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相似三角形的判定

发布时间:2013-10-20 13:41:41  

导入
A

A1

B

C

B1

C1

当已知: ∠A =∠A1, ∠B =∠B1, ∠C =∠C1, AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 则△ABC 与△A1B1C1 相似, 记作△ABC ∽ △A1B1C1

=k

时,

这两个风筝图形相似吗???

相似三角形的判定

回顾并思考
定义

判定方法
A 角 A 边S 边 S 斜 角 边H 边 S 角 A 角A 边 S 直 L 角 A 边 S 边S 边 角 S 边

全等 三角 形

三角、三边 对应相等的 两个三角形

相似 三角对应相等, 三角 三边对应成比例 形

的两个三角形

判定三角形相似,也有这么多种方法吗?

探究1
角 A 角A 角 A 角 A 边S 角 A 角 A 角A 边 S

你能证明吗?
角 A 角 A

已知: ∠A =∠A1,∠C =∠C1 . 求证:△ABC∽△A1B1C1. A1
A

B

C

B1

C1

A1
A

B

C B1

C1

已知: ∠A =∠A1,∠C =∠C1 .

有效利用判定定理一去求证

知识要点
判定三角形相似的定理之一

角 A 角 A



如果两个三角形的两个角与另一个 两角对应相等,两三角形相似。 三角形的两个角对应相等,那么这两个 三角形相似。
A

A1
B C

即: 如果 ∠A =∠A1,∠B =∠B1 .

B1

C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.

如果两个三角形有一个内角对应相等, 那么这两个三角形一定相似吗?

一角对应相等的两个三角形不一定相似

3. 下面两组图形中的两个三角形是否相似?为什么?

A
A 30° C

A1

D

B

C1 相似

B1

E 100°

F B 相似

C

探究2
边S 边S 边S

AB BC AC 已知: A B ? B C ? A C . 1 1 1 1 1 1

求证:△ABC∽△A1B1C1. A1
A

B

C

B1

C1

想一想

如图, △ABC中,D为边AB上任 一点,作DE//BC,交边AC于E,

判断 △ABC 与 △ADE 是否相似.
A

相似

D B

E

C

A1
A

D
B C

E

B1

C1

证明:在线段 A1 B1 (或它的延长线)上截 取 A1D ? AB ,过点D作 DE∥B1C1 ,交 A1C1 于点E 根据前面的定理可得 ?A DE∽?A B C .
1 1 1 1



?A1 DE∽?A1 B1C1
A

A1

D
B C B1

E
C1



A1 D DE A1E ? ? A1 B1 B1C1 A1C1

又∵

AB

?

BC

?

AC

AB 1 1

BC 1 1

AC 1 1

又 A1D =A B

DE BC A1 E AC ? , ? ∴ B1C1 B1C1 A1C1 A1C1

∴ DE ? BC, A1E ? AC ∴ ?A1 DE≌?ABC (SSS)



?A1 DE∽?A1 B1C1

∴ ?ABC∽?A1B1C1

知识要点
判定三角形相似的定理之一

边S 边S 边S



如果两个三角形的三组对应边的比 三边对应成比例,两三角形相似。 相等,那么这两个三角形相似。
A

A1
C

看看,书上P59 例4 即:
AB BC AC 如果 A B ? B C ? A C , 1 1 1 1 1 1

B

B1

C1

那么 △ABC∽△A1B1C1.

探究3
边S 角A 边S

AB BC 已知: A B ? B C ? k , 1 1 1 1

∠B =∠B1 . 求证: △ABC∽△A1B1C1. A1
A

B

C

B1

C1

知识要点
判定三角形相似的定理之二

边S 角A 边S



如果两个三角形的两组对应边的比相 两边对应成比例,且夹角相等, 等,并且相应的夹角相等,那么这两个三 角形相似。 两三角形相似。
A

A1
B C

即: 如果

AB BC ? ? k, A1 B1 B1C1

B1

C1

∠B =∠B1 . 那么 △ABC∽△A1B1C1.

例题
D 已知:DE∥BC,EF∥AB. 求证:△ADE∽△EFC. B 解: ∵ DE∥BC,EF∥AB(已知) F

A

E

C

∴∠ADE=∠B=∠EFC (两直线平行,同位角相等)

∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等)
∴ △ADE∽△EFC (两个角分别对应相等的两个三角形相似)

探究4
H L

已知: Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
AB BC ? ? k, A1 B1 B1C1

A

求证:△ABC∽△A1B1C1. A1
你能证明吗?

B

C

B1

C1

知识要点
判定三角形相似的定理之四

H L



如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。
A

A1

即:Rt△ABC 和 Rt△A B C 1 1 1. 如果 AB ? BC ? k ,
A1 B1 B1C1

B

C

B1

C1

那么 △ABC∽△A1B1C1.

课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法:
? 通过定义 (三边对应成比例,三角相等) ? 平行于三角形一边的直线 ? 三边对应成比例(SSS) ? 两边对应成比例且夹角相等(SAS) ? 两角对应相等 (AA) ? 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 (HL)

练习:
? P57 练习1、2 ? P59 练习1、2

小练习
AB BC AC 求证:∠BAD=∠CAE。 ? , 已知: ? AD DE AE

A

AB BC AC ? ? , 解:∵ AD DE AE

E

D ∴ΔABC∽ΔADE C B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE


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