB

EC412

······················· 8分 ? EC?

355

129

DC2?CE2?32?()2? ··············· 9分

55

∵DC=BC=3 ∴ED?

9

ED3

∴tan?DCE?10分 ?5? ····················

EC124

5

26.(本题满分12分) 如图13,A,B,C,D四点在?O上,AD,BC的延长线相交于点E,直径

AD?10,OE?13,且?EDC??ABC.

CEDE

(1)计算(4分) ?

AEBE

(2)计算CE?BE的值(4分)

(3)探究:BE的取值范围(4分)

图13

21.(8分)(1)证明:∵AB为⊙O的直径,∴ ?BCA?90

?

11

又∵BC∥OD,∴OE?AC,即:?OEC??BCA?90…………………(2分)

又∵OA?OC,∴?BAC??OCE………………………………………………(3分)

∴?COE∽?ABC.…………………………………………………………………(4分)

(2)过点B作BF?OC,垂足为F.

∵AD与⊙O相切,∴?OAD?90

在Rt?OAD中,∵OA?1,AD???, ∴tan?D?3? ∴?D?30…………………(5

3

?又∴?BAC??EAD??D?

?EAD?90

∴?BAC??D?30 ,∴?BOC?60………………………………………(6分) ?

?

113………………………………(7分) ?OC?BF??1?1?sin60??224

60??12????∴S阴?S扇OCB?S?OBC?…………………………(8分) 360464∴S?OBC?

19、如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为点B,点D是⊙O上的一点,

且AD∥OC.

求证:AD·BC=OB·BD

A

24.(7分)已知:如图,AB是⊙O的直径,AB=6,延长AB到点C,使BC=AB,D是⊙O上

一点,DC=62.

求证:(1)△CDB∽△CAD;

(2)CD是⊙O的切线.

(第24题图) 12

?的中点,BD交AC8.如图10,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,D是劣弧AC

于点E. ⑴求证:AD2?DE?DB

⑵若BC

?5,CD?DE的长 2

CB

20.(本题满分9分)

如图,AC是圆O的直径,AC?10厘米,PA,PB是圆O的切线,A,B为切点.过A作AD?BP,交BP于D点,连结AB,BC.

(1)求证△ABC∽△ADB; (2)若切线AP的长为12厘米,求弦AB的长.

27.如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,连结0G.

(1)判断0G与CD的位置关系,写出你的结论并证明;

(2)求证:AE=BF

; (3)若OG?DE?3(2?,求⊙O的面积。

24.(本题满分6分)

如图10,直线DE经过⊙O上的点C,并且OE?OD,EC?DC,⊙O交直线OD于A、B两点,连接BC,AC,OC.求证:

(1)OC?DE;

(2)△ACD∽△CBD.

13

B

24.证明:(1)∵OE=OD,∴△ODE是等腰三角形,

又EC=DC,∴C是底边DE上的中点,

∴OC?DE. ············· (3分)

(2)∵AB是直径,∴∠ACB=90,

∴∠B+∠BAC=90, ··········(4分)

又∠DCA+∠ACO=90,∠ACO=∠BAC, ???(1分)

∴∠DCA=∠B.又∠ADC=∠CDB, ··············· (5分)

∴△ACD∽△CBD. ····················· (6分)

15.(满分7分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上

一点,连结BC,AC,过点C作直线CD⊥AB于点D,点E

是AB上一点,直线CE交⊙O于点F,连结BF,与直线CD

交于点G.求证:BC?BG?BF

23.(本题满分10分)如图,半径为

O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.

(1)求证:PA·PB=PC·PD;

(2)设BC的中点为F,连结FP并延长交AD于E,求证:EF⊥AD:

(3)若AB=8,CD=6,求OP的长.

2

第23题图

23.(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同,∴∠A=∠C.

∴Rt△APD∽Rt△CPB,∴AP?PD,∴PA·PB=PC·PD;………………………3分 CPPB

(2)∵F为BC的中点,△BPC为Rt△,∴FP=FC,∴∠C=∠CPF.

又∠C=∠A,∠DPE=∠CPF,∴∠A=∠DPE.∵∠A+∠D=90°,

∴∠DPE+∠D=90°.∴EF⊥AD.………………………………………………………7分 14

(3)作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,同垂径定理:

∴OM=

-4=4,ON=

-3=11

又易证四边形MONP是矩形,

∴OP

?7分

23.(本小题满分12分)

如图,在Rt△ABC中,斜边BC?12,?C?30°,△ABD的外接圆⊙OD为BC的中点,

与AC交于F点,过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点.

