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2.2整式的加减——合并同类项

发布时间:2013-10-21 08:03:42  

2.2整式的加减——合并同类 项

复习

?单项式: 表示数或字母的乘积的代数式叫单项 式,单独一个数或一个字母也是单项 式。 练习:指出下列单项式的系数和次数: 10x2; -abc; x ; -0.8x2y;0.74m5n ?多项式: 几个单项式的和叫做多项式。 其中每一个单项式叫做项. 如: 项:

? 3x y ? 4 x ? 7 y ? 3xy ? 3
2
2

2

? 3 x y、 4 x、 7 y、? 3xy 2、 ? 3 ? ? 系数: ? 3、 4、 ? 7、 3、 ? 3

对下类水果进行分类:

找一找,看谁找得全!
1.请在下列单项式中找出具有共同特征 的单项式,进行分类.并说说你的理由.

100a

60b

200a

240b
-12

13ab
2

2

27

3ab 2 3 7x y

? 0 .5 y x

3 2

? 9x y

2 3

100a和 200a, 240b和60b, 2 2 2 2 2 2 ? 9 x y 和5 x y 5ab 和 ? 13ab ,
有什么共同点?

议一 议

所含字母 共同点(1)______________相同, (2)__________________相同. 相同字母的指数
像这样的项叫同类项

-12和20呢?

※所有的常数项都是同类项

2.下列各组中的两项是不是同类项?说 明理由。
1)

ab与2ac
2

2) 4) 6)

a bc与ab c
2 2

1 2 3)?8 xy 与 xy ; 2 √
5)

?0.5与9 √
2√ 3

3ab与-ba ; √
abm与abn

3与 7)4

注:同类项与系数无关, 与字母的排列顺序无关。

议一议

怎样判断同类项?

(1)所含字母相同;

1. 同类项有两个相同

(2)相同字母的指数分别相同;
(两者缺一不可)

2.同类项有两个无关 (2)与它们所含相同字母的顺序无关

(1) 与系数大小无关;

3.几个常数项也是同类项.

2、看你会不会
判断下列各组哪些是同类项?

1、2xy 与 -2xy 2、abc 与 ab 3、4ab 与 -7ab2 4、a3与 b3 5、2x2 与 -yx2 y

6、43与 125 7、-2m2 与 0.8n2 n m
8、0.001 与

π

思考

3、填空。
(3)、如果3a x ?1b2与 ? 7a 3b2 y 是同类项,那 么x ? 2 , y ? 1 。

(4)、如果?3x y 与4 x y 是同类项 k ? 2
2 3k 2 6



火眼金睛 2、下列各组是同类项的是( D ) A 2x3与3x2 B 12ax与8bx C x4与a4 D π与-3 3、5x2y 和42ymxn是同类项,则 2 m=______, n=____ 1 4、 –xmy与45ynx3是同类项,则 3 1 m=______, n=______

练习
1、指出下列多项式中的同类项:

( )x ? 2 y ? 1 ? 3 y ? 2 x ? 5 13
1 2 3 2 2 2 (2)x y ? 2 xy ? xy ? yx 3 3 2

我们先看引言中的问题(2). 在西宁到拉萨路段,如果列车通过冻土地段 (速度100千米/小时)的时间是t小时,那么 它通过非冻土地段(速度120千米/小时)的 时间是2.1t小时,则这段铁路的全长(单位:千 米)是 100t+120×2.1t, 即 100t+252t 类比数的运算,我们应如何化简式子 100t+252t呢?

请看下面的问题
如图,建筑工人用两种不同颜色的大理石拼成一个 长方形,并按这种样式铺设地面。请问这个长方形 的总面积怎样表示?(你可以用2种方法来表

示吗?)
100

252

t

t

探究并填空: (1)100t+252t=( 100+252 )t
(2)3x +2
2

2

x

2

=(
2

3+2 =( 3-4

)

x

2

(3) 3ab -4ab

) ab

2

上述运算有什么特点,你能从 中得出什么规律?

+
3

=

+2

=(5)

3 a +2 a =(5)a

把多项式中的同类 项合并成一项,叫做 合并同类项

合并同类项法则: 把同类项的系数相加,所得的结果作 为系数,字母和字母的指数保持不变.
注意:

(1)合并的前提是有同类项. (2)合并指的是系数相加,”相加”指的是代数和.

