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实际问题与二次函数1

发布时间:2013-10-21 08:03:43  

实际问题与二次函数

二次函数的三种解析式
1.一般式y=ax2+bx+c (a≠0) 2.顶点式y=a(x-h)2+k (a≠0) 3.双根式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

已知抛物线的对称轴为y轴,且过

(2,0),(0,2),求抛物线的解析式
解:设抛物线的解析式为y=ax2+c(a≠0)

因为抛物线过(2,0),(0,2)
所以 c=2 4a+c=0 a=-0.5 c=2

解析式为:y=-0.5x2+2

一、根据已知函数的表达式解 决实际问题:

活动一:一抛物线型拱桥,建立了如图所示的直 角坐标系后,抛物线的表达式为: y=-1/25x2+16 (1)拱桥的跨度是多少? (2) 拱桥最高点离水面几米? (3) 一货船高为12米,货船宽至少小于多少米时, 才能安全通过?
解:(1) 令-1/25x2+16=0,解得X1=20,X2=-20, A(-20,0) B(20,0)︱AB︳=40,即拱桥的跨 度为40米。 (2)令x=0,得y=16, A y C

-10

o

10

B x

即拱桥最高点离地面16米 (3)令-1/25x2+16=12,解得X1=-10,X2 =10,
︱x1-x2︳=20.即货船宽应小于20米时,货船才能安全 通过。

二、根据实际问题建立函数的表 达式解决实际问题

探究活动:

一座拱桥的示意图如图,当水面宽4m时,桥洞顶部离水 面2m。已知桥洞的拱形是抛物线,(1)求该抛物线的 函数解析式。(2)若水面下降1米,水面宽增加多少米?
你认为首先要做的工作是什么? 首先要建立适当的平面直角坐标系
解法一:(1)以水面AB所在的直线为x 轴,以AB的垂直平分线为y轴建立平面直 (-2,0)A 角坐标系。 C 设抛物线的解析式为:y=ax2+c(a≠0) 抛物线过(2,0),(0,2)点
4a+c=0 c=2 a=-0.5 即解析式为:y=-0.5x2+2 c=2

y M(0,2) 1m o B (2,0)x D

M
2m

(2)水面下降1米,即当y=-1时 -0.5x2+2=-1 解得x1=-√6 x2=√6 CD=︱x1-x2︳=2√6 水面宽增加 CD-AB=(2√6-4)米

A

4m

B

解法二:(1)以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为 y轴建立直角坐标系。设二次函数的解析式为y=ax2(a≠0) y 抛物线经过点(2,-2),可得,a=-0.5

抛物线的解析式为:y=-0.5x2
(2)水面下降1米,即当y=-3时 -0.5x2=-3 解得x1=-√6 x2=√6 CD=︱x1-x2︳=2√6 水面宽增加AB-CD=(2√6-4)米

0

x A(-2,-2) 1m B(2,-2) (X2,-3) D C (X1,-3)
h

平面直角坐标系建立的不同,所得的抛物线的解析 式相同吗? 最终的解题结果一样 哪一种取法求得的函数解析式最简单?

活动四:试一试 如图所示,有一座抛物线型拱桥,在正常水位 AB时,水面宽20米,水位上升3米,就达到警戒 线CD,这时水面宽为10米。

(1)求抛物线型拱桥的解析式。
(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2米的速 度上升,从警戒线开始, 在持续多少小时才能达 到拱桥顶? (3)若正常水位时,有一艘 宽8米,高2.5米的小船 A
C D

20m

B

练一练:

如图是某公园一圆形

喷水池,水流在各方向沿形

状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系,如果喷头所在 处A(0,1.25),水流路线最高处B(1,2.25),求该抛物线 的解析式。如果不考虑其他因素,那么水池的半径至少要多少 y= 米,才能使喷出的水流不致落到池外。 -(x-1)2 +2.25
Y

2.5

.B(1,2.25)
(0,1.25) A
O x

谈谈你的学习体会
实际问题 解题步骤: 1、分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形。 抽象 转化 数学问题 运用 数学知识 问题的解决

2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。
3、选用适当的解析式求解。 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。

课外作业:

完成练习篇子。


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