(1)求证:AE⊥DE;

(2)计算:AC·AF的值.

第23题图

222222

?的中点,BD交AC8.如图10,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,D是劣弧AC

于点E.

⑴求证:AD?DE?DB ⑵若BC?

25,CD?DE的长 2

CB

24.如图,A、B为⊙O上的点,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D。若AC为∠BAD的平分线。

求证:(1)AB为⊙O的直径

2(2)AC=AB·AD

15

24.

证明:(1)连结BC

AC平分∠BAD

∴∠DAC=∠CAB

又CD切⊙O于点C

∴∠ACD=∠B(弦切角定理)

∵AD⊥CD

∴∠ACD+∠DAC=90°

即∠B+∠CAB=90°

∴∠BCA=90°

∴AB是⊙O的直径(90°圆周角所对弦是直径)

(2)∵∠ACD=∠B

∠DAC=∠CAB

∴△ACD∽△ABC

∴ABAC ?ACAD

2 ∴AC=AB·AD

24.如图9,AB为⊙O的直径,OE交弦AC于点P,交

(1)求证:OP?

E

B C

2于点M,且=, 1BC; 2(2)如果AE

?EP?EO,且AE?BC?6,求⊙O的半径. 图9

27.如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,连结0G.

(1)判断0G与CD的位置关系,写出你的结论并证明;

(2)求证:AE=BF

(3)若OG?DE?3(2?,求⊙O的面积。

B16

24.如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC =∠BPC = 60?,

AB与PC交于Q点.

(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;

(2)求证:APAQ; ?PBQB

(3)若∠ABP = 15?,△ABC的面积为4,求PC的长.

22.(12分)如图,以?ABC的边BC为半径作⊙O分别交AB,AC于点F.点E,AD?BC于D,AD交于⊙O于M,交BE于H。

求证:DM

2?DH?DA。

24.(本小题满分9分)

??BE?,BD∥CE,连接AE并延长交BD于D. 如图,AB为⊙O的直径,劣弧BC

求证:(1)BD是⊙O的切线;

·AD. (2)AB?AC

2第24题图 17

24.(本小题满分9分)

??BE?, 证明:(1)?CB

???1??2,AC??AE,AC?AE, ········· 2分

?AB?CE. ·················· 3分

············· 4分 ?CE∥BD,?AB?BD.

?BD是⊙O的切线. ··············· 5分

(2)连接CB.

6分 ?AB是⊙O的直径,??ACB?90°. ····················

7分 ??ABD?90°,??ACB??ABD. ·····················

······················· 8分 ??1??2,△?ACB∽△ABD.

ACAB······················· 9分 ??,?AB2?AD·AC. ABAD

(证法二,连接BE,证明略)

8.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,过点

C作直线CD⊥AB交AB于点D,E是OB上一点,直线CE

与⊙O交于点F,连接AF交直线CD于点G.若AC=2,

则AG·AF=( )

A.10 B.12 C.8 D.16

24.(本小题满分10分)

如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC?PC,?COB?2?PCB.

(1)求证:PC是⊙O的切线;

(2)求证:BC?D E B F 1AB; 2

AB的中点,CM交AB于点N,若AB?4,求MN?MC的值. (3)点M是?

18

24.(10分)

解:(1)?OA?OC,??A??ACO, 又??COB?2?A,?COB?2?PCB,

??A??ACO??PCB. A O P 又?AB是⊙O的直径,

??ACO??OCB?90°,

M ??PCB??OCB?90°,即OC⊥CP,

而OC是⊙O的半径,

?PC是⊙O的切线. ························· (3分)

(2)?AC?PC,??A??P,

??A??ACO??PCB??P,

又??COB??A??ACO,?CBO??P??PCB,

??COB??CBO,?BC?OC,?BC?

(3)连接MA,MB, 1AB. ············· (6分) 2

?,??ACM??BCM, AB的中点,??AM?BM?点M是?

而?ACM??ABM,??BCM??ABM,而?BMN??BMC,

?△MBN∽△MCB,?BMMN2,?BM?MN?MC, ?MCBM

?, 又?AB是⊙O的直径,?AM?BM

??AMB?90°,AM?BM.

?AB?4,?BM??MN?MC?BM2?8. ············ (10分)

25. (本题满分6分)

如图8,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,CD?AB于D,且AB=8,DB=2.

(1)求证:△ABC∽△CBD;

(2)求图中阴影部分的面积(结果精确到0.1,参考数据

??3.14,?1.73).

