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用函数观点看一元二次方程

发布时间:2013-10-21 08:03:40  

复习

一元二次方程根的情况与b2 -4ac的关系

? 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?有两个不相等的实数根

? b ? b 2 ? 4ac ? x1, 2 ? . 2a 当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?有两个相等的实数根: b ? x1, 2 ? ? . 2a 当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?没有实数根
? 我们把代数式b 2 ? 4ac叫做方程ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?的 根的判别式.用" ?" 来表示.即? ? b 2 ? 4ac.

问题 如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时,

球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气的阻力,球的飞
行h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系:h=20t5t2,考虑以下问题: (1)球的飞行高度能否达到15m?如果能,需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如果能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m?如果能,需要多少飞行时间?

解:(1)解方程 (3)解方程 h 15=20t-5t2 20.5=20t-5t2 t2 -4t+3=0 t2 -4t+4.1=0 t 1 =1, t 2 =3. ∵(-4)2 -4*4.1<0, 当球飞行1s和2s时, ∴方程无实数根 它的高度为15m。 (4)解方程 (2)解方程 0=20t-5t2 20=20t-5t2 t2 -4t=0 t2 -4t+4=0 t 1 =0, t2 =4. t 1 = t 2 =2. 当球飞行0s和4s时, 当球飞行2s时, 它的高度为20m。 它的高度为0m,即0s飞 出,4s时落回地面。

(2、20)

t

?

从以上可以看出, 已知二次函数y的值为m,求相应自变量x的 值,就是求相应一元二次方程的解.

例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解, 例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值. 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是 (x1,0),(x2,0)

观察:下列二次函数的图 y=x2 -6x+9 Y=x2 +x-2 象与x轴有公共点吗?如 果有,公共点横坐标是多 少?当x取公共点的横坐 x 标时,函数的值是多少? 由此,你得出相应的一 元二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1 ?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

y Y=x2 -x+1

(1)设y=0得x2+x-2=0 y x1=1,x2=-2 ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共 -x+1 点,公共点的横坐标分别是1和-2, Y=x2 当x取公共的的横坐标的值时,函 Y=x2 +x-2 数的值为0. (-2、0) (2)设y=0得x2-6x+9=0 x1=x2=3 ∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点, 公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐 标的值时,函数的值为0. (3)设y=0得x2-x+1=0 ∵b2-4ac=(-1)2-4*1*1=-3<0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点

y=x2 -6x+9

(1、0)

x

?

判别式: b2-4ac

二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)
与x轴有两个不 同的交点 (x1,0) (x2,0)
与x轴有唯一个 交点 (? b ,0)

图象

一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
有两个不同的 解x=x1,x=x2

y
O

b2-4ac>0

x y
O

b2-4ac=0

2a

x y

有两个相等的 解 b x1=x2= ?

2a

b2-4ac<0

与x轴没有 交点
O

没有实数根 x

利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实 数根(精确到0.1). y 方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; (-1.3、0)、(2.3、0) (3)得出方程的解. x =-1.3,x =2.3。
1

x

1

2

用你学过的一元二次方程的解法来解, 准确答案是什么?

?

(1)抛物线y ? x ? 2 x ? 3与x轴的交点个数有(     C ).
2

A.0个   B.1个   C. 2个   D. 3个
1 3 (? , ) 顶点坐标为 __________ 2 4 .
2

(2)抛物线y ? m x ? 3 x ? 3m ? m 经过原点, 则其顶点
2 2

(3)关于x的一元二次方程 x ? x ? n ? 0没有实数根, 则
2

抛物线y ? x ? x ? n的顶点在(     A ). A.第一象限    B.第二象限 C.第三象限    D.第四象限

?

2 (4)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则

2 一元二次方程ax+bx+c=0的解是
Y

X1=0,x2=5

.

(5)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是 (C ) A 无交点
C 有两个交点

0

5

X

B 只有一个交点
D不能确定

(6)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相 1 等的实数根,则m=____,此时抛物线 y=x2-2x+m 1 与x轴有____个交点.

(7)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上, 则c=____. 16

(8)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根 是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 (-2、0)(5/3、0) x2+x-10与x轴的交点坐标是____.

(9)根据下列表格的对应值:
x y=ax2+bx+c 3.23 3.24 3.25 0.03 3.26 0.09

-0.06 -0.02

判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的 范围是( C) A 3< X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24

C 3.24 <X< 3.25

D 3.25 <X< 3.26

练习: 1、抛物线y=x2-x+m与x轴有两个交点, 则m的取值范围是 。 2、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等 的实数根,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有 个交点。 3、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为( A、0个 B、1个 C、2个 D、无法确定 )

y

4、已知二次函数y=-x2+2x+k+2 与x轴的公共点有两个, (1)求k的取值范围; (2)当k=1时,求抛物线与 x x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标; (3)观察图象,当x取何值时,y=0,y>0,y<0? (4)在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使 S⊿ABP是S⊿ABC的一半,若存在,求出P点的坐 标,若不存在,请说明理由.

?

5、已知二次函数y=x2-mx-m2 (1)求证:对于任意实数m,该二次函数 的图像与x轴总有公共点; (2)该二次函数的图像与x轴有两个公共 点A、B,且A点坐标为(1、0),

求B点坐 标。

?


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