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弧、弦、圆心角

发布时间:2013-10-16 12:39:09  

☆复习引入
1、圆是轴对称图形吗?它的对称轴是?垂径定理的 内容是?我们是怎样证明垂径定理的? 圆是轴对称图形,对称轴是直径所在的直线。垂 径定理是根据圆的轴对称性进行证明的。 2、绕圆心转动一个圆,它会发生什么变化吗?圆 是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 它是不会发生变化的,我们称之为“圆具有旋 转不变性”。圆是中心对称图形,它的对称中心是 圆心。 今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究 弧、弦、圆心角的关系定理。

一、概念
圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A
O

O · B
A

D

B

练一练:找出右上图
中的圆心角。

圆心角有:
∠AOD,∠BOD,∠AOB

二、探究
如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置, 你能发现哪些等量关系?为什么?
A′
A′

B
B′

B′

B

在等圆 中,是否也 能得到类似 的结论呢?

· O

A

· O

A

根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时, 显然∠AOB=∠A′OB′,射线 OA与OA′重合,OB与OB′ 重合.而同圆的半径相等,OA=OA′,OB=OB′,从而点 A与 A′重合,B与B′重合. ? ∴ 与 ? ' B ' 重合,AB与A′B′重合. AB A

? ? ? ' B ', AB A

AB ? A ' B '.

三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角 相等 相等 _____, 所对的弦________;

在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角
相等 相等 ______,所对的弧_________.

同圆或等圆中, 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等, 它们所对应的其 余各组量也相 等.(P83)

三、定理
请利用右图用数学语言叙述 一下我们刚学的三条定理。
B′

A′

B

? 1、 在 ? o中,?AOB ? ?A?O?B?, ? ? ? ? ' B ', AB ? A?B?。 AB A

O

·
A

? AB A 2、? 在 ? o中, ? ? ' B ', ??AOB ? ?A?O?B?, AB ? A?B?。
3、? 在 ? o中,AB ? A?B?,

??AOB ? ?A?O?B?, ? ? ? ' B 。 AB A '

四、练习
(见教材P83练习 1 ) 如图,AB、CD是⊙O的两条弦. ? ? CD ?AOB ? ?COD AB ? (1)如果AB=CD,那么___________,_________________. (2)如果

? ? CD AB=CD (3)如果∠AOB=∠COD,那么_____________,_________. AB ?

? ? CD ,那么____________,_____________. ?AOB ? ?COD AB=CD AB ?

(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗? 为什么? 解:OE ? OF , 理由如下: E B A ? OE ? AB, OF ? CD   1 1 ? AE ? AB, CF ? CD O D 2 2   又 ? AB=CD    AE=CF ? F   又 ? OA=OC    Rt ?AOE ? Rt ?COF ? C     OE ? OF . ?

·


、例题
? 例1 如图, 在⊙O中, =? AB AC ,∠ACB=60°,
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A

证明: ? ? ? , ? AB AC ∴ AB=AC.⊿ABC是 等腰三角形
B O

·
C

又∴∠ACB=60°,

∴ ⊿ABC是等边三角形 ,AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.

六、练习
(见教材P83练习 2 )如图,AB是⊙O 的直径,

? ? ? BC=CD ? DE, ∠COD=35°,求∠AOE 的度数.
E D C

解: ?

? ? ? BC ? CD ? DE
?

? ?BOC=?COD=?DOE=35?
B

A

O

·

? ?AOE ? 180 ? 3 ? 35

?

? 75

?

七、思考
如图,已知AB、CD为 ? O 的两条弦,
C B O D A

? ? BC .求证:AB=CD. AD ?

证明: ? ? BC, ? AD ? ? ? ? ? BD= BC ? BD, AD ? ? 即? ? CD, AB ? ? AB=CD

收获与体会
同圆或等圆中,两个 圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等,它们所 对应的其余各组量也相 等.

八、作业
1、教材87-88页
第2,3, 11题 2、完成练习册相关部分作业。


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