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24.1.2垂直与弦的直径(第一课时)

发布时间:2013-10-20 11:42:29  

学习目标
知识与技能 1、通过观察实验、理解圆的轴对称性。 2、掌握垂径定理及其推论,理解其证明, 并会用它解决有关的证明与计算问题。 过程与方法 经历探索垂径定理及其推论的过程,进一 步体会和理解研究几何图形的各种方法。 情感、态度与价值观 激发探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

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实践探究

用纸剪一个圆,沿着圆的任意一 条直径对折,重复几次,你发现了 什么?由此你能得到什么结论?
可以发现:圆是轴对称图形,任何 一条直径所在直线都是它的对称轴.

活动二
如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB, 垂足为E. (1)圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?
C

(1)是轴对称图形.直径CD所 在的直线是它的对称轴 (2) 线段: AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧:AC=BC,AD=BD
把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合, ⌒ ⌒ 点A与点B重合,AE与BE重合,AC , AD 分别 ⌒ ⌒ 与 BC 、BD 重合.
A

·
O E B D

⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE=BE,AD=BD ,AC=BC 我们就得到下面的定理:

C

⌒ ⌒ 即直径CD平分弦AB,并且平分AB及ACB

·
O

E

垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧.
我们还可以得到结论:

A D

B

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

这个定理也叫垂径定理,利用这 个定理,你能平分一条弧吗?

判断下列图形,能否使用垂径定理?
B O C A D C

B O A D C
O E D C

B O A D

注意:定理中的两个条件 (直径,垂直于弦)缺一 不可!

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赵洲桥的半径是多少?

问题 :你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的 主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱 高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主 桥拱的半径吗?

你能将上面的实际问题转化为数学问题吗? ⌒ ⌒ 表示主桥拱,设 AB 所在圆的圆心为 如图,用 AB
? B A

O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂 足,OC与AB相交于点C,根据前面的结论,D是 AB ⌒ 的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高.

解:在图中 AB=37.4,CD=7.2, OD=OC-CD=R-7.2
AD ? 1 1 AB ? ? 37 .4 ? 18 .7, 2 2
A R O C D

在Rt△OAD中,由勾股定理,得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+(R-7.2)2

B

解得:R≈27.9(m) 因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

相信自己!
1、半径为4cm的⊙O中,弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距是 2 3cm 。 2.⊙O的直径为10cm,圆心O到弦 AB的距离为3cm,则弦AB的长 是 8cm 。
A O
E

B

O A
E

B

3.半径为2cm的圆中,过半径中点 且垂直于这条半径的弦长

是 2 3cm。 A

O
E

B

A

B

. O
方法归纳:

A

O E C D

.

B

解决有关弦的问题时,经常连接半径; 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线,为 应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。

巩固提高
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆 心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.
解: ?OE ? AB
A E B

1 1 ? AE ? AB ? ? 8 ? 4 2 2
在Rt△AOE中,根据勾股定理可得

O

·

AO2 ? OE 2 ? AE 2

∴ AO ? OE 2 ? AE 2 = 32 +42 =5cm
答:⊙O的半径为5cm.

2.(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角 为 30 °,求弦 AB 的长.

O 6 O A
30°

E

B

M A

B

C (2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分, 交点为 M , 求 弦 AB 的长.

(3).如图,有一圆弧形桥拱,拱形的半径为10米, 桥拱的跨度AB=16米,则拱高为 4 米。

C

A

·
O

D

B

3.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形 ABOE是正方形.
证明: OE ? AC OD ? AB AB ? AC

??OEA ? 90?

?EAD ? 90?

?ODA ? 90?



1 1 ∴四边形ADOE为矩形, AE ? AC,AD ? AB 2 2 C
∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A

E

·
O D B



请围绕以下两个方面小结本节课:




1、从知识上学习了什么?
圆的轴对称性;垂径定理




2、从方法上学习了什么?
(1)垂径定理和勾股定理结合。 (2)在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线

——过圆心作垂直于弦的线段; ——连接半径。

记得给自己一个合理的评价哦!

作业:
第一、二组:
习题24.1 第8、9题

第三组:
教材P82 练习题第1题


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