图8

19

25. (1)证明:∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90,又CD?AB,∴∠CDB=90…………………………1分

在△ABC与△CBD中,

∠ACB=∠CDB=90,∠B=∠B, ∴△ABC∽△CBD……………………………3分

(2)解:∵△ABC∽△CBD∴

2???CBAB?. DBCB∴CB?DB?AB ∵AB=8,DB=2, ∴CB=4.

在Rt△ABC中,AC?

∴S?ABC?

∴S阴影部分

21.(8分)如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.

(1)求证:BC?BD?r?ED;

(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.

23.(本题满分10分)如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC∶CA=4∶3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合),过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点

(1)求证:AC·CD=PC·BC;

(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;

(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求这个最大面积S.

AB2?BC2?64?16?43,…………4分 11CB?AC??4?43?83…………………………5分 221???42?S?ABC?8(??3)?11.28?11.3…………6分 2第23题图

23.解:(1)∵AB为直径,∴∠ACB=90°.又∵PC⊥CD,∴∠PCD=90°.

20

而∠CAB=∠CPD,∴△ABC∽△PCD.∴AC?BC.

∴AC·CD=PC·BC;………………………………………………………………………3分

第23题图

(2)当点P运动到AB弧中点时,过点B作BE⊥PC于点E. ∵P是AB中点,∴∠PCB=45°,CE=BE

又∠CAB=∠CPB,∴tan∠CPB=tan∠CAB=4.∴PE=

3

BE=3

)

tan?

CPB4从而PC=PE+EC

(1)得CD=4PC

7分

3(3)当点P在AB上运动时,S△PCD=1PC·CD.由(1)可知,CD=4PC.

23

∴S△PCD=2PC.故PC最大时,S△PCD取得最大值;

2

3

而PC为直径时最大,∴S△PCD的最大值S=2×5=50.………………………………10分

2

33

24.(9分)如图,AB为⊙O的直径,CD?AB于点E,交

⊙O于点D,OF?AC于点F. (1)试说明△ABC∽△DBE;

(2)当∠A=30°,AF=3时,求⊙O中劣弧

25.(本题满分10

分,每小题5分)

如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点M,AE切⊙O于点A,交BC的延长线于点E,连接AC.

(1)若∠B=30°,AB=2,求CD的长; (2)求证:AE=EB·EC.

2

A

B

E

A

MOD

B

21

25.解:(1)解法一: 解法二:

∵AB为⊙O的直径, AB为⊙O的直径,∠B=30°,

∴∠ACB=90°.……1分 AC=1AB=1,BC=AB?cos30

2分 2

∵在Rt△ABC中,∠B=30°,AB=2, CD⊥直径AB于点M,

∴BC=AB?cos30°=2

×?…2∴CD=2CM,AB×CM=AC×BC……4分 2

∵弦CD⊥直径AB,∠B=30°, CD=2CM=2×AC?BC AB

∴ CM=1

1BC=.……4分=2

×……5分 222

E?.……5分 (其它解法请酌情给分) CD=2CM

=2?2

(2)证明:∵AE切⊙O于点A,AB为⊙O的直径,

∴∠BAE=90°,∠ACE=∠ACB=90°, ········ 6分

又∵∠E=∠E, AOB ∴∠ACE=∠BAE=90°. ························ 7分

∴Rt△ECA∽Rt△EAB. ························· 8分 ∴ECAE. ···························· 9分 ?AEEB

2 ∴AE=EB?EC. ···························· 10分

20.(6分)如图,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有

一点E,满足AD=AB·AE,求证:DE是⊙O的切线. 2

第20题图

20.证明:连结DC,DO并延长交⊙O于F,连结AF.∵AD=AB·AE,∠BAD=∠DAE,∴△

BAD∽△DAE,∴∠ADB=∠E. 又∵∠ADB=∠ACB,∴∠ACB=∠E,BC∥DE,∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC,又∵∠CAF=∠CDF,∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CDF=∠DAF=90°,故DE是⊙O的切线 22 2

26.(本题满分10分)如图,AB是⊙O的直径, P为AB延长线上任意一点,C为半圆ACB

的中点,PD切⊙O于点D,连结CD交AB于点E.

求证:(1)PD=PE;

(2)PE2?PA?PB. C

E

A O B P

D

26、证明:(1)连接OC、OD………………1分

∴OD⊥PD ,OC⊥AB

∴∠PDE=90?—∠ODE,

∠PED=∠CEO=90?—∠C

又∵∠C=∠ODE

∴∠PDE=∠PED …………………………………………4分

∴PE=PD …………………………………………5分

(2) 连接AD、BD ………………………………………6分 ∴∠ADB=90?

