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新人教版九年级数学解直角三角形

发布时间:2013-10-17 13:33:57  

新人教版九年级数学

1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.

2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2+b2=c2(勾股定理); c



; (2)两锐角之间的关系: ∠ A+ ∠ B= 90o (3)边角之间的关系: a sinA= c b cosA= c a tanA= b


a

b



温故而知新
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,
(1)若∠A=30°,BC=3,则AC= 3 3 (2)若∠B=60°,AC=3,则BC=

3

(3)若∠A=α°,AC=3,则BC= 3tan ?

m (4)若∠A=α°,BC=m,则AC= tan ?

B

A

┌ C

仰角和俯角
在进行测量时, 从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角

视线

合作与探究
【例1】如图,直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处,此时飞机离地面的高度PO=450米,且A、 B、O三点在一条直线上,测得大桥两端的俯角 分别为α=30°,β=45°,求大桥的长AB .
解:由题意得,在Rt△PAO与Rt△PBO中
?PAO ? 30?, ?PBO ? 45? PO PO ? ? tan 30?, ? tan 45? P OA OB

α

β

? OA ?

450 ? 450 3, 450米 tan 30?

450 OB ? ? 450 tan 45?

? AB ? OA ? OB ? (450 3 ? 450)(m) O 答:大桥的长AB为 (450 3 ? 450)m.

B

A

合作与探究
变题1:如图,直升飞机在长400米的跨江大桥 AB的上方P点处,且A、B、O三点在一条直线 上,在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 和45 °,求飞机的高度PO .

P

答案: (200 3 ? 200 ) 米
45° 30°

O

B

400米

A

合作与探究
例2:如图,直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处,从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°,求飞机的高度PO .

P
30°

A
200米

答案: (100 3 ? 300 ) 米
45°

O

B

L U D

合作与探究
例2:如图,直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处,从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°,求飞机的高度PO .

P C
30°

A
200米

45°

O

B

合作与探究
例2:如图,直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处,从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°,求飞机的高度PO .

P
30°

C

A
200米

45°

O

B

合作与探究
例2:如图,直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处,从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°,求飞机的高度PO .

P
30°

A
200米

45°

O

B

C

合作与探究
变题2:如图,直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P点处,测得大楼的顶部仰角为45°,测得 大楼底部俯角为30°,求飞机与大楼之间的水 A 平距离.

P

45° 30°

200米 D

答案: (300 ? 100 3 ) 米
O B

P

归纳与提高
α β
450

P

450

45°

30°

30°

45°

O

B
C
30°
60°

A

B

O

A

P

A

P

45° 45°

200 200米

30° 30°

D

200 45° 200米

45°

O

B

O

B

例2:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?

B
α=30° 120 D β=60°

A

C

(课本93页)

建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角 为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
A
B

D

40

C

思想与方法

1.数形结合思想. 2.方程思想. 3.转化(化归)思想. 方法:把数学问题转化成解直角三角形问题, 如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅 助线,构造出直角三角形.

当堂反馈
1.如图1,已知楼房AB高为50m,铁塔塔基距楼房地 100 基间的水平距离BD为100m,塔高CD为 3 ? 50) m ( 3 ,则下面结论中正确的是( ) C A.由楼顶望塔顶仰角为60° B.由楼顶望塔基俯角为60° C.由楼顶望塔顶仰角为30° D.由楼顶望塔基俯角为30°
图1

2.如图2,在离铁塔BE 120m的A处, 用测角仪测量塔顶的仰角为30°, 已知测角仪高AD=1.5m,则塔高 BE= (40 3 ? 1.5)m(根号保留). _________

图2

当堂反馈
3.如图3,从地面上的C,D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°,已知CD=200m,点C在BD上,则树高 AB等于 100( 3 ? 1)m (根号保留).

图3

图4

4.如图4,将宽为1cm的纸条沿BC折叠,使∠CAB=45°
,则折叠后重叠部分的面积为
2 2 cm (根号保留). 2

更上一层楼
必做题: 书本P96/4、P97/7题.

