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24.1.2垂直于弦的直径(第二课时)

发布时间:2013-10-20 11:42:27  

24.1.2 垂径定理的应用

复习回顾

垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并 且平分弦所对的两条弧.
题设 (1)直径
结论 (3)平分弦

}{ (4)平分弦所对的优弧 (2)垂直于弦
(5)平分弦所对的劣弧
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。

M

垂径定理
O

A

C
B N

①直线MN过圆心 ②MN⊥AB

③ AC=BC ⌒ ⌒ ④ AM= MB ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB

练习
D

在下列图形中,你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
A
B E A

O

O

C

E

O

A
A

E C

B
C

B

D
O E C B

O
D

A

E D

B

A

E C

B

注意要点
根据垂径定理与推论可知:对于一个圆和一条直 线来说,如果具备: ① ② ③ ④ ⑤ 经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧

那么,由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。

“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.

垂径定理的推论
? 如图,在下列五个条件中:

⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC, ⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
C

A

M└


B O
? ?

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!

D

C

垂径定理及推论
条件
①② ①③ ①④ ①⑤ ②③

A

M└


B O

结论
③④⑤ ②④⑤ ②③⑤ ②③④ ①④⑤

命题
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.

②④
②⑤

①③⑤
①③④

③④
③⑤ ④⑤

①②⑤
①②④ ①②③

一、判断是非: (1)平分弦的直径,平分这条弦所对的弧。 ?

(2)平分弦的直线,必定过圆心。
(3)一条直线平分弦(这条弦不是直径), 那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C ?O B A C

?

?

?O B

(1) B

(2) D

(3) D

(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

?

(5)平分弧的直线,平分这条弧所对的 弦。 ? (6)弦垂直于直径,这条直径就被弦平分。 ?

(7)平分弦的直径垂直于弦 ?
C B ?O A C B C ?O A D A ?O E D (6)

B

(4)

(5)

双基训练 半径 圆心 1.确定一个圆的条件是————和————

2.已知AB=10cm,以AB为直

径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个 3.下列说法中正确的个数是( B) ①.直径是弦 ②.半圆是弧 ③.平分弦的直径垂直于弦 ④.圆是轴对称图形,对称轴是直径 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.下列命题中正确的是( D

)

A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦; C.过弦的中点的直线必过圆心;

D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;

随堂训练 5.如图,在⊙O中,弦AB的

A

E
· O

B

长为8cm,圆心O到AB的距离
为3cm,则⊙O的半径是_____. 6.如图,在⊙O中,CD是直径,

B · O E D A

EA=EB,请些出三个正确的结论
_____________________. C

7、为改善市民生活环境,市建设污水管网工程, 某圆柱型水管截面如图所示,管内水面宽AB=8dm ①若水管截面半径为5dm,则污水的最大深度为 2 _____ dm。 ②若水深1dm,则水管截面半径为____dm. 8.5 弓形问题中:

半径、弦长、弦心距、弓形高
“知二求二”
A

O B

随堂训练 变式:为改善市民生活环境,市建设污水管网工 程,某圆柱型水管截面管内水面宽AB=8dm,截 2或8 面半径为5dm。则水深_________dm.

船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?

船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1

AB ? 7.2, CD ? 2.4, HN ? MN ? 1.5. 2 1 1 AD ? AB ? ? 7.2 ? 3.6, 2 2 OD ? OC ? DC ? R ? 2.4.

在Rt△OAD中,由勾股定理,得

OA2 ? AD2 ? OD 2 , 即R 2 ? 3.62 ? ( R ? 2.4) 2 .
解得 R≈3.9(m). 在Rt△ONH中,由勾股定理,得

OH ? ON 2 ? HN 2 , 即OH ? 3.9 2 ? 1.52 ? 3.6. ?DH ? 3.6 ?1.5 ? 2.1 ? 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.

? 例2 如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为 F,EF=90m.求这段弯路的半径.
?

解:连接OC.
设弯路的半径为Rm, 则OF ? ( R ? 90)m. ? OE ? CD, 1 1 ? CF ? CD ? ? 600 ? 300 (m). 2 2 OC 2 ? CF 2 ? OF 2 ,即 根据勾股定理, 得
R 2 ? 300 2 ? ?R ? 90 ? .
2

C
E F


O

D 解这个方程, 得R ? 545 . ?这段弯路的半径约为 545m.

随堂训练
1.已知P为⊙o内一点,且OP=2cm,如果⊙o 的半径是3cm ,则过P点的最长的弦等于 最短的弦等于_________。
M

.

O

A

P B N

2.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm, 则过P点的最短弦长等于( D ) A.1cm B.2cm C. 5 cm D. 2 5cm
B · O
P B

O


E

D A

C
A

3. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知 AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则两个同心圆的 半径之比为( B) A.3:2 B. 5: 2 C. 5 :2 D.5:4

M

E A

.O
小结:

B
A

. E
C

O
D
B

C A

D B

.O
N

解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线,或 作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定 理创造条件。


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