∵∠BDP=90?—∠ODB,∠A=90?—∠OBD

又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A

∴?PDB∽?PAD …………………………………………………8分 ∴ PDPA

PB?PD ∴PD2?PA?PB

∴PE2?PA?PB …………………………………………………10分

24.(本小题满分10分)

如图7, AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,且AC=AB,CO交⊙O于点P, CO的延长线交⊙O于点F,BP的延长线交AC于点E,连接AP 、AF.

求证: 23

(1)AF∥BE; (2)△ACP∽△FCA; (3)CP=AE.

24.(本小题满分10分)

(1)∵∠B、∠F同对劣弧AP ,∴ ∠B =∠F (1分) ∵BO=PO,∴∠B =∠B PO (2分) ∴∠F=∠B P F,∴AF∥BE (3分) (2)∵AC切⊙O于点A,AB是⊙O的直径, ∴ ∠BAC=90°

∵ AB是⊙O的直径, ∴ ∠B PA=90° (4分) ∴∠EA P =90°—∠BE A,∠B=90°—∠BE A, ∴∠EA P =∠B=∠F (5分) 又∠C=∠C,∴△ACP∽△FCA (6分)

(3)∵ ∠C PE= ∠B PO=∠B=∠EA P, ∠C=∠C ∴△P C E ∽△ACP ∴

图7

C

E

A

PCAC

(7分) ?

PEAP

∵∠EA P=∠B,∠E P A =∠A P B =90° ∴△EA P ∽△A B P ∴又AC=AB,∴

AEAB

(8分) ?

PEAP

AEAC

(9分) ?

PEAPPCAE于是有 ∴CP=AE. (10分) ?

PEPE

?的中点,BD交AC8.如图10,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,D是劣弧AC

于点E.

⑴求证:AD?DE?DB ⑵若BC?

2

B

C

24

5

,CD?DE的长

2

24.如图,A、B为⊙O上的点,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D。若AC为∠BAD的平分线。

求证:(1)AB为⊙O的直径

2(2)AC=AB·AD

24.

证明:(1)连结BC

AC平分∠BAD

∴∠DAC=∠CAB

又CD切⊙O于点C

∴∠ACD=∠B(弦切角定理)

∵AD⊥CD

∴∠ACD+∠DAC=90°

即∠B+∠CAB=90°

∴∠BCA=90°

∴AB是⊙O的直径(90°圆周角所对弦是直径)

(2)∵∠ACD=∠B

∠DAC=∠CAB

∴△ACD∽△ABC

∴ABAC ?ACAD

2 ∴AC=AB·AD

24.如图9,AB为⊙O的直径,OE交弦AC于点P,交

(1)求证:OP?

E

B C

25 2于点M,且=, 1BC; 2(2)如果AE?EP?

EO,且AE?BC?6,求⊙O的半径. 图9

27.如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,连结0G.

(1)判断0G与CD的位置关系,写出你的结论并证明;

(2)求证:AE=BF

; (3)若OG?DE?3(2?,求⊙O的面积。

24.已知:如图,AB是⊙O的直径,AD是弦,OC垂直AD于F交⊙O于E,

连结DE、BE,且∠C=∠BED.

(1)求证:AC是⊙O的切线;

(2)若OA=10,AD=16,求AC的长.

C

A B

24.(1)证明:∵∠BED=∠BAD,∠C=∠BED

∴∠BAD=∠C ························ 1分

∵OC⊥AD于点F

o∴∠BAD+∠AOC=90 ····················· 2分

o∴∠C+∠AOC=90

o∴∠OAC=90

∴OA⊥AC

∴AC是⊙O的切线. ····················· 4分

(2)∵OC⊥AD于点F,∴AF=B1AD=8 ··················· 5分 2

26

在Rt△OAF中,OF=OA?AF=6 ················· 6分 ∵∠AOF=∠AOC,∠OAF=∠C

∴△OAF∽△OCA ·························· 7分 ∴22OAOF ?OCOA

OA210050即 OC= ····················· 8分 ??OF63

在Rt△OAC中,AC=OC2?OA2?40. ··············· 10分 3

20.如图8,半圆的直径AB?10,点C在半圆上,BC?6.

(1)求弦AC的长;

(2)若P为AB的中点,PE⊥AB交AC于点E,求PE的长.

A

20.解:?AB是半圆的直径,点C在半圆上,

??ACB?90°.

在Rt△

ABC中,AC?P (图8) B ??8 ·········· (3分)

(2)?PE⊥AB,

??APE?90°.??ACB?90°,

??APE??ACB.

