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八年级下:第17章《勾股定理》学案

发布时间:2013-10-18 08:03:37  

八年级数学(下)教学案 第1课时

课题:17.1勾股定理(1) 课型:新授课 编写: 审核: 讲学时间:2013.4 【学习目标】:1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股

定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

【学习重点】:勾股定理的内容及证明。 【学习难点】:勾股定理的证明。 【学习过程】 一、课前预习 A1、直角△ABC的主要性质是:∠C=90°(用几何语言表示)

(1)两锐角之间的关系:

(2

)若D为斜边中点,则斜边中线

(3)若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:2、(1)、同学们画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用 B刻度尺量出AB的长。

(2)、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长

问题:你是否发现3+4与5,5+12和13的关系,即3+4 5,5+12 13, 二、自主学习 思考:

2

2

2222222222

(图中每个小方格代表一个单位面积)

(2)你能发现图1-1中三个正方形A,B,C的面积之间有什么关系吗?图1-2中的呢? (3)你能发现图1-1中三个正方形A,B,C围成的直角三角形三边的关系吗? (4)你能发现课本图1-3中三个正方形A,B,C围成的直角三角形三边的关系吗?

(5)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由。

由此我们可以得出什么结论?可猜想:

命题1:如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么__________________ _____________________________________________________________________。

1

三、合作探究 勾股定理证明: 方法一; 如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图图形,利用面积证明。 S正方形=_______________=____________________

方法二;

已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证:a2+b2=c2。

分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形

的面积相等。 b左边S=______________

b右边S=_______________

左边和右边面积相等, b

即 化简可得。

勾股定理的内容是: 。

四、课堂练习

1、在Rt△ABC中,?C?90? , (1)如果a=3,b=4,则c=________; (2)如果a=6,b=8,则c=________; (3)如果a=5,b=12,则c=________; (4) 如果a=15,b=20,则c=________. 2、下列说法正确的是( )

A.若a、b、c是△ABC的三边,则a?b?c B.若a、b、c是Rt△ABC的三边,则a?b?c

2

2

2

2

2

2

C.若a、b、c是Rt△ABC的三边,?A?90?, 则a?b222

D.若a、b、c是Rt△ABC的三边,?C?90? ,则a?b?c

2

2

3、一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )

A.斜边长为25 B.三角形周长为25 C.斜边长为5 D.三角形面积为20

4、如图,三个正方形中的两个的面积S1=25,S2=144,则另一个的面积S3为________. 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。

五、课堂小结

1、什么勾股定理?如何表示? 2、勾股定理只适用于什么三角形?

2

六、课堂小测

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,

①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;

③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________。

2、一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为 。

3、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 。

4、已知,如图在ΔABC中,AB=BC=CA=2cm,AD是边BC上的高.

求 ①AD的长;②ΔABC的面积.

七、课后反思:

3

八年级数学(下)教学案 第2课时

课题:17.1勾股定理(2) 课型:新授课 编写: 审核: 讲学时间:2013.4

【学习目标】:1.会用勾股定理进行简单的计算。

2.勾股定理的实际应用,树立数形结合的思想、分类讨论思想。

【学习重点】:勾股定理的简单计算。

【学习难点】:勾股定理的灵活运用。

【学习过程】

一、课前预习

1、直角三角形性质有:如图,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)

(1)两锐角之间的关系: ; (2)若∠B=30°,则∠B的对边和斜边: ;

(3)直角三角形斜边上的 等于斜边的 。 (4)三边之间的关系: 。 (5)已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则

c= 。(已知a、b,求c)

a= 。(已知b、c,求a)

b= 。(已知a、c,求b).

2、(1)在Rt△ABC,∠C=90°,a=3,b=4,则

(2)在Rt△ABC,∠C=90°,a=6,c=8,则b= 。

(3)在Rt△ABC,∠C=90°,b=12,c=13,则a= 。

二、自主学习

例1:一个门框的尺寸如图所示.

①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过?

②若薄木板长3米,宽1.5米呢?

