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初中数学疑难习题

发布时间:2013-09-18 11:28:21  

初中数学难题

1.在等腰三角形ABC中,AB=AC,P,Q分别是AC,AB上的点,AP=PQ=QB=BC,求角ACQ的度数。

解:过Q作QE//BC,使得QE=QB,连接EP,EC

则四边形BCEQ为菱形,由EC//AB得出∠ECP=∠A=∠PQA

PC=AC-AP=AB-BQ=AQ,EC=BQ=PQ

故△ECP≌△PQA

故PE=AP=PQ=QE,∴△PQE为等边三角形,

故图中的x=20°,因此∠ACQ=30°

.

2.在图1至图3中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M.

(1) 如图1,点E在AC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,求证:FM=MH,FM⊥MH;

(2)将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图2,求证:△FMH是等腰直角三

角形;

(3)将图2中的CE缩短到图3的情况,△FMH还是等腰直角三角形吗?(不必说明理由)

(1)证明:∵四边形BCGF和CDHN都是正方形,

又∵点N与点G重合,点M与点C重合,

∴FB = BM = MG = MD = DH,∠FBM =∠MDH = 90°.

∴△FBM ≌ △MDH.∴FM = MH

∵∠FMB =∠DMH = 45°,∴∠FMH = 90°.∴FM⊥HM

(2)证明:连接MB、MD,如图23-2,设FM与AC交于点P.

∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点,

∴MD∥BC,且MD = BC = BF;MB∥CD,

且MB=CD=DH

∴四边形BCDM是平行四边形.∴ ∠CBM =∠CDM

又∵∠FBP =∠HDC,∴∠FBM =∠MDH.∴△FBM ≌ △MDH

∴FM = MH,且∠MFB =∠HMD

又∵MD∥BC,∴∠FMD=∠APM,

∴∠FMH =∠FMD-∠HMD =∠APM-∠MFB =∠FBP = 90°.

∴△FMH是等腰直角三角形

(3)解:△FMH是等腰直角三角形…

3 如图,在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中,∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连接GF.

(1)FG与DC的位置关系是

FG⊥CD

,FG与DC的数量关系是

FG=$\frac{1}{2}$CD

(2)若将△BDE绕B点逆时针旋转180°,其它条件不变,请完成下图,并判断(1)中的结论是否仍然

成立?请证明你的结论.

解 析 (1)证FG和CD的大小和位置关系,我们已知了G是CD的中点,猜想应该是FG⊥CD,

FG=$\frac{1}{2}$CD.我们可通过构建三角形连接FD,FC,证三角形DFC是等腰直角三角形来得出上述结论,可通过证明全等三角形来证明,延长DE交AC于M,连接EM,证明三角形DEF和FMC全等即可.我们发现BDMC是个矩形,因此BD=CM=DE.由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形,∠BED=∠A=45°,因此∠AEM=∠A=45°,这样我们得出三角形AEM是个等腰直角三角形,F是斜边AE的中点,因此MF=EF,∠AMF=∠BED=45°,那么这两个角的补角也应当相等,由此可得出∠DEF=∠FMC,这样就构成了三角形DEF和EMC的全等的所有条件,DF=FC这样就得出三角形DFC是等腰三角形了,下面证直角.根据两三角形全等,我们还能得出∠MFC=∠DFE,我们知道∠MFC+∠CFE=90°,因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°,这样就得出三角形DFC是等腰直角三角形了,也就能得出FG⊥CD,

FG=$\frac{1}{2}$CD的结论了.

(2)和(1)的证法完全一样.

(1)FG⊥CD,FG=$\frac{1}{2}$CD.

(2)延长ED交AC的延长线于M,连接FC、FD、FM,

∴四边形BCMD是矩形.

∴CM=BD.

又△ABC和△BDE都是等腰直角三

角形,

∴ED=BD=CM.

∵∠E=∠A=45°,

∴△AEM是等腰直角三角形.

又F是AE的中点,

∴MF⊥AE,EF=MF,∠E=∠FMC=45°.

∴△EFD≌△MFC.

∴FD=FC,∠EFD=∠MFC.

又∠EFD+∠DFM=90°,

∴∠MFC+∠DFM=90°.

即△CDF是等腰直角三角形,

又G是CD的中点,

∴FG=$\frac{1}{2}$CD,FG⊥CD.

如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF.

(1)判断四边形ADEF的形状,并证明你的结论;

(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?是矩形?

解 析 (1)由题意易得△BDE≌△BAC,∴DE=AC=AF,同理可证,EF=AB=AD,∴ADEF为平行四边形;

(2)AB=AC时,可得ADEF的邻边相等,所以ADEF为菱形,AEDF要是矩形,则∠DEF=90°,由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF,可推出∠BAC=150°时为矩形.

解 答 (1)四边形ADEF为平行四边形,

证明:∵△ABD和△EBC时等边三角形,

∴BD=AB,BE=BC;

∵∠DBA=∠EBC=60°,

∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA

∴∠DBE=∠ABC;

∵在△BDE和△BAC中

BD=BA

∠DBE=∠ABC

BE=BC

∴△BDE≌△BAC

∴DE=AC=AF

同理可证:△ECF≌△BCA,

∴EF=AB=AD

∴ADEF为平行四边形;

(2)AB=AC时为菱形,∠BAC=150°时为矩形.

理由是:∵AB=AC,

∴AD=AF.

∴ADEF是菱形.

∴∠DEF=90°

=∠BED+∠BEC+∠CEF

=∠BCA+60°+∠CBA

=180-∠BAC+60°

=240°-∠BAC,

∴∠BAC=150°.

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