选做题: 1.一架直升机从某塔顶A测得地面C、D两点的俯 角分别为30°、 45°,若C、D与塔底B共线,CD =200米,求塔高AB? 2.有一块三形场地ABC,测得其中AB边长为60米, AC边长50米,∠ABC=30°,试求出这个三角形场 地的面积.

更上一层楼
3.学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学 在环西文化广场休息,看到濠河对岸的电视塔,他想用手 中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度.现已 测出∠ADB=40°,由于不能过河,因此无法知道BD的长 度,于是他向前走50米到达C处测得∠ACB=55°,但他们 在计算中碰到了困难,请大家一起想想办法,求出电视塔 21 7 塔楼AB的高. tan 40? ? , tan 55? ? ) (参考数据: 答案:空中塔楼AB高 约为105米
25 5

A

濠 河 55°

40°

B

C 50m D

1.如图,某飞机于空中 A处探测到目标C,此 时飞行高度AC=1200米, 从飞机上看地平面控制 点B的俯角α=16031`,求 飞机A到控制点B的距 离.(精确到1米)
α

2. 两座建筑AB及CD,其 地面距离AC为50.4米,从 AB的顶点B测得CD的顶 部D的仰角β =25 0 ,测得 其底部C的俯角a=500, 求两座建筑物AB及CD的 高.(精确到0.1米)

A
C

B

课本P92 例4

(第 2 题)

3.国外船只,除特许外,不得进入我国海洋100海里 以内的区域

,如图,设A、B是我们的观察站,A和B 之间的距离为157.73海里,海岸线是过A、B的一条 直线,一外国船只在P点,在A点测得∠BAP=450,同 时在B点测得∠ABP=600,问此时是否要向外国船只 发出警告,令其退出我国海域.

P

A

B

4、如图,为了测量高速公路的保护石堡坎与地面 的倾斜角∠BDC是否符合建筑标准,用一根长为 10m的铁管AB斜靠在石堡坎B处,在铁管AB上量 得AF长为1.5m,F点离地面的距离为0.9m,又量 出石堡坎顶部B到底部D的距离为 m ,这样能计 算出∠BDC吗?若能,请计算出∠BDC的度数,若 不能,请说明理由。 B
1 0m
F

4 3m

1 .5 m
A

0 .9 m
E D C

利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.

1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(仰角,俯角)

2.实际问题向数学模型的转化
(解直角三角形)

在进行观察或测量时,

仰角和俯角

从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅 垂 线

视线
仰角 水平线

俯角 视线

新人教版九年级数学

解直角三角形

利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.

例1. 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距 离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后, 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海 轮所在的B处距离灯塔P有多远? (精确到0.01海里)

65° P

A C

34°

B

方位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. ? 如图:点A在O的北偏东30° ? 点B在点O的南偏西45°(西南方向)
?
北 30° A

西

O 45°



B



例1 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里 的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确 到0.01海里)?
解:如图 ,在Rt△APC中, 65° PC=PA· cos(90°-65°) =80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC中,∠B=34° 34° P C A

PC ? sin B ? PB PC 72.8 72.8 ? PB ? ? ? ? 130.23 ? sin B sin 34 0.559

B

当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130.23海里.

气象台发布的卫星云图显示,代号为W的台风在某海岛(设为 点O)的南偏东45°方

向的B点生成,测得 OB ? 100 6km . 台 风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动,经5h后到达海 面上的点C处.因受气旋影响,台风中心从点C开始以30km/h 的速度向北偏西60°方向继续移动.以O为原点建立如图12所示 的直角坐标系. (1)台风中心生成点B的坐标为 ,台风中心转折点C的 坐标为 ;(结果保留根号) (2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如 果某城市(设为A点)位于点O的正北方向且处于台风中心的移 动路线上,那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间? 北
y/km

A



C x/km
O

B
图12

解:(1) B(100 3, 100 3) C (100 3, ? 100 3) 200 ? (2)过点C作 CD ? OA 于点D,如图2,则 CD ? 100 3

在 Rt△ACD 中
?

?ACD ? 30?

CD ? 100 3
y/km

CD 3 ? cos 30? ? CA 2

?CA ? 200

A

200 ? 20 ? ?6 30

5 ? 6 ? 11

D
O

60?

