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24.3正多边形和圆(第1课时)

发布时间:2013-10-20 11:42:25  

问题1,什么样的图形是正多边形? 各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.

问题2,日常生活中,我们经常能看到正多边形的物体,利用正多边形, 我们也可以得到许多美丽的图案,你还能举出一些这样的例子吗?

你知道正多边形与圆的关系吗? 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧, 就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.

我们以圆内接正五边形为例证明. 如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到 正五边形ABCDE.


? ? BC ? CD ? DE ? EA, ? ? ? AB ?
B O

A

∴ AB=BC=CD=DE=EA,

? ? BCE ? CDA ? 3 ? . AB
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,

E

·
D

C

∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD的外接圆.

我们把一个正多边形的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.

中心角

O

·

半径R

边心距r

例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1m2). 360? 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ? 60?,
△OBC是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径. 因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
6

BC 4 ? ? 2, 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 2 2
利用勾股定理,可得边心距 F E O r B P R C

r ? 42 ? 22 ? 2 3.
亭子地基的面积 A D

1 1 S ? lr ? ? 24 ? 2 3 ? 41.6(m 2 ). 2 2

练习 1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?

矩形不是正多边形因为四条边不都相等;

菱形不是正多边形四个角不都相等;

正方形是正多边形.因为四条边都相等,四个角都相等.

2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的 圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.
各边相等的圆内接多边形是正多边形. 多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形, A6 A7 · O A1 A2 A3 A5 A4

且A1A2=A2A3=A3A4=…=An-1An,

An

? ?1 A2 ? ?2 A3 ? ?3 A4 ? ? ? ??1 An ? ?n A1. A A A An A

? ?A3 An ? ?A4 A1 ? ?A5 A2 ? ? ? ? 2 An?1. A2 A3 A4 A1 A

??A1 ? ?A2 ? ?A3 ? ? ? ?An .
∴ 多边形A1A2A3A4…An是正多边形.

3.分别求出半径为R的圆内接正三角形,正方形的边长,边心距和面积. 解:作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB,则OB=R 在Rt△OBD中 边心距=OD= 在Rt△ABD中 ∠OBD=30°, A

1 R. 2
∠BAD=30°, B

O · D C

1 3 AD ? OA ? OD ? R ? R ? R, 2 2

R AD ? AB ? ? 2 ? ? 3R. cos ?BAD cos 30
S? ABC ? 1 1 3 3 3 2 BC ?AD ? ? 3R ? R ? R .

2 2 2 4

AD cos ?BAD ? , AB 3

解:连接OB,OC 作OE⊥BC垂足为E, ∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°

在Rt△OBE中为等腰直角三角形

BE 2 ? OE 2 ? OB2

A
O ·

D

2OE ? OB
2

2

2 2 边心距OE ? OB ? R 2 2 2 边长BC ? 2 BE ? 2 ? R ? 2R 2

OB OE ? 2
2

2

B

E

C

S正方形ABCD ? AB?BC ?

?

2R

?

2

? 2R 2


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