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2012年新人教版数学八年级(上)13.3.1_等腰三角形(1.等腰三角形的性质)

发布时间:2013-10-17 12:31:26  

如图,把一个长方形的纸按图中的虚线对 折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的 △ABC有什么特点?
C A D

B
1.等腰三角形的两条边相等(AB=AC) 2.等腰三角形是轴对称图形 3.等腰三角形的顶角平分线所在的直线 是它的对称轴

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶 角




∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形

等腰三角形的几何语言描述:
底角 底角

B
底边

C

等腰三角形中,相等的两边都叫做腰, 另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰 和底边的夹角叫做底角.

A C

A

图1

B

C

图2

B

已知:AB=AC

已知:CA=CB

说出每个三角形中的腰和底边; 顶角和底角

小试牛刀
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm, 则它的周长是
10 cm



4
3
4

4 3

3

2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它 的周长是 10 cm 或 11 cm ; 3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它 19 cm 的周长是 。

8
3 8 3

8 3

把手中的等腰三角形ABC沿折痕对折, 找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角

A

AB=AC BD=CD AD=AD

∠B = ∠C.
B

∠BAD = ∠CAD ∠ADB = ∠ADC

D

C

大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?

A

等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等; (2)等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合.
∠B=∠C

B
底角相等

D

C

△ABC是等腰三角形

∠BAD=∠CAD BD=DC ∠ADB=∠ADC=900

AD是∠BAC的平分线 点D是BC的中点,AD是BC上的中线 AD是BC上的高线

顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重叠在一起

猜想与论证
猜想
等腰三角形的两个底角相等

已知:△ABC中,AB=AC 求证:∠B=?C
A

分析:1.如何证明两个角相等?
2.如何构造两个全等的三 角形? 作底边上的高

B

C

作底边上的中线 作顶角的平分线

A
证明: 作△ABC 的高AD
∴∠ADB=∠ADC=90o 在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB=AC (公共边)B AD=AD

D

C

∴ Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) ∴ ∠B=∠C (全等三角形对应角相等)

A
证明: 作△ABC 的中线AD
∴ BD=CD

在△ABD和△ACD中 AB=AC C B D BD=CD AD=AD (公共边) ∴ △ABD≌ △ACD (SSS) ∴ ∠B=∠C (全等三角形对应角相等)

A
证明: 作顶角的平分线AD
∴∠1=∠2

12

在△ABD和△ACD中 AB=AC C B D ∠1=∠2 AD=AD (公共边) ∴ △ABD≌ △ACD (SAS) ∴ ∠B=∠C (全等三角形对应角相等)

猜想与论证
结论
等腰三角形的两个底角相等。

简写:等边对等角
已知:△ABC中,AB=AC
A

求证:∠B=?C

几何语言: ∵AB=AC
B
C

∴∠B=∠C

小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 75°,30° 角为_____ __;

⒉等腰三角形一个角为70°,它的另

外两个角 70°,40°或55°,55° 为_______ ____________; ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个


35°,35° 为______ __。

想一想:
刚才的证明除了能得到∠B=∠C 你还能发现什么?
重合的线段 AB=AC 重合的角
A

∠B = ∠C.
∠BAD = ∠CAD
∠ADB =∠ADC =90°
B D C

BD=CD
AD=AD

探索并证明等腰三角形的性质
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合. 性质2可以分解为三个命题,本节课证明“等腰三 角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”.

猜想 A

性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线、底边上的高相互重合.
(一) ∵ △ABC中,AB=AC,---------------------∠BAD=∠CAD ∴ (二) (1)
-------------

BD=CD

AD⊥BC (2)----------------

BD=CD ∵ △ABC中,AB=AC,----------------------

B

D

C
(三)



(1) ∠BAD=∠CAD -------------

AD⊥BC (2)----------------

AD⊥BC ∵ △ABC中,AB=AC,----------------------



(1)

-------------

BD=CD

∠BAD=∠CAD (2)----------------

是真是假
猜想 等腰三角形的底边上的高、底边上的 中线、顶角的平分线互为重合.
A
1 2

(1)如图,△ABC中,AB=AC ,AD⊥ BC. 求证:BD=CD,∠1=∠2. (2)如图,△ABC中,AB=AC ,BD=CD. 求证:AD⊥BC,∠1=∠2. (3)如图,△ABC中,AB=AC ,∠1=∠2. B 求证:AD⊥BC,BD=CD.

