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12.5.3完全平方公式因式分解

发布时间:2013-10-20 08:04:12  

求学问,需学问, 只学答,非学问.
---李政道

因式分解(第三课时)
------运用完全平方公式分解因式

康园中学 曹丽军

1.能够判断一个多项式是否是完全平方式; 2.运用类比的方法探究因式分解的完全平方公式; 3.能根据完全平方公式的特点,将某些多项式分解 因式。

完全平方公式:
(a+b)2 = a2+2ab+ b2

(a-b)2 = a2-2ab+ b2

整式乘法
a2+2ab+ b2 (a+b)2 =
a2-2ab+ b2 (a-b)2 =

完全平方公式反 过来就是:两个 数的平方和,加 上(或减去)这两 数的积的2倍,等 于这两数和(或差 )的平方。

因式分解

公式中的a、b可以表示数、字母、 单项式甚至是多项式

我们把多项式a2 +2ab+b2,

a2 -2ab+b2称为完全平方式。
完全平方式有什么特征? (1)二次三项式。 (2)两数的平方和,两数积的2倍。

判断下列多项式是不是完全平方式,如果 是的话,将它转化成两数和(差)的平方。

√ (1) √ (2) √ (3) √ (4)
× (5)

9x ? 6x ? 1
2 2

? (3 x ? 1)
? (a ? 6)

2

a ? 12a ? 36

2
2

?1 ? 1 2 2 x ? xy ? y ? ? x ? y ? ?2 ? 4
2

25m ? 30m ? 9 ? (5m ? 3) m ? 2mn ? n
2 2 2

2



(6) ( a ? b) ? 14( a ? b) ? 49 [(a ? b) ? 7]

2

2.请补上一项,使下列多项式成为完全平方式.

?1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5?

x ? _____ ? y ; 2xy
2 2

12ab 4a ? 9b ? ______ ;
2 2

4xy ? 4 y 2; x ? _____
2

1 2 ab a ? _____ ? b ; 4 2 4 2 y x ? 2 x y ? _____ .
2

例1.判断下列各式是否完全平方式 (1)4a2 +12ab+9b2 (2)(2x+y) 2-6 (2x+y)+9

例2 把下列各式分解因式: (1)(2x+y) 2-6 (2x+y)+9 (2)-ax2 +4axy-4ay2

注意啦!首先要考虑能不能提取公因式!

灵活地把(2x+y)看成一个整体,这需要你 的智慧哟。

1.把下列各式分解因式: (1)9a2-6ab+b2 (2)-a2-10a-25 (4)4x3y+4x2y2+xy3 (5)x4-18x2+81
2.计算: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52

1、分解因式
9a2-6ab+b2 =(9a-b)2

诊断分析:
公式理解不准确,不能很好的把握公式中的项, 9a2-6ab+b2中9a2 相当于a2 ,则3a相当于“a”.
正确分解:9a2–6ab+b2=(3a-b)2
2、分解因式 补充分解: 4x3y–4x2y2+xy3=xy(4x2-4xy+y2) = xy(2x-y)2 x4–81x2+81=(x2-9)2 = (x+3)2(x-3)2

问题在 哪里?

诊断分析:

综合运用提公因式,公式法公解因式时,提公因式后,另一个 因式还可以继续分解,同学们千万要注意分解完毕后对结果进 行检查,看是否分解彻底了。

将4x2+1再加上或减去一项,使它成 为一个整式的平方,你有几种方法?

一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何 值,这个代数式的值都是正值,你不 信试一试?”

4x 2 ? 8x ? 11 ? ? 2x ? ? 2?2x ?2 ? 22 ? 7
2


? ? 2x ? 2 ? ? 7 ? 4 ? x ? 1? ? 7
2 2

分解因式的步骤:

(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法 (如平方差公式、完全平方公式) (3)务必检查是否分解彻底了

1. 已知y2+my+16是完全平方式,则m的值是( C ) A.8 B.4 C.±8 D.±4 2.下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( D ) A.x2-6x-9 B.a2-16a+32 C.x2-2xy+4y2 D.4a2-4a+1 3.多项式x2-kx+9是完全平方式,则k= ±6 。 4. 9a2+ (-30ab) +25b2=(3a-5b)2 5. 若x=3.2,y=6.8,则x2+2xy+y2= 100 . 6. 把下列各式分解因式: 1 2; a 2 ? ab ? b 2 (1) 1-10x+25x (2) 4 1 2 ? ( a ? b) =(1-5x)2 2
(3) x2y-4xy+4y = y(x-2)2 (4) (x2+4)2-2(x2+4)+1; =(x2+3)2


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