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十字相乘法分解因式

发布时间:2013-10-20 08:04:12  

康园中学 曹丽军

将4x2+1再加上或减去一项,使它成 为一个整式的平方,你有几种方法?

2+1+4x ?4x 2+1+4x4 ?4x

一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何 值,这个代数式的值都是正值,你不 信试一试?”

4x 2 ? 8x ? 11 ? ? 2x ? ? 2?2x ?2 ? 22 ? 7
2

? ? 2x ? 2 ? ? 7 ? 4 ? x ? 1? ? 7
2 2

分解因式的步骤:

(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法 (如平方差公式、完全平方公式) (3)务必检查是否分解彻底了

1. 已知y2+my+16是完全平方式,则m的值是( C ) A.8 B.4 C.±8 D.±4 2.下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( D ) A.x2-6x-9 B.a2-16a+32 C.x2-2xy+4y2 D.4a2-4a+1 3.多项式x2-kx+9是完全平方式,则k= ±6 。 4. 9a2+ (-30ab) +25b2=(3a-5b)2 5. 若x=3.2,y=6.8,则x2+2xy+y2= 100 . 6. 把下列各式分解因式: 1 2; a 2 ? ab ? b 2 (1) 1-10x+25x (2) 4 1 2 ? (a ? b) =(1-5x)2 2
(3) x2y-4xy+4y = y(x-2)2 (4) (x2+4)2-2(x2+4)+1; =(x2+3)2

整式乘法中,有

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

1、口答计算结果
(1)(x+3)(x+4)

(2)(x+3)(x-4)
(3) (x-3)(x+4)

(4) (x-3)(x-4)

2、提问:你有什么快速计算类似 以上多项式的方法吗?

整式的乘法
两个一次二项式相乘的积

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 反过来,得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式

一个二次三项式

因式分解

两个一次二项式相乘的积

如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解 成两个因数a、b的积,而且一次项系数p又恰好是a+b, 那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。

x ? px ? q
2

?x

2

? (a ? b) x ? ab ? (x + a )(x + b)

?

? q

p

十字相乘法(借助十字交叉线分解因式的方法)
例一:
步骤:

x

? x
?

x ? 6 x ? 7 ?( x ? 7)( x ? 1) ①首项尾项竖着分
2

?

7


?7

②交叉相乘再求和 ③和与中项相吻合

?1

1

④ 最后结果横着写

? x ? 7 x ? 6x

x ? 8 x ? 15 ? ( x ? 5)( x ? 3) ? ?

①首项尾项竖着分 ②交叉相乘再求和 ③和与中项相吻合 ④ 最后结果横着写 试一试: 2 小结: 用十字相乘法把形如

x x

?

?5 ?3

x ? px ? q
2

二次三项式分解因式使

q ? ab, p ? a ? b

(?3x) ? (?5x) ? ?8x

练一练: 将下列各式分解因式

x ? 5x ? 6
2

x ? x?6
2

x ? 7 x ? 12
2

x ? 3 x ? 10
2

五、选择题:
以下多项式中分解因式为

?x ? 6??x ? 4?
B

的多项式是( c )

A

x 2 ? 2 x ? 24

x 2 ? 2 x ? 24
? ?x ? 6??x ? 4?

C

x ? 2 x ? 24
2

D

x 2 ? 2 x ? 24

试将

? x ? 6 x ? 16
2

分解因式

? x ? 6 x ? 16
2

? ? x ? 6 x ? 16
2

?

?

? ??x ? 8??x ? 2?
提示:当二次项系数为-1时 ,先提出负号再因式

分解 。

六、独立练习:把下列各式分解因式

x ? 2 x ? 15
2 2

y ? 3 y ? 18
2 2

x ? 13 x ? 12
? a ? 13a ? 42
2

y ? 17 y ? 30

1.十字相乘法分解因式的公式: x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点:常数项能分解成两个数的积,且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。 3.在用十字相乘法分解因式时,因为常数项的 分解因数有多种情况,所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。

本节总结
1、十字相乘法 (借助十字交叉线分解因式的方法)
2、用十字相乘法把形如x2 + px +q 二次三项式分解因式


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