③若薄木板长3米,宽2.2米呢?(注意解题格式) B m

A 实际问题 1m B 数学模型 分析: 木板的宽2.2米大于1米,所以横着不能从门框内通过.

木板的宽2.2米大于2米,所以竖着不能从门框内通过.因为对角线AC的长度最大,所以只能试试斜着能否通过.所以将实际问题转化为数学问题.

4

三、合作探究

例2、如图,一个3米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米,那么梯子底端B也外移0.5米吗?(计算结果保留两位小数)

分析:要求出梯子的底端B是否也外移0.5米,实际就是求BD的长,而BD=OD-OB

O

四、课堂练习

1

、一个高1.5米、宽0.8条长为 。

2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆,则地面

钢缆A到电线杆底部B的距离为

3、有一个边长为50dm圆的直径至少为 (结果保留根号) 如下图,池塘边有两点A,B,点C是与BA方

向成直角的AC方向上一点.测得CB=60m,AC=20m,

你能求出A、B两点间的距离吗?

5、如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角,已知滑杆AB长100cm,顶端A在AC上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为60cm,当端点B向右移动20cm时,滑杆顶端A下滑多长? 4、一旗杆离地面6m处折断,其顶部落在离旗杆底部8m

5 A E C B D

五、课堂小结

谈谈你在本节课里有那些收获?

六、课堂小测

1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( )

A、12 cm B、10 cm C、8 cm D、6 cm

2、若等腰直角三角形的斜边长为2,则它的直角边的长为,斜边上的高的长为。

03、如图,在⊿ABC中,∠ACB=90,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D。

求:(1)AC的长; (2)⊿ABC的面积; (3)CD的长。

七、课后反思:

6

八年级数学(下)教学案 第3课时

课题:17.1勾股定理(3) 课型:新授课 编写: 审核: 讲学时间:2013.4

【学习目标】:1.能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点,进一步领会数形结合的

思想。

2.会用勾股定理解决简单的实际问题。

【学习重点】:运用勾股定理解决数学和实际问题

【学习难点】:勾股定理的综合应用。

【学习过程】

D 一、课前预习

1、(1)在Rt△ABC,∠C=90°,a=3,b=4,则

(2)在Rt△ABC,∠C=90°,a=5,c=13,则b= 。 2、如图,已知正方形ABCD的边长为1,则它的对角线

二、自主学习

例:用圆规与尺子在数轴上作出表示的点,并补充完整作图方法。

步骤如下:1.在数轴上找到点A,使OA= ;

2.作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=

3.以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示13 的点.

三、合作探究

例3(教材探究3)

分析:利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点,进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图,已知OA=OB,

(1)说出数轴上点A所表示的数

(2)在数轴上作出

C 对应的点

四、课堂练习

1、你能在数轴上找出表示2的点吗?请作图说明。

7

2、已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。

3、已知:如图,等边△ABC的边长是6cm。

(1)求等边△ABC的高。

(2)求S△ABC。

五、课堂小结

在数轴上寻找无理数:①___________________②____________________③ 。

六、课堂小测

1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为。

2、已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为。

3、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。

4、在数轴上作出表示的点。

5、已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,∠A=60°,CD=3,

求线段AB的长。

七、课后反思:

A D B B

8

八年级数学(下)教学案 第4课时

课题:17.2勾股定理逆定理(1) 课型:新授课 编写: 审核: 讲学时间:2013.4

【学习目标】:1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程;

2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系;

3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.

【学习重点】:勾股定理的逆定理及其应用。

【学习难点】:勾股定理的逆定理的证明。

【学习过程】

一、课前预习

1、勾股定理:直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______,即___________. 2、填空题

b (1)在Rt△ABC,∠C=90°,a?8,b?15,则c? 。

(2)在Rt△ABC,∠B=90°,a?3,b?4,则c? 3、直角三角形的性质

(1)有一个角是 ;(2)两个锐角 ,

(3)两直角边的平方和等于斜边的平方:

二、自主学习

1、怎样判定一个三角形是直角三角形?

2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c

5、12、13 7、24、25 8、15、17

(1)这三组数满足a?b?c吗?

