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初二几何证明一(线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质)

发布时间:2013-10-21 10:00:55  

直角三角形的有关结论:

性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。

性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。

性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理:

定理:线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的直平分线上.

2、 角平分线的性质定理及其逆定理:

定理:在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.

逆定理:在一个角的内部(包括顶点)且到这个角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.

BAMPCNBE

OP

DAC

1、 等腰三角形的性质

等边对等角:等腰三角形的两个底角相等。 三线合一:等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合 证明以下推论:

等腰三角形的两底角的平分线相等;

两条腰上的中线相等;

两条腰上的高相等。

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

4、 等腰三角形的判定:

等角对等边:有两个角相等的三角形是等腰三角形

(1) 两点之间线段最短;

(2) 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

(3) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;

(4) 同位角相等,两直线平行; (5)两直线平行,同位角相等。

★ 课前热身

1、锐角∠A的三角函数(按右图Rt△ABC填空)

∠A的正弦:sinA = ,

∠A的余弦:cosA = ,

∠A的正切:tanA = ,

∠A的余切:cotA =

2、锐角三角函数值,都是 实数(正、负或者0);

3、正弦、余弦值的大小范围: <sin A< ; <cos A<

4、tan A?cotA = ; tan B?cotB = ;

5、sinA = cos(90°- ); cosA = sin( - )

tanA =cot( ); cotA =

6、填表

7、在Rt△ABC中,∠C=90゜,AB=c,BC=a,AC=b,

1)、三边关系(勾股定理):

2)、锐角间的关系:∠ +∠ = 90°

3)、边角间的关系:sinA ; sinB ;

cosA = ; cosB= ;

tanA = ; tanB = ;

cotA = ;cotB =

9、(1)坡度(或坡比)是坡面的 高度(h)和 长度(l)的比。

记作i,即i = ;

(2)坡角——坡面与水平面的夹角。记作α,有i==tanα

(3)坡度与坡角的关系:坡度越大,坡角α就越 ,坡面就越

(3)、解直角三角形

1、在△ABC中,?C?900,如果a?3,b?4,求?A的四个三角函数值. 解:(1)∵ a 2+b 2=c 2

∴ c =

∴sinA = cosA =

∴tanA = cotA = hl

2、在Rt△ABC中,∠C=90°,由下列条件解直角三角形:

(1)已知a=4,b=2,则c= ;

(2)已知a=10,c=102,则∠B= ;

b?______; 3、若∠A = 30?,c?10,则a?_____,

4、在下列图中填写各直角三角形中字母的值.

1、已知:如图,∠ABC,∠ACB的平分线交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E。求证:BD+EC=DE。

2、已知:如图所示△ABC,∠ACB=90°,D为BC延长线上一点,E是AB上一点,EM垂直平分BD,M为垂足,DE交AC于F,求证:E在AF的垂直平分线上.

BMCEFA

3、如图,已知:CD、CE分别是AB边上的高和中线,且?ACE??ECD??DCB。求证:?ACB?90o

A

4、如图,已知:在?ABC中,?C?90o,?A?30o,DE垂直平分AB,FM垂直平分AD,GN垂直平分BD。求证:AF=FG=BG。

AFE

★ 例题精讲

例1、 如图,已知:在△ABC,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,EF⊥AB于F,且CE=EF。 求证:FG//AC

AFDB

例2、如图,在?ABC中,OE、OF分别是AB、AC边的垂直平分线,?OBC,?OCB的平分线相交于点I,判断OI与BC的位置关系,并证明你的判断。

例3:如图,已知:?BAC与?CBF的平分线相交于P,联结CP,分别过点B、C作PC、PB的垂线交AC、AB的延长线于E、F,G、H为垂足。

求证:BF=CE

B

B

例4、 △ABC中,AB=AC,BD、CE为角平分线,AH⊥CE于F交BC于H,AG⊥BD于G.

求证(1)AC=CH (2)AF=AG.

例6、△ABC中,

AB=AC,D在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,DE交BC于P,求证:DP=EP.

例7、如图14-75所示,已知点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,且OD∥AB,OE∥AC.

(1)图形中共有哪几个等腰三角形?选一者证明之;

(2)试说明△ODE的周长与BC的关系;

(3)若BC=12cm,则△ODE的周长 .

★ 课后练习

1、 如图,C是线段AB上的一点,△ACD和△BCE是等边三角形,AE交CD于M,BD交CE于N,交AE于O。求证:(1)∠AOB=120°;

(2)CM=CN;

(3)MN∥AB。

2、 如图14-73所示,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,若CE=3cm,求BE的长

.

3、如图14-74所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线分别与BC,AB交于M,N.求证MB=2AC.

5、如图14-86所示,在梯形ABCD中,AB=AD,AD∥BC,∠A=100°,试求∠DBC的度数.

6、 如图14-97所示,CE是△ABC的角平分线,过点E画BC的平行线,交AC于点D,交外角∠ACG的平分线于点F.试证明DE=DF.

7、 AD为△ABC的角平分线,M为BC中点,ME∥AD交BA延长线于E,

交AC于F.求证BE=CF=1

2(AB+AC)。

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