又??PAE??CAB,

?△AEP∽△ABC, ························· (6分) PEAP ····························· (7分) ?BCAC

110?PE ??68

3015?PE??.··························· (8分) 84?

27

20.如图,PAB,PCD是?O的两条割线,AB是?O的直径,AC∥OD.

(1)求证:CD? (先填后证).

(2)若PA5AB的值. ?,试求PC6AD

B

20.(1)求证:CD?BD.

1分) 证明:?AC∥OD,

?∠

1?∠2.

?OA?OD, ?∠2?∠3.………………(2分) B ?∠1?∠3.

??BD?. ?CD

?CD?BD. ···························· (3分)

(2)解:?AC∥OD,

PAAO. ···························· (4分) ??PCCD

PA5??,CD?BD, PC6

AO5??, ····························· (5分) BD6

?AB?2AO,

AB5??. ····························· (6分) BD3

?AB是?O的直径,

?∠ADB?90?,

························· (7分) ?AD2?BD2?AB2.

AB5?,设AB?5k,BD?3k, BD3

?AD?4k.

AB5??. ····························· (8分) AD4由

28

17.如图,△ABC内接于⊙O,过C作CD∥AB与⊙O相交于D点,E是CD

=DE,连接BD与AE相交于点F。求证:△ADF∽△ABC。

(第17题图)

21.(本题满分8分)

如图,AB是⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,过B点作

BC∥OD交⊙O于点C,连接OC、AC,AC交OD于点

E.

(1)求证:△COE∽△ABC;

(2)若AB=2,AD=3,求图中阴影部分的面积.

25.(本小题满分10分)

如图,AB为⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,且OD⊥BC,垂足为F,OD交⊙O于点E. (1)证明:BE=CE (2)证明:∠D=∠AEC;

(3)若⊙O的半径为5,BC=8,求△CDE的面积.

25.解:(1)∵BC是⊙O的弦,半径OE⊥BC

∴=

(2)连结OC

∵CD与⊙O相切于点C

…………………2分

B

(第25题图)

29

∴∠OCD=90°

∵∠D+∠DCF=90°

∴∠OCB=∠D

∵OB=OC

∴∠OCB=∠B

∵∠B=∠AEC

∴∠D=∠AEC ………………………3分 ∴∠OCB+∠DCF=90° ………………………4分 ………………………5分

(3)在Rt△OCF中,OC=5,CF=4 ∴OF?OC2?CF2?52?42?3 …………6分 ∵∠COF=∠DOC,∠OFC=∠OCD

∴Rt△OCF∽Rt△ODC ………………………………8分 OC25225ODOC??∴,即OD? …………9分 ?OF33OCOF

∴DE?OD?OE?

∴S?CDE2510?5? 33111020 …………10分 ??DE?CF???4?2233

注:本小题也可利用Rt△OCD∽Rt△ACB等,以及S△CDE=S△OCD-S△OCE求解.

24.如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC =∠BPC = 60?, AB与PC交于Q点.

(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论; (3)若∠ABP = 15?,△ABC的面积为4,求PC的长.

24. (1) ∵ ∠ABC =∠APC = 60?,∠BAC =∠BPC = 60?,

∴ ∠ACB = 180?-∠ABC-∠BAC = 60?,

∴ △ABC是等边三角形.

(2)如图,过B作BD∥PA交PC于D,则 ∠BDP =∠APC = 60?. 30 APAQ?(2)求证:; PBQBAQAP?又 ∵ ∠AQP =∠BQD,∴ △AQP∽△BQD, . QBBD N

∵ ∠BPD =∠BDP = 60?, ∴ PB = BD. ∴ AQAP. ?QBPB

(3)设正△ABC的高为h,则 h = BC· sin 60?.

∵ 11BC · h = 43, 即BC · BC· sin 60? = 43,解得BC = 4. 22

连接OB,OC,OP,作OE⊥BC于E.

由△ABC是正三角形知∠BOC = 120?,从而得∠OCE = 30?,

∴ OC?CE4. ?cos30?由∠ABP = 15? 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75?,于是 ∠POC = 2∠PBC = 150?. ∴ ∠PCO =(180?-150?)÷2 = 15?.

如图,作等腰直角△RMN,在直角边RM上取点G,使∠GNM = 15?,则∠RNG = 30?,作GH⊥RN,垂足为H.设GH = 1,则 cos∠GNM = cos15? = MN.

∵ 在Rt△GHN中,NH = GN · cos30?,GH = GN · sin30?.

于是 RH = GH,MN = RN · sin45?,∴ cos15? =2?6. 4

26. 3在图中,作OF⊥PC于E,∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15? =22?

31

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