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初三数学

发布时间:2013-10-16 09:01:29  

初三数学(下学期)总复习几何专题三 圆的有关性质

一、基础知识

(一)和圆有关的概念

(二)

和圆有关的性质

(三)其它

1.确定圆的条件

2.点和圆的位置关系

设P为一点,⊙O半径为R

3.点的轨迹——1、2、3、4、5

4.反证法——步骤

二、典型例题

例1.如图,AB、AC是⊙O的弦,D、E是 求证:AF=AG. 、的中点.

例2.如图,AB、AC是⊙O的弦,AB=AC,E、F分别是 求证:EM=FN. 、的中点.

例3.在⊙O中,弦AB、CD交于P,M、N分别为AB、CD中点,PM=PN.求证:AB=CD. 例4.(1)在⊙O中,OA⊥OB,弦AC⊥BD于E.求证:AD∥BC;

(2)在⊙O中,OA⊥OB,弦AD∥BC.求证:AC⊥BD.

例5.求证:菱形各边的中点在同一个圆上.

例6.已知:如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,交⊙O于G. 求证:(1)ED=CF;(2) .

例7.如图,圆弧形桥拱的跨度AB=12米,拱高CD=4米.求桥拱的直径.

例8.⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm.求AB和CD的距离.

例9.(1)如图①,若P是⊙O外一点,若PO平分∠EPF,交⊙O于A、B、C、D.求证:AB=CD;

(2)如图②,若P是⊙O上一点,AB=CD是否成立?

(3)如图③,若P是⊙O内一点,AB=CD是否成立?

例10.已知:如图,BE是△ABC的外接圆⊙O的直径,CD是△ABC的高.

(1)求证:AC·BC=BE·CD;

(2)CD=6,AD=3,BD=8.求⊙O的直径BE的长.

例11.如图①——⑤,⊙O1和⊙O2都经过A、B两点,经过点A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.经过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.在每种图形下,

求证:CE∥DF.

例12.一条弦分圆为1:4两部分,求这条弦所对的圆周角的度数.

例13.如图,∠APC=∠CPB=60°.

求证:(1)△ABC是等边三角形;

(2)AB2=CE·CP.

例14.圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数的比是2:3:6.

求四边形各内角的度数.

例15.如图,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC的外接圆交于D

.求证:

例16.已知:如图,AB是半圆的直径,CD⊥AB于D,

G.

求证:AE=EG. ,CD、BC交AF于E、

例17.如图,圆内接△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,E是AD和△ABC外接圆的交点.例

(1)求证:AB=AD·AE;

(2)当D为BC延长线上一点时,(1)的结论成立吗?如果成立,请证明;不成立,说明理由.

三、检测试题

(一)选择题(每小题3分,共24分

) 2

1.下列语句正确的是( )

A.相等的圆心角所对的弧相等

B.平分弦的直径垂直于弦

C.如果两条弦相等,弦心距相等

D.半圆是弧

2.如图,AB为⊙O直径,CD是弦,AB与CD相交于E.若要结论CE=DE ,还需要添加的条件是(不要添加其它辅助线)( )

A.AC=AD B.BC=BD C.AB⊥CD D.以上条件都可以

3.如图,AB是⊙O直径,,∠A=25°,则∠BOD=( )

A.12.5° B.25° C.50° D.75°

4.如图,在⊙O中,弦AB的长等于半径,E是BA延长线上一点,∠DAE=80°,则∠ACD=( )

A.60° B.50° C.45° D.30°

5.若圆的弦长等于这个圆的半径,则此弦所对的圆周角是( )

A.60° B.30° C.60°或120° D.30°或150°

6.在圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C:∠D可能是( )

A.2:3:4:5 B.3:4:5:2 C.4:5:3:2 D.5:4:3:2

7.△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=12,D在AB上,且BD:AD=3:2,则点D在以B为圆心,BC为半径的圆的( )

A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.圆内圆外不能确定

8.如图,四边形ABCD内接于⊙O,延长AD、BC相交于点M,延长AB、DC相交于点N.∠M=40°,∠N=20°,则∠A的度数为( )

A.55° B.60° C.65° D.70°

(二)填空题(每小题3分,共24分)

1.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB的一个动点,那么OP长的取值范围是_______.

2.⊙O半径为R,弦AB∥CD,AB=a,CD=b(a<b),则AB与CD的距离为_____.

3.如图,AE是△ABC外接圆的直径,已知圆的半径为5,AD⊥BC于D,AD长为4,则AB·AC=_____.

4.如图,弓形的弦长AB=8,弓形的高CD=2.那么此弓形所在圆的直径为______.