(2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗? 猜想命题2:如果三角形的三边长a、b、c,满足a?b?c,那么这个三角形是角形

问题二:命题1:

命题2:

命题1和命题2的 和 正好相反,把像这样的两个命题叫做 命题,如果把其中一个叫做 ,那么另一个叫做

由此得到

勾股定理逆定理:

三、合作探究

命题2:如果三角形的三边长a、b、c满足a2?b2?c2,那么这个三角形是直角三角形.

已知:在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且a2?b2?c2

求证:∠C=90°

c思路:构造法——构造一个直角三角形,使它与原三角形全等,

利用对应角相等来证明.

证明: 9 222222 B (4)在含30°角的直角三角形中,30°的角所对的 边是 边的一半. bb

四、课堂练习

1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形:

(1)a?15,b?8,c?17; (2)a?13,b?14,c?15.

2、说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗?

(1)两条直线平行,内错角相等.

(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等.

(3)全等三角形的对应角相等.

(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

五、课堂小结

1、什么是勾股定理的逆定理?如何表述?

2、什么是命题?什么是原命题?什么是逆命题?

六、课堂小测

1、以下列各组线段为边长,能构成三角形的是____________,能构成直角三角形的是____________.(填序号)

①3,4,5 ② 1,3,4 ③ 4,4,6 ④ 6,8,10 ⑤ 5,7,2 ⑥ 13,5,12 ⑦ 7,25,24

2、在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( )

A.5,6,7 B.1,4,9 C.5,12,13 D.5,11,12

3、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中,不能构成直角三角形的是( )

A、a=9,b=41,c=40 B、a=b=5,c=52 C 、a∶b∶c=3∶4∶5 D a=11,b=12,c=15

4、若一个三角形三边长的平方分别为:32,42,x2,则此三角形是直角三角形的x2的值是( )

A.42 B.52 C.7 D.52或7

5、命题“全等三角形的对应角相等”

(1)它的逆命题是 。

(2)这个逆命题正确吗?

(3)如果这个逆命题正确,请说明理由,如果它不正确,请举出反例。

七、课后反思:

10

八年级数学(下)教学案 第5课时

课题:17.2勾股定理逆定理(2) 课型:新授课 编写: 审核: 讲学时间:2013.4

【学习目标】:1、勾股定理的逆定理的实际应用;

2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合.

【学习重点】:勾股定理的逆定理及其实际应用。

【学习难点】:勾股定理逆定理的灵活应用。

【学习过程】

一、课前复习

1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形:

(1)a?1,b?2,c?5;(2)a?1.5,b?2,c?2.5 (3)a?5,b?5,c?6

2、写出下列真命题的逆命题,并判断这些逆命题是否为真命题。 (1)同旁内角互补,两直线平行;

解:逆命题是: ;它是 命题。 (2)如果两个角是直角,那么它们相等;

解:逆命题是: ;它是 命题。 (3)全等三角形的对应边相等;

解:逆命题是: ;它是 命题。 (4)如果两个实数相等,那么它们的平方相等;

解:逆命题是: ;它是 命题。

二、自主学习 1、勾股定理是直角三角形的 定理;它的逆定理是直角三角形的 定理. 2、请写出三组不同的勾股数: 、 、 . 3、借助三角板画出如下方位角所确定的射线:

①南偏东30°;②西南方向;③北偏西60°.

② ① ③

三、合作探究

例1:“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

11

四、课堂练习

1、已知在△ABC中,D是BC边上的一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,求S△ABC.

2、如图,南北向MN为我国领域,即MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里,A、B两艇的距离是5海里;反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?

分析:为减小思考问题的“跨度”,可将原问题分解成下述“子问题”:

(1)△ABC是什么类型的三角形?

(2)走私艇C进入我领海的最近距离是多少? M (3)走私艇C最早会在什么时间进入?

C

B

五、课堂小结

你能搞清楚各个方向方位吗?本节课你还有哪些收获? N

六、课堂小测

1、一根24米绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,则三边长分别为B此三角形的形状为 。

2、已知:如图,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=5,AD=52,

∠B=90°,求四边形ABCD的面积.

