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代数式的值

发布时间:2013-10-20 09:46:20  

9.3

在上课之前,我们先 来看一些练习

知识回顾:
代数式 是用基本运算符号把数字、表 示数的字母连接起的式子。
(运算符包括加、减、乘、除、乘方) 单独一个数或一个字母也是代数式。 注意:代数 式中不含 “=”、“>”、“<”、 “≤”“≥”

数学语言
我们可能经常会听见数学语言这个 名词,那么什么才是数学语言呢?

数学语言
数学语言可分为抽象性数学语言和 直观性数学语言,包括数学概念、 术语、符号、式子、图形等。数学 语言又可归结为文字语言、符号语 言、图形语言三类。

数学语言
在现阶段,我们所谓的数学语言其 实就是符号语言。例如,将a、b两 数的平方和减去他们乘积的2倍这句 话转化为数学语言,那么答案就是

a2 –2ab +b2

玩个游戏
下面我们来玩个游戏。班上一共8个人,那 么我们来编个号。然后请第一个同学报出一 个10以内的偶数,然后第二个同学报出这个 数的一半,然后依次每一个同学根据你前面 一个同学给出的数字根据以下规则算出答案 :第三个,平方,第四个,加1,第五个, 减4,第六个,乘以三分之一,第七个,除 以二分之一,第八个,乘以4后报出答案。

那么把这个游戏转化为数学语言是 什么样的? 首先,我们假设这个数是a,那么
a ?a? ?a? a ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 ?2? ?2? ?? a ? 2 ? 1 ?a? ? ? ? ? 1 ? 4 ? ?? ? ? 3? ? ?2? ?? 2 ? ? 3 ? ?
2 2 2

?? a ? 2 ? 1 1 ?? a ? 2 ? 2 ? ?? ? ? 3? ? ? ? ?? ? ? 3? ? ? 4 ?? 2 ? ? 3 2 ?? 2 ? ? 3 ? ? ? ?

那么我们检验对错的时候就只要把 第一个同学报出来的数字带入就可 以了。那么我们就得到了一个新的 定义: 一般地,用数值代替代数式里的字 母,按照代数式中的运算关系计算得 出的结果,叫做代数式的值(value of algebraic expression)。

你想知道自己将来能长多高吗?
我们知道:遗传是影响一个人身高的因素之 一,国外有学者研究得出由父母身高预测子女成 年后身高的公式是:已知父亲身高是a米,母亲身 高是b米,试用代数式表示儿子和女儿的身高; a+b 0.923a+b 儿子身高= 2 ×1.08,女儿身高= 2
姚明的身高是2.26米,他的妻子的身高是1.90米,大 家预测一下她的女儿将来能长多高?超过2米吗?

代数式的值
1、代数式的值的概念:

用数值代替代数式中的字母,按照代数式给定的运算计算出 来的结果,叫做代数式的值。

由代数的值的概念想一想 怎样就可得到代数式的一个 值?代数式的值是唯一的吗?
2、计算代数式的步骤
(1)用数代替字母 (2)按代数式指定运算进行计



注意代数式的 值不是唯一的, 随着代数式中 字母的取值不 同而不同

我们把这种根据字母取值不同得到 的结果不同这样的关系称之为一一 对应关系。当然了也有些代数式字 母取值不同时他们的值相等,
你能举例说明吗?

但是一般代数式的值不同时,字母 的取值一定不同。

代数式求值
? 下面是一对数值转换机,写出左图的输 出结果;写出右图的运算过程。
输 入x

输入x

×6 6x -3
输出

? ? ?
输出

(x ? 3) 6

代数式求值
? 下面是一对数值转换机,写出左图的输出结果; 写出右图的运算过程。

输入x

输入x
-3 x?3
×6

×6 6x -3

输出 6x ? 3

输出 (x ? 3) 6

? 问题1:“运算关系”指的是什么?
先乘方,后乘除,再加减;如有括号,先进 行括号内运算。

问题2:代数式与代数式的值有什么区 别和联系?
代数式表示一般性,代数式的值表示特殊性。 他们之间的联系是:代数式的值是代数式解决 问题中的一个特例。

例1:根据下面所给x的值,求代数式3x-4的值
(1) x=2 1 (2) x=0 (3) x=1.5 2 1 1 2 2 -4=3.5 解: (1)当x=2 2 时 3x-4=3×
解 答

(2)当x= 0 时3x-4= 3 × 0-4 =-4 (3)当x= 1.5 时3x-4=3 × 1.5-4=0.5

计算代数的值 六字诀:先代 入,后计算

例2:填表 a 18 b 12 a+b 30 a-b ab a b b a

例3:今年植树节时,某校组织100位同学植树 活动,在活动中有2/5的同学每人植树a棵,其余同 学每人植树(a+1)棵;

你能用代数式表示 他们共植树的棵数吗?
如果a=5,那么他们共植树多少棵?

