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中考基础复习 第28讲 圆的有关性质 (28ppt)

发布时间:2013-10-17 08:02:48  

第28讲┃圆的有关性质

第28讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 圆的有关概念
定义 1 在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周, 另一个端点 A 所形成的图形叫做圆. 固 定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径 定义 2 圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图 形叫做圆 连结圆上任意两点的________叫做弦 线段 经过圆心的弦叫做直径 圆上任意两点间的部分叫做弧 大于半圆的弧叫做优弧 小于半圆的弧叫做劣弧

圆的 定义

弦 直径 弧 优弧 劣弧

第28讲┃ 考点聚焦

考点2

点和圆的位置关系
点在圆外?________ d>r 点在圆上?________ d=r 点在圆内?________ d<r

如果圆的半径是r,点到 圆心的距离是d,那么

第28讲┃ 考点聚焦 考点3 确定圆的条件及相关概念

确定圆 的条件 三角形的 外心 防错提醒

不在同一直线的三个点确定一个圆

垂直平分线 三角形三边_______________的交点,即三 角形外接圆的圆心 锐角三角形的外心在三角形的内部, 直角三 角形的外心在直角三角形的斜边上, 钝角三 角形的外心在三角形的外部

第28讲┃ 考点聚焦 考点4 圆的对称性

中心 圆既是一个轴对称图形又是一个________对称图 形,圆还具有旋转不变性.

第28讲┃ 考点聚焦 考点5
垂径 定理

垂径定理及其推论

平分弦 垂直于弦的直径______,并且平分弦所对的两条弧

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对 的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所 推论 对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分 弦,并且平分弦所对的另一条弧 对于①过圆心;②垂直弦;③平分弦;④平分弦所对的 总结 优弧;⑤平分弦所对的劣弧,这五条结论中的任意两条 成立,那么其他的结论也成立

第28讲┃ 考点聚焦 考点6 圆心角、弧、弦之间的关系

定理 推论

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的______相 弧 等,所对的______相等 弦 在同圆或等圆中,如果两个圆心角﹑两条弧或两 条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各 组量也分别相等

第28讲┃ 考点聚焦 考点7 圆周角

圆周角 定义 圆周角 定理 推论1 推论2 推论3

顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 一半 ________,都等于该弧所对的圆心角的________ 相等 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧______ 相等 直角 半圆(或直径)所对的圆周角是______;90°的圆周 角所对的弦是______ 直径 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这 个三角形是________三角形 直角

第28讲┃ 考点聚焦 考点8 圆内接多边形

如果一个多边形的所有顶点

都在同一个圆上, 圆内接多 这个多边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这 边形 个多边形的外接圆 圆内接四 互补 圆内接四边形的对角______ 边形的性 质

第28讲┃ 考点聚焦 考点9 反证法
不直接从命题的已知得出结论,而是假设 命题的结论不成立,由此经过推理得出矛 盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得 到原命题成立,这种方法叫做反证法 (1)假设命题结论的反面是正确的,即提出 与命题结论相反的假设; (2)从假设的结论出发,通过逻辑推理、推 出与公理,已知的定理、定义或已知条件 相矛盾; (3)由矛盾的结果说明假设不成立,从而肯 定原命题的结论正确

定义

步骤

第28讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 确定圆的条件
命题角度: 1. 确定圆的圆心、半径; 2. 三角形的外接圆圆心的性质.
直角三角形的两边长分别为16和 10或8 12,则此三角形的外接圆半径是________. [2012· 资阳]

第28讲┃ 归类示例

[解析] 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点,那么 半径为斜边的一半,分两种情况: ①当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形的外接圆 半径为8; ②当两条直角边长分别为16和12时,则直角三角形的斜 边长为 162+122=20,因此这个三角形的外接圆半径为10. 综上所述:这个三角形的外接圆半径等于8或10.

第28讲┃ 归类示例 ? 类型之二 垂径定理及其推论

命题角度: 1. 垂径定理的应用; 2. 垂径定理的推论的应用.

[2012· 台州] 把球放在长方体纸盒内, 球的一部分露 出盒外,其截面如图 28-1 所示,已知 EF=CD=16 厘米, 则球的半径为________厘米. 10

图 28-1

第28讲┃ 归类示例

[解析] 首先找到EF的中点M,作MN⊥AD于点M,分别 交圆于G、N两点,取GN的中点O,连接OF,

设OF=x,则OM=16-x,MF=8. 在直角三角形OMF中,OM2+MF2=OF2, 即(16-x)2+82=x2, 解得x=10.

