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点和圆的位置关系1

发布时间:2013-10-17 12:31:29  

问题:如图是射击靶 的示意图,你知道击 中靶上不同位置的 成绩是如何计算的 吗?

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射击靶

把实际问题转化为数学问题: 靶上有圆,这些圆圆心相同,半径不同,称为同心圆. 击中的位置看作一些点,点的不同位置决定了环数

点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r,点到圆心的距离为d。 则 d﹤r 点在圆内
● ●

d

d


O

d


点在圆上 点在圆外

d=r d>r

练习:已知圆的直径等于10厘米,点到圆心的距离是:

A、8厘米

B、4厘米

C、5厘米。

请你分别说出点与圆的位置关系。

典型例题 例1、如图,已知矩形ABCD

A

D

的边AB=3厘米,AD=4厘米。

B

C

(1)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A, 则点B、C、D与圆A的位置关系如何? (2)若以A点为圆心作圆A,使B、C、D 三点中有两个点在圆内,则圆A的半径r的 取值范围是什么? (3)若以A点为圆心作圆A,使B、C、D 三点中至少有一个点在圆内,则圆A的半径r 的取值范围是什么?

1.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm 并且小于或等于3cm的点组成的图形.

2cm · O

2.体育课上,小明和小雨的铅球成绩分别是6.4m 和5.1m,他们投出的铅球分别落在图中哪个区域 内?

3.如图所示,两圆的半径都是1cm,则图 中重叠部分的面积的点表示( D)
. P .Q

A到圆心P,Q的距离都大于1cm的所有点的集合 B 到圆心P,Q的距离都等于1cm的所有点的集合

C 到圆心P,Q的距离都小于1cm的所有点的集合 D 到圆心P,Q的距离都不大于1cm的所有点的集合

以O为圆心的圆

O

以O为圆心半径为2cm作圆

O

要确定一个圆必须知道圆心和半径

探究①:过一个已知点A可以画 多少个圆?

A

无数个

探究②过两点能作几个圆?
过A、B两点的圆的圆心有何特点?
A


O



O

B
经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. ?以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到 A或B的距离为半径作圆.
?

探究②:过已知两点A、B画多少个 圆?

A

B

结论:经过两点的圆的圆心必定在 两点连线段的中垂线上。

探究③过三点能作几个圆?
1.三点共线

(不能作圆)
D F

A
E

B
G

C

为什么过同一直线上的三点不能作圆呢?
因为DE∥FG,所以没有交点, 即没有过这三点的圆心

2、三点不共线
已知:不在同一直线上的三点 A、 B 、 C
F A O C G

求作:⊙O,使它经过A、B、C
作法: 1、连结AB,作线段AB的垂 直平分线DE, 2、连结BC,作线段BC的垂直平 分线FG,交DE于点O,

B

3、以O为圆心,OB为半径作圆,

⊙O就是所求作的圆

定理:不在同一直线上的三点确定一个圆
由定理可知:经过三角形三 个顶点可以作一个圆, 经过 三角形各顶点的圆叫做三角 形的外接圆。
O

A


接圆的圆心叫做三角形 的外心,这个三角形叫做这 个圆的内接三角形。

C B

想一想:一个三角形的外接圆有几个? 一个圆的内接三角形有几个?

A 三角形的外接圆

圆的内接三角形

O

C

B

外心

三角形的外心 1.三边垂直平分线的交点 2.到三个顶点距离相等

分工合作 观察发现 分别画一个锐角三角形、直角三角形 和钝角三角形,再画出它们的外接圆,观 察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.

三角形的外心是否一定在 三角形的内部?
A
O

O C
B C

A

B

直角三角形外心是斜边AB 的中点

钝角三角形外心在 △ABC的外面

分工合作 观察发现

三角形与圆的位置关系
A A

? 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外 接圆,并说明与它们外心的位置情况
A




O
C B ┐

O C B



O
C

B

锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位 于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外. ?老师期望: ?作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
?