C

x/km

台风从生成到最初侵袭该城要经过 11小时.

B
图2

例4.海中有一个小岛A,它的周围8海里范围内有暗礁, 渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A 在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东 航行,有没有触礁的危险?

A
30° 60°

B

12

D

F

解:由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F,垂足为F, ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中,根据勾股定理
AF ? AD ? DF ?
2 2

A

60°
B D F 30°

? 2x ?

2

? x 2 ? 3x

在Rt△ABF中,

3x AF ? tan 30 ? tan ?ABF ? BF 12 ? x
解得x=6

AF ? 6 x ? 6 3 ? 10.4

10.4 > 8没有触礁危险

化整为零,积零为整,化曲为直,以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用 相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的高度h时,只要测出仰 角a和大坝的坡面长度l,就能算出h=lsina,但是,当我们要测量如图所 示的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l l h α

l

h

α

与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而山坡是“曲” 的,怎样解决这样的问题呢?

我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡“化 整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段,划分小 段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这 段坡长l1,测出相应的仰角a1,这样就可以算出这段山坡的高度 h1=l1sina1. l α h

在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”,把 h1,h2,…,hn相加,于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零,积零

为整”“化曲为直,以直代曲” 的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在 今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容.

例5. 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i=1:3是指坡面的铅直 高度DE与水平宽度CE的比),根据图中数据求:
(1)坡角a和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m) 解:(1)在Rt△AFB中,∠AFB=90° A D i=1:3 β F E C

AF tan ? ? ? i ? 11.5 : BF

i=1:1.5 B

6m

α

? ? 33.7?
在Rt△CDE中,∠CED=90°
DE tan ? ? ? i ? 1: 3 CE

? ? 18.4?

利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.

例3. 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距 离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后, 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海 轮所在的B处距离灯塔P有多远? (精确到0.01海里)

65° P

A C

34°

B

方位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. ? 如图:点A在O的北偏东30° ? 点B在点O的南偏西45°(西南方向)
?
北 30° A

西

O 45°



B



例3 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里 的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确 到0.01海里)?
解:如图 ,在Rt△APC中, 65° PC=PA· cos(90°-65°) =80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC中,∠B=34° 34° P C A

PC ? sin B ? PB PC 72.8 72.8 ? PB ? ? ? ? 130.23 ? sin B sin 34 0.559

B

当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130.23海里.

化整为零,积零为整,化曲为直,以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用 相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的高度h时,只要测出仰 角a和大坝的坡面长度l,就能算出h=lsina,但是,当我们要测量如图所 示的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l l h α

l

h

α

与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而山坡是“曲” 的,怎样解决这样的问题呢?

我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡“化 整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段,划分小 段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这 段坡长l1,测出相应的仰角a1,这样就可以

算出这段山坡的高度 h1=l1sina1. l α h

在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”,把 h1,h2,…,hn相加,于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代曲” 的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在 今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容.

练习:海中有一个小岛A,它的周围8海里范围内有暗 礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在 北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小 岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向 东航行,有没有触礁的危险?

A
30° 60°

B

12

D

F

练习 1. 海中有一个小岛A,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向到航 行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测 得小岛A在北偏到30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有 触礁的危险? 解:由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点F,垂足为F,∠AFD=90° A 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x , AD=2x 60° 则在Rt△ADF中,根据勾股定理

AF ? AD ? DF ?
2 2

? 2x ?

2

? x 2 ? 3x

B

D

F 30°

在Rt△ABF中,

3x AF ? tan 30 ? tan ?ABF ? BF 12 ? x
解得x=6

AF ? 6 x ? 6 3 ? 10.4

10.4 > 8没有触礁危险

2. 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比),根据图中数据求:
(1)坡角a和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m) 解:(1)在Rt△AFB中,∠AFB=90° A D i=1:3 β F E C

AF tan ? ? ? i ? 11.5 : BF

i=1:1.5 B

6m

α

? ? 33.7?
在Rt△CDE中,∠CED=90°
DE tan ? ? ? i ? 1: 3 CE

? ? 18.4?

1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)

2.实际问题向数学模型的转化
(解直角三角形)

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.


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