5.如图,弦AB⊥AC,O到AB、AC的距离分别为5cm和2cm,则AB=_____cm,⊙O的直径为_____cm.

6.如图,⊙O的两条弦AB、CD的延长线交于点P,已知∠P=28°,∠AMC=92°,则cos∠ABC=______.

7.已知⊙O的半径为4,一条半径的垂直平分线交⊙O于C、D两点,则CD=_____.

8.圆内接四边形ABCD的两边BA、CD的延长线相交于E,对角线BD、AC相交于F.则图中有相似关系的三角形共______对.

(三)计算题(8分)

已知:AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.若AE=7,BF=9,⊙O半径为10,求:CD=?

(四)证明题(第1题8分,第2、3题各10分,共28分)

1.如图,点D、E分别是△ABC的外接圆的于G.

求证:AF·AG=DF·EG. 、的中点,弦DE交AB于F,交AC

2.如图,D是等边△ABC的BC边上一点,E是AB边上的一点,DE∥AC,F是AC边上一点,DF∥AB,过D、E、F三点的圆交AB、AC于G、H.

求证:△DGH是等边三角形.

3.如图,E是⊙O的直径CF延长线上一点,弦AB⊥CF,AE交⊙O于P,PB交CF于D,连结AO、AD.求证:∠AED=∠OAD.

(五)解答题(第1题10分,第2题6分,共16分)

1.如图,AB是⊙O的直径,弦(非直径)CD⊥AB,P是⊙O上不同于C、D的任一点.

(1)当P在劣弧CD上运动时,∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论?

(2)当P在优弧CD上运动时,∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论?(不要讨论P与A重合时)

2.现有一个圆,但不知它的直径在哪里?你有办法找出这个圆的直径吗?试写出尽可能多的办法?(至少写出三种方法?)

专题一参考答案或提示

典型例题

例1.连结AD、AE,用等角对等边及三角形外角等于不相邻两内角和来证明 例2.用等量减等量来证,只要证出OM=ON即可

例3.连结OM、ON,用弦心距等则弦等来证明

例4.(1)用内错角等,两直线平行来证,其中内错角等于45°

(2)通过计算交角∠AED=90°,证明AC⊥BD

例5.先猜测圆心,圆心O为对角线AC、BD交点.只要证明各边中点E、F、G、H与O的连线相等即可

例6.(1)注意不是证明EC=DF

(2)连结AG,证明AG∥CD即可

例7.取所在圆圆心O,证出O、D、C三点共线.步骤为:

连结OC.

∵,

∴OC⊥AB.

又∵CD⊥AB,

∴O、C、D三点共线.

在Rt△ODB中,k2=62+(k-4)2,

∴.

∴直径=13.

例8.由于圆的对称性,有如下两种圆形.AB、CD距离为1cm 或7cm.

例9.三种情况下都成立.分别过O作两弦的弦心距,根据在同圆中,弦心距等则弦等来证明

例10.(1)连结CE,

证出△ACD∽△BCE

(2)由(1)算出

例11.连结AB,找准一条截线.利用同旁内角互补、同位角相等、内错角相等来证明平行.根据圆内接四边形的性质,同弧所对的圆周角相等来证明.

例12.弦所对的圆周角有两个,36°或144°.

例13.(1)因为∠CPB是圆周角,由、对∠ABC、∠BAC可证等边三角形

(2)AB换成BC,用△BCE∽△PCB可证.

例14.由∠A:∠B:∠C=2:3:6,可得2x+6x=180°.x=22.5°.

∴各内角度数分别为45°,67.5°,135°,112.5°.

例15.由等角对等边,即∠DBC=∠DCB,可知圆周角所对的弧相等.

例16.先证出AE=EC,再证EC=EG即可.

例17.(1)证出△ABD∽△AEB即可

(2)如图,仍证出△ABD∽△AEB即可.

检测试题参考答案

(一)1.D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B

(二)1.3≤OP≤5 2. 3.40 4.10

5.4,

(三)CD=12 6. 7. 8.4

(四)1.连结AE、AD.证明△ADF∽△AEG即可

2.∠GED=∠GHD=∠A=60°,∠DFC=∠A=∠HGD=60°

3.∠AOC=∠APB

(五)1.(1)∠APC=∠APD.

(2)∠APC+∠APD=180°.

2.(1)过圆上任意一点画两条互相垂直的弦,连结这两条弦与圆的另一交点的线段即为直径

(2)任作一弦的中垂线与圆相交,两交点间的线段,即为直径

(3)过圆上任一点任作两相等的弦AB、AC,再作∠BAC的平分线与圆相交的线段,即为直径

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