12 C

3、如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西n°,问:甲巡逻艇的航向?

七、课后反思

13

八年级数学(下)教学案 第6课时

课题:勾股定理全章复习 课型:复习课 编写 审核: 讲学时间:2013.4

【学习目标】:复习勾股定理及其逆定理,能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直

角三角形.

【学习重点】:勾股定理及其逆定理的应用。

【学习难点】:利用定理解决实际问题。

【学习过程】

一、知识要点1:直角三角形中,已知两边求第三边

1.勾股定理:若直角三角形的三边分别为a,b,c,?C?90,则。 公式变形①:若知道a,b,则c? ;

公式变形②:若知道a,c,则b? ;

公式变形③:若知道b,c,则a? ;

例1:求图中的直角三角形中未知边的长度:

b?c?

练一练 ?15 24 ?在Rt?ABC中,若?C?90,a?4,b?3,则c?o(2)在Rt?ABC中,若?B?90,a?9,b?41,则c??(3)在Rt?ABC中,若?A?90,a?7,b?5,则c?二、知识要点2:利用勾股定理在数轴找无理数。

例2:在数轴上画出表示的点.

练一练 在数轴上作出表示的点.

三、知识要点3:判别一个三角形是否是直角三角形。

例3:分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17(4)4、5、6,试找出哪些能够成直角三角形。

1、在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( ) 练一练 A.12,15,17 B.9,16,25 C.5a,12a,13a(a>0) D.2,3,4

2、判断由下列各组线段a,b,c的长,能组成的三角形是不是直角三角形, 说明理由.

(1)a?6.5,b?7.5,c?4; (2)a?11,b?60,c?61;

14

(3)a?81031,b?2,a?; (4)a?3,b?2,c?4; 3344

四、知识要点4:利用列方程求线段的长

例4:如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?

C A

E B

如图,某学校(A点)与公路(直线L)的距离为300米,又与公路车站(D点) 练一练 的距离为500米,现要在公路上建一个小商店(

C点),使之与该校A及车站

D

的距离相等,求商店与车站之间的距离.

五、知识要点5:构造直角三角形解决实际问题

例5:

如图,小明想知道学校旗杆AB的高,他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能求出旗杆的高度吗?

一透明的玻璃杯,从内部测得底部半径为6cm,杯深16cm.

练一练

今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中,露在杯口外的 长度为2cm,则这玻璃杯的形状是 体. 六、课后巩固练习

(一)填空选择

1、写出一组全是偶数的勾股数是 .

2、直角三角形一直角边为12 cm,斜边长为13 cm,则它的面积为 .

3、斜边长为l7 cm,一条直角边长为l5 cm的直角三角形的面积是( )

A.60 cm2 B.30 cm2 C.90 cm2 D.120 cm2

4、已知直角三角形的三边长分别为6、8、x,则以x为边的正方形的面积为 .

5、若一三角形三边长分别为5、12、13,则这个三角形长是13的边上的高是 .

6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm,16cm,20cm,则这块三角形铁皮余料的面积为 15

cm2.

7、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外

壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行 cm.

(二)解答题

1、在数轴上作出表示的点.

2、已知,如图在ΔABC中,AB=BC=CA=2cm,AD是边BC上的高.

求:①AD的长;②ΔABC的面积.

3、如图,已知在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=20,BC=15,DB=9.

(1)求DC的长;

(2)求AB的长;

(3)求证:△ABC是直角三角形.

A BAD 图

4 B

4、如图,钢索斜拉大桥为等腰三角形,支柱高24米,顶角∠BAC=120°,E、F分别为BD、CD中点,试求B、C两点之间的距离,钢索AB和AE的长度。(结果保留根号)

A

CFBED

5、(09年甘肃定西)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,

222D为AB边上一点,求证:(1)△ACE≌△BCD;(2)AD?DB?DE.

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6、(09牡丹江)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.

7、(09湖北十堰)如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向,办公楼B位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C处,此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向.求教学楼A与办公楼B之间的距离(结果精确到0.1米).(供选用的数据:2≈1.414,3≈1.732)

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