如果a=8,那么他们共植树又是多少棵?
解:他们共植树:

2 3 ?100a ? ?100?a ? 1? 5 5 ? 40a ? 60(a ? 1) ? 100a ? 60

当a ? 5时100a ? 60 ? 100? 5 ? 60 ? 560 即他们植560棵

我们来看一个这样的问题 之前我们讲过,两个数的和的平方等于他们分别平 方后与两数乘积的两倍的和。这就是完全平方公式。 我们也证明过这个公式了,那如果我把两个数变成 三个数呢?我们怎样证明比较简单呢?

a a

b ab

a2

b

ab

b2

(a ? b) ? a ? 2ab ? b 2 ? ?a ? b ? c? ?
2 2
2 2 2

2

数 形 结 合 的 思 想

a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ac

巩固训练
例4. a ? 2,b ? ?1 c ? ?3时, 当 , 求下列各代数式的值:

?1?b 2 ? 4a c; ?2 ?a 2 ? b 2 ? 2a b; 2 ?3??a ? b ?

?1?当a ? 2,b ? ?1,c ? ?3时,
解:

??1 ?2 ? 4 ? 2 ? ?? 3 ? b ? 4ac ?
2

? 1 ? 24 ? 25
2 2

观察(2)(3)两题的结果,你有什么想法?

?a ? b?

2

? a ? b ? 2ab

思考: (1)判断题: 2 1 ?1? (? )①当 x ? 时,3x 2 ? 3? ? ? 3 1 2 4 ?2?



2 2 (? )②当 x ? ?2 时, 3x ? 3 ? 2 ? ?1

如何改正呢?
1 3 ?1? 2 3x ? 3 ?

? ? ? 3 ? ? 4 4 ? 2?
2

3x 2 ? 3? ?? 2? ? 3? 4 ? 12
2

通过以上各题的求解过程,你觉得求代数式的 值应该分哪些步骤?应该注意什么? 小结: ①求代数式的值的步骤: (1)代入,将字母所取的值代入代数式中; (2)计算,按照代数式指明的运算进行,计算出结果。 ②注意的几个问题: (1)由于代数式的值是由代数式中的字母所取的值确定 的,所以代入数值前应先指明字母的取值,把“当…… 时”写出来。 (2)如果字母的值是负数、分数,代入时应加上括号; (3)代数式中省略了乘号时,代入数值以后必须添上乘 号。

练习:
(1)若 x ? 1 ? 4 ,则 ?x ? 1?2 ? 16 ; 2 (2) 若 x ? 1 ? 5,则 ?x ? 1? ? 1 ? 24 ; (3) 若 x ? 5 y ? 4 ,则 2 x ? 10 y ? 8 ; (4) 若 x ? 5 y ? 4 ,则 2 x ? 7 ? 10y ? 15 ; (5) 若x 2 ? 3x ? 5 ? 4 ,则 2 x 2 ? 6 x ? 10 ? 8 ; 1 1 (6) 若 ? 4 ,则 x ? 4 ; x

例:5.若 x ? 2 y ? 5 的值为7,求代数式 3x ? 6 y ? 4 的值。
2
2

解:由已知

x ? 2 y ? 5 ? 7 ,则
2

x ? 2y2 ? 2

? 3x ? 6 y ? 4 =3 ?x ? 2 y ?+4
2
2

(逆用乘法分配律)

? 3 ? 2 ? 4 ? 10

例6: 已知a, b互为相反数, , d互为倒数, c 且x的绝对值是2 cdx 求 : x ( a ? b) ? 的值. 5
2

?我学会了?? 学习了如何根据条件求代数式的值.

方法是先代入后计算.
注意: 1.当字母取值是分数或负数时要打括号, 2.字母的取值不能使代数式和它表示的数量 关系失去意义。

做一做:
1、求代数式3y3-y2-2y+4 的值:
(1)y=-1
1 (2)y= 2

2、用代数式表示图中阴影部分的 面积,并求出a=2.5, r=1,h=1.5时, a 阴影部分的面积(π取3.14).
h 2r

最后我们看一段补充材料

1 x ? 现有两个代数式:3x+1(1) 2 (2)如果随

意给出一个正整数,记为x,那么利用这个正整 数,我们都可以根据代数式(1)或(2)求出 一个对应值。

? 我们约定一个规则:若正整数x为奇数,我们就 根据(1)式求对应值;若正整数x为偶数,我 们就根据 (2)式求对应值。例如根据这种规 则,若取正整数x为18(偶数),则由(2)式 求得对应值为9;而正整数9(奇数),由(1) 式求得对应值为28;同样,正整数28(偶数) 对应14……。那么从某一个正整数出发,不断地 这样对应下去,会是一个什么样的结果呢?

下面我们以正数18为例,不断地做下去,如下图所示, 最后会出现了一个循环:4,2,1,4,2,1,……。

18
20 10

9
40 5

28
13 16

14
26 8

7
52 4

22
17 2

11
34

1 再取一个奇数试试看。比如取x为21,如下图所示,结 果是一样的——仍是一个同样的循环。 21 64 32 16 8 4 2

1

?

大家可以随意再取一

些正整数试一试,结果一 定同样奇妙——最后总是落入4、2、1的“黑洞”。 有人把这个游戏称为“3x+1”问题。 是不是从所有的正整数出发,都落入4、2、1的 “黑洞”而无一例外呢?有人动用计算机,试遍 了从1到 的所有正整数,结果都是成立的。 遗憾的是,这个结论至今还没有人给出数学证 明(因为“验证”得再多,也是有限多个,不可 能把正整数全部“验证”完毕)。这种现象是否 可以推广到整数范围?大家不妨取几个负整数或0 试一试。

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