合并同类项与单位量的加减法类似 如: 6克 + 7克 = 13克 3 a 2b + 5 a 2b =8 a2b

合并下列各式的同类项:
8x 5x+3x= _____ -11x -3x-8x= _____ -xy 6xy-7xy= _____

ab+ba= _____ 2ab

4(a ? b) 整体思想 (a ? b) ? (a ? b) ? _______ 3

尝试练习
1.完成课本65页练习1

2.下列各题的合并结果是否正确?指出 错误的地方. (1)3x+3y=6xy (×) (2)7x-5x=2x2 (×) (×) (3)16y2-7y2=9 (4)19a2b-9a2b=10a2b (√)
问题(1)合并同类项实际上是合并什么?

——系数相加减
(2)字母和字母的指数有何变化?

——不改变

下列各题合并同类项的结果对不 对?若不对,请改正。 (1)、2 x ? 3x ? 5x ? =5x2
2 2 4

? ?

(2)、3x ? 2 y ? 5 xy ?

3x与2y不是同类 项,不能合并。

? 3x ? 4 ? =4x2 (4)、9a 2 b ? 9ba2 ? 0 ? ?
(3)、 x 2 7
2

?

我思,我进步2

找出多项式中的同类项并合并: 4x2+2x+7+3x-8x2-2 __ __
﹌ ﹌

=4x2-8x2+2x+3x+7-2

(交换律)

=(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2)(结合律) =(4-8)x2+(2+3)x+(7-2) =-4x2+5x+5 (分配律)

在合并同类项时结果往往是一个多项式,通 常把这个结果写成按某一个字母的升幂或降 幂的形式排列: 升幂排列:按照某字母的指数从小到大的 顺序排列 降幂排列:按照某字母的指数从大到小的 顺序排列 练习
1.把下列多项式按照升幂排列,然后再按照降幂 排列 (1) 5a2+4-2a (2) x2-x4+2-5x

示例:合并同类项

1 3 2 3 2 3 m ? 3m n ? m ? 3nm ? 7 ? 2m 2

解:原式=

1 3 2 = ( ? 1 ? 2)m ? (?3 ? 3)m n ? 7 2 并 3 2 ? m ?7 2

1 3 3 3 2 2 ( m ? m ? 2m ) ? (?3m n ? 3m n) ? 7 2 移

例、合并下列多项式中的同类项。 (1)

1 2 2a b ? 3a b ? a b 2
2 2

(2) 3 (3)

a ? a b ? ab ? a b ? ab ? b
2 2 2 2

3

6a ? 5b ? 2ab ? 5b ? 6a
2 2 2

2

例、合并下列多项式中的同类项。 方法是:(1)系数:各项系 1 2 2 2 (1) 2a b ? 3a b ? a b 数相加作为新的系数。(2)字 3 2 2 2 2 2 3 ? a b ? ab ? a b ? ab ? b (2) a 母以及字母的指数不变。 2 2 2 2 (3) 6a ? 5b ? 2ab ? 5b ? 6a 1 2 1 2 解:(1)原式= ( 2 ? 3 ? ) a b ? ? a b 2 2 找出 3 2 2 2 2 3 (2) a ? a b ? ab ? a b ? ab ? b 3 2 2 2 2 3 ? a ? (? a b ? a b) ? (ab ? ab ) ? b 结



? a ? (?1 ? 1)a b ? (1 ? 1)ab ? b 3 3 合并 ? a ?b 思考:合并同类项的步骤是怎样?
3 2 2 3

评析: ①初学同类项合并,可把各组同 类项分别做标记,以免漏项 ②合并同类项时,要防止漏掉了没 有同类项的项

③若两个同类项的系数互为相反数, 合并后的结果为0

思维拓展

5 xy ) ? 7 xy 1. 2 xy ? ( 2 2 2 2 . ? a b ? ( ? 2a b ) ? a b 2 2 2 3 . m ? m ? ( 2m ) ? ( ? 3m ? 3m ? 2m )
4.若3x+ax+y-6y合并同类项后,不含x 项,则a的值 ( B )

A.2

B.-3

C.0

D.-1

【拓展提高】
? 化简下列各式:

(1)3x-2y+1+3y-2x-5;

1 2 3 2 (2)3x y ? 2 xy ? xy ? yx . 3 2
2 2

练一练

(1)x的4倍与x的2.5倍的和是多少?