三 角 形 的 外 接 圆

不在同一直线上的三点确定一个圆

外心:三边垂直平分线的交点
外心性质:到三个顶点的距离相等 外心规律
C O B O C A O B

A

A

C

B

练习1:按图填空: 是⊙O的_________三角形; 内接 (1) (2)⊙O 是 的_________圆, 外接

课堂练习2
判断题:
1、过三点一定可以作圆 (错) 2、三角形有且只有一个外接圆 (对) 3、任意一个圆有一个内接三角形,并且只有 一个内接三角形 (错 ) 4、三角形的外心就是这个三角形任意两边垂 直平分线的交点 (对 ) 5、三角形的外心到三边的距离相等 ( 错 )

问题:经过同一条直线l上的三点能作出一个 P 圆吗?
如图,假设过同一 直线l上的三点A、B、C 能作出一个圆。 l1 l2

A

B

C

l

设这个圆的圆心为P,则点P在线段AB和线段BC 的垂直平分线l1、l2上,即点P是l1、l2的交点,并 且l1⊥l,l2⊥l,这与“过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直”矛盾。 所以,过同一直线上的三点不能作圆。

归纳上面证明方法的步骤:
(1)假设命题的结论不成立;

(2)从这个假设出发,经过推理论证,得
出矛盾; (3)由矛盾断定假设不成立,从而得到原 命题成立。

例:求证: 在一个三角形中,至少有一个内角小于 或等于60°. 已知: △ABC. 求证: △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明: 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°, 即∠A>60°, ∠B>60°, ∠C>60°. 于是∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°,

与三角形的内角和等于180°矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。

问题:任意四个点是不是可以作一个

圆?请 举例说明. 1. 四点在一条直线上不能作圆; 2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上 不能作圆; 3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能 作不出一个圆. A
A

A

B

B

A

B

B

D

C

D

C

D

C

D

C

C

1.如图,已知直角三角形ABC

E D A

的边AB=3厘米,AC=4厘米。
AD是高,AE是中线

B

(1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A, 则点B、C、D、E与圆A的位置关系如何? (2)若以A点为圆心作圆A,使B、C、D E四点中至少有一个点在圆内,有一个点在圆 外则圆A的半径r多少?

2.如图,已知 Rt⊿ABC 中 , ?C ? 90? 若 AC=12cm,BC=5cm,
求的外接圆半径。
B A C

3..如图,已知等边三角形ABC中,边长为

6cm,求它的外接圆半径。

A
E O B D C

AB 4..如图,等腰⊿ABC中, ? AC ? 13cm



BC ? 10cm ,求外接圆的半径。
A

O B C

D

5.如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,
AD与三角形的外接圆交于点D,连接BD,求

证:DB=DC.
E A O

D

B

C

6.用反证法证明:等腰三角形的底角必定是 锐角.
分析:解题的关键是反证法的第一步否定结 论,需要分类讨论. 已知:在△ABC中,AB=AC. 求证:∠B、∠C为锐角. 证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,那 么只有两种情况: (1)两个底角都是直角; (2)两个底角都是钝角;

1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°, 这与三角形内角和定理矛盾, ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
(2)由90°<∠B<180°, 90°<∠C<180°, 则 ∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理矛盾

.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立. 故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角. 说明:本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况, 这时,必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能 成立,最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证 法的进一步理解.

7.如图,已知AB、CD是⊙O的两条非直径弦,

相交于点P.求证:AB与CD不能互相平分。
D B
P

O
A

C

课堂练习

如图,CD所在的直线垂直平分线段 AB,怎样用这样的工具找到圆形工件 的圆心?
A C O B

D

小结与归纳

◆ ◆

用数量关系判断点和圆的位置关系。

不在同一直线上的三点确定一个圆。

求解特殊三角形直角三角形、等边三角形、

等腰三角形的外接圆半径。 ◆在求解等腰三角形外接圆半径时,运用了 方程的思想,希望同学们能够掌握这种

方法,领会其思想。

课堂小结

你有什么方法使得我能“破镜 重圆”呢?

如何解决“破镜重圆”的问 题: (找圆心)
解决问题的关键是什么?
B A C O

小故事

路边苦李

古时候有个人叫王戎,7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩,看见 一棵李子树上的果实多

得把树枝都 快压断了,小伙伴们都跑去摘,只 有王戎站着没动。他说:“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝, 李子果然苦的没法吃。

小伙伴问王戎:“这就怪了!你又 没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”

王戎说:“如果李子是甜的,树 长在路边,李子早就没了!李 子现在还那么多,所以啊,肯 定李子是苦的,不好吃!”

小华睡觉前,地上是干的,早晨起来,看见地上全 湿了。小华对婷婷说:“昨天晚上下雨了。” 你能对小华的判断说出理由吗?

小华的理由:
假设昨天晚上没有下雨,那么地上应是干的,这与 早晨地上全湿了相矛盾,所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。

先假设结论的反面是正确的,然后通过逻辑 推理,推出与公理、已证的定理、定义或已知 条件相矛盾,说明假设不成立,从而得到原结 论正确.

这种证明方法叫做“反证 法”.

证明:一个三角形中不能有 两个角是直角.
已知:△ABC. 求证:∠A、∠B、∠C中不能
有两个角是直角.


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