第28讲┃ 归类示例

垂径定理及其推论是证明两线段相等,两条弧相等 及两直线垂直的重要依据之一,在有关半径、弦长、弦 心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段,构造直角三 角形.

第28讲┃ 归类示例

?

类型之三

圆心角、弧、弦之间的关系

命题角度: 在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的关系.

第28讲┃ 归类示例

[2013· 南京] 如图 28-2,AD 为△ABC 外接圆的直径, AD⊥BC,垂足为点 F,∠ABC 的平分线交 AD 于点 E,连接 BD、CD. (1)求证:BD=CD; (2)请判断 B、E、C 三点是否在以 D 为圆心,以 DB 为半 径的圆上?并说明理由.

图 28-2

第28讲┃ 归类示例

[解析] (1)根据垂直于弦的直径的性质和同圆或等圆中等 弧对等弦证明;(2)利用同弧所对的圆周角相等

和等腰三角形 的判定证明DB=DE=DC.

第28讲┃ 归类示例

解:(1)证明:∵AD为直径,AD⊥BC, ∴BD=CD.∴BD=CD. (2)B、E、C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上. 理由:由(1)知:BD=CD,∴∠BAD=∠CBD. ∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE, ∠CBE=∠ABE, ∴∠DBE=∠DEB.∴DB=DE. 由(1)知:BD=CD,∴DB=DE=DC. ∴B、E、C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.

第28讲┃ 归类示例 ? 类型之四 圆周角定理及推论

命题角度: 1.利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度 数; 2.直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算.

第28讲┃ 归类示例

[2012· 湘潭] 如图 28-3,在⊙O 中,弦 AB∥CD,若 ∠ABC=40°,则∠BOD= ( D )

图 28-3 A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°

第28讲┃ 归类示例

[解析] 先根据弦AB∥CD得出∠ABC=∠BCD=40°, 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,即可得出 ∠BOD=2∠BCD=2×40°=80°.

第28讲┃ 归类示例

圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之 间的关系,最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化.

第28讲┃ 归类示例

? 类型之五

与圆有关的开放性问题

命题角度: 1. 给定一个圆,自由探索结论并说明理由; 2. 给定一个圆,添加条件并说明理由.

第28讲┃ 归类示例

[2012· 湘潭] 如图 28-4,在⊙O 上位于直径 AB 的异侧 1 有定点 C 和动点 P, AC=2AB, P 在半圆弧 AB 上运动(不与 A、 点 B 两点重合),过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点. (1)如图①,求证:△PCD∽△ABC; (2)当点 P 运动到什么位置时, △PCD≌△ABC?请在图②中 画出△PCD,并说明理由; (3)如图③,当点 P 运动到 CP⊥AB 时,求∠BCD 的度数.

图 28-4

第28讲┃ 归类示例

[解析] (1)由 AB 是⊙O 的直径,根据直径所对的圆周角是直 角,即可得∠ACB=90°,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所 对的圆周角相等,即可得∠A=∠P.(2)由△PCD∽△ABC,可知 当 PC=AB 时,△PCD≌△ABC,利用相似比等于 1 的相似三角 1 形全等.(3)由∠ACB=90°,AC= AB,可求得∠ABC 的度数, 2 利用同弧所对的圆周角相等得∠P=∠A=60°,通过证△PCB 为等边三角形,由 CD⊥PB,即可求出∠BCD 的度数.

第28讲┃ 归类示例
解:(1)证明:∵AB 为直径, ∴∠ACB=∠D=90°.

又∵∠CAB=∠DPC, ∴△PCD∽△ABC. (2)如图,当点 P 运动到 PC 为直径时, △PCD≌△ABC. 理由如下:∵PC 为直径, ∴∠PBC=90°,则此时 D 与 B 重合, ∴PC=AB,CD=BC, 故△PCD≌△ABC.

第28讲┃ 归类示例

1 (3) ∵AC= AB,∠ACB=90°, 2 ∴∠ABC=30°,∠CAB=60°. ∴∠CPB=∠CAB=60°. ∵PC⊥AB, ∴∠PCB=90°-∠ABC=6

0°, ∴△PBC为等边三角形. 又CD⊥PB, ∴∠BCD=30°.


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