D

C

(1)如图,AD⊥BC,AB=AC. 求证:BD=CD,∠1=∠2.
证明:在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB=AC AD=AD ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
A
1 2

∴BD=CD,∠1=∠2
B D C

(2)如图,BD=CD,AB=AC. 求证:AD⊥BC,∠1=∠2.
证明:在△ABD和△ACD中 AB=AC BD=CD AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠ADB=∠ADC,∠1=∠2 又∵∠ADB+∠ADC=180° ∴∠ADB=∠ADC=90° 即AD⊥BC
B D C

A
1 2

(3)如图,∠1=∠2,AB=AC. 求证:AD⊥BC,BD=CD.
证明:在△ABD和△ACD中 AB=AC ∠1=∠2 AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SAS) ∴∠ADB=∠ADC,BD=CD 又∵∠ADB+∠ADC=180° ∴∠ADB=∠ADC=90° 即AD⊥BC
B D C

A
1 2

归纳:
性质2 等腰三角形的底边上的高、底边上的 中线、顶角的平分线互为重合. 几何语言: 简写:三线合一 A
①∵AB=AC,BD=CD

∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
② ∵AB=AC,AD⊥BC ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD ③∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴AD⊥BC,BD=CD
B D C

探索并证明等腰三角形的性质
在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中,“折 痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用,由此,你能发 现等腰三角形具有什么特征?

等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平 分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.

例1、如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC 上,且 BD=BC=AD,求△ABC各角的度数。 A
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
⌒ x D 2x 2x B

C

∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD (等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得x=36°, 在△ABC中, ∠A=36°, ∠ABC=∠C=72°

讨论

等腰三角形底边中点到两腰 的距离相等吗?

如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点, DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. A 求证:DE=DF.
证明:∵AB=AC,D是BC的中点 ∴∠BAD=∠CAD 又∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴DE=DF

E B D

F C

A

利用类似的方法,你还可以得到等腰三角形 中哪些线段相等? A
A E F

(1)
(2) (3) (4) (5)

E
B D

F C B

E

DE、DF分别是∠ADB、∠ADC 的角平分线
A

C D DE、DF分别是AB、 AC边上的中线 A

C D AD上任意一点与B、C 的连接线 B A

E

F
B

E

F

E
C 等腰三角形两腰上 的中线相等 B

F

C 等腰三角形两底角 平分线相等

B C 等腰三角形两腰上的高 相等

轴对称图形

两个底角相等,简称“等边对等角”

顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高

互相重合,简称“三线合 一”

性质1

:

等腰三角形的两个底角相等

(简称“等边对等角”,前提是在同一 个三角形中。)
等腰三角形的顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合。
:

性质2

(简称“三线合一”,前提是在同一个 等腰三角形中。)

课后思考
如图:△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相 交于点H,且AE=BE。 求证:AH=2BD
证明1:∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD 又∵BE是高,∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90° A ⌒ 1 E ∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴ ∠1=∠2 在△AEH和△BEC中 ∠AEH=∠BEC AE=BE ∠1=∠2
你的细心加你的 耐心等于成功!


C

H
B

3

2
D

∴△AEH≌△BEC(ASA) ∴AH=BC 即 AH=2BD

课后思考
如图:△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相 交于点H,且AE=BE。 求证:AH=2BD
证明2:∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD 又∵BE是高,∴∠ADB=∠BEC=∠AEH=90° A ⌒ 1 E ∵∠1+∠AEH=∠3,∠2+∠ADB=∠3,∴ ∠1=∠2 在△AEH和△BEC中 ∠AEH=∠BEC AE=BE ∠1=∠2
你的细心加你的 耐心等于成功!


C

H
B

3

2
D

∴△AEH≌△BEC(ASA) ∴AH=BC 即 AH=2BD

课后思考

如图,已知△ABC中,AB=AC,F在AC上,在 BA的延长线上截取AE=AF,求证:ED⊥BC
E

A

F

证明:∵AB=AC,AE=AF ∴∠B=∠C,∠E=∠AFE ∵∠E+∠AFE=∠BAC 又∵∠BAC+∠B+∠C=180° ∴∠E+∠AFE+∠B+∠C=180° ∴∠E+∠B=1/2×180°=90° ∴∠BDE=90° ∴ED⊥BC

B

D

C


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