解:4x+2.5x=(4+2.5)x=6.5x
(2)x的3倍比x的二分之一大多少? 解:3x-0.5x=(3-0.5)x=2.5x

登高望远

1.合并同类项:

5?a ? b? ? 4?a ? b? ?10?a ? b? ;
2.已知

1 2 2m 与 2 2n 8 x y x y 3 2

是同类项,求合并后的单项式.

课堂小结
同类项
定 义

字母 相同字母 (1) 所含_____,并且 ______ 次数 的______ 也 相同的项, 叫做同类项。
同类项 (2) 几个常数项也_______。

同类项

判定方法

相同 (1)字母_____
(2)相同字母指数也 分

系数大小 相同 别_____。与______ 字母顺序 无关,与________ 无关。 法则
(1)同类项的系数 ______________相加 作为结果的系数。 (2)字母与字母的

合并同类项

指数 _____不变。

例2、求多项式3x ? 4 x ? 2 x ? x ? x ? 3x ? 1 的值,其中 x ? ?3.
2 2 2

解:当 x ? ?3 时 2 2 2 2 解: x ?4 x ?2 x ? x ? x ?3x ? 1 3 2 原式? 3 ? ( ?3) ? 4 ? ( ?3) ? 2 ? ( ?3) 2 2 2 ? 3x ? 2 x ? x ? 4 x ? x ? 3x ? 1 2 ? ( ?3) ? ( ?3) ? 3 ? ( ?3) ? 1 ? (3 ? 2 ? 1) x 2 ? (4 ? 1 ? 3) x ? 1 ? 3 ? 9 ? 12 ? 2 ? 9 ? 3 ? 9 ? 9 ? 1 ? 2 x2 ? 1 ? 27 ? 12 ? 18 ? 3 ? 9 ? 9 ? 1 当 x ? ?3 时, ? 17 2 原式 ? 2 ? ( ?3) ? 1 ? 17.

求多项式的值,常常先合并同 你通过求值发现了什么?怎样更简捷的求值呢?
类项,再求值,这样比较方便。

(1)求多 项式
2 2 2

2x - 5x ? x ? 4 x - 3x - 2 的值 , 1 其中 x ? ; 2

(2)求 项 多 式 1 2 1 2 3a ? abc - c - 3a ? c 的 , 值 3 3 1 其 a ? ? , b ? 2, c ? ?3. 中 6

求下列多项式的值。 2 2 2 (1) 7 x ? 3x ? 2 x ? 2 x ? 5 ? 6 x, 其中 x ? ?2. (2) 5a ? 2b ? 3b ? 4a ? 1. 其中a ? ?1, b ? 2.
(3) 2 x 2 ? 3xy ?

y ? 2 xy ? 2 x ? 5xy ? 2 y ? 1.
2 2

22 其中 x ? , y ? ?1. 7 2 2 ((1))解::原式 ? 2(5??4?a ?x 2?? ? 52xy ? 2 x ? 15 32解: 原 原式 ? () x ?3y) ? (?( ?2 (? ))b ? 1y ? ) 解 式 ? (2 ? 7 2) 3 2 ? 3 ? 6)
? y 2? a y ?b ? 1 ?2 ? 1 2 ? 2x 4x ? 5 22

当x ? ? ?y 时,1时, 时, 当a , 2?b ? 2 x 7 1, ? 原式(?1)?1 ??2?11?14 ? (?2) ? 5 ? 5 ? 2 ? 2 ? (? 2) ? 0 4 原式 ? 2 ? ( 2 ) ? ? 原 ? 式

例3 (1)水库中水位第一天连续下降了a小时, 每小时平均下降2㎝;第二天连续上升了a小时, 每小时平均上升0.5㎝,这两天水位总的变化情况 如何? (2)某商店原有5袋大米,每袋大米为x千克。上 午卖出3袋,下午又购进同样包装的大米4袋。进 货后这个商店有大米多少千克? 解:(1)-2a+0.5a=(-2+0.5)a=-1.5a(㎝) 答:这两天水位总的变化情况为下降了 1.5a㎝ (2)把进货的数量记为正,售出的数量记为负。 进货后这个商店共有大米 5x-3x+4x=(5-3+4)x=6x (千克)

有这样一道题: 当a=0.35,b=-0.28时,求多项式的值: a3b+2a3-2a2b+3a3b+2a2b-2a3 - 4a3b 有一位同学指出:题目中给出的条件 a=0.35,b=-0.28是多余的.他的说法 有没有道理? 解:化简后,原多项式为零.因而,不论式中 的字母a、b取什么值时,多项式的值都 是0。


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