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角平分线

发布时间:2013-09-18 11:55:54  

§1.4.1 角平分线

教学目标

1、 能够证明角平分线的性质定理、判定定理

2、 能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 教学重点和难点

重点:角平分线的性质定理、判定定理

难点:利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 教学方法 观察实践法,分组讨论法,讲练结合法,自主探究法 教学手段 多媒体课件 教学过程设计

一、 从学生原有的认知结构提出问题

以前我们曾研究过角平分线上的一些性质,这节课,我们通过证明,得出它的性质,应用这个两个定理解决一些几何问题。

二、 师生共同研究形成概念

1、 书本引例

☆ 想一想 书本P 31 上面

学生已经探索过角平分线的性质,此处可先让学生回顾这一性质及其探索过程,并尝试证明。

2、 角平分线的性质

1) 点到直线的距离:这点向直线引垂线,这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。 2) 角平分线性质定理

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

3) 符号语言 ∴ PD = PE

P

A

B

∵ 点P在∠AOB的角平分线上,PE⊥OA,PD⊥OB

3、 角平分线的判定

1) 猜想 想一想 书本P 31 中间

O

A

学习线段的垂直平分线时,学生已经历了构造其逆命题的过程,因此学生容易类比着来构造角平分线性质定理的逆命题。 2) 定理

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上 3) 符号语言

∵ PE⊥OA,PD⊥OB,且PD = PE ∴ 点P在∠AOB的角平分线上

O

A

A

4、 讲解例题

例1

如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于O,且∠1 =∠2。

求证:OB = OC。

分析:要证OB = OC,只需要证明Rt△BOD≌Rt△COE,为此,还需要证明OD = OE,可直接用角平分线性质定理证得。

B

C

例2 如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于O,且OB = OC。 求证:∠1 =∠2。

分析:要证OB = OC,只需要证明Rt△BOD≌Rt△COE,为此,还需要证明OD = OE,可直接用角平分线性质定理证得。 例3

如图,AB = AC,DE为△ABC的AB边的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E。 求证:BE + EC = AB。

分析:此题要运用到线段的垂直平分线的性质,引导学生把线段等量代换。 例4

a) 已知CD = 4cm,求AC的长; b) 求证:AB = AC + CD。

分析:此题较难,但通过上面的分散难点的例题,降低了难度。

☆ 读一读 书本P 33 读一读 学字的探索精神。

A

B

C

EC

如图,在△ABC中,AC = BC,∠C = 90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E。

A

目的是使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三大几何难题”,开阔他们的视野,体会数

三、 随堂练习

1、 如图,E是线段AC上的一点,AB⊥EB于B,AD⊥ED于D,且∠1 =∠2,CB = CD。

求证:∠3 =∠4。

2、 如图,在△ABC中,BE⊥AC,AD⊥BC,AD、BE相交于点P,AE = BD。求证:P在∠ACB的角平分

线上。

3、 如图,E为AB边上的一点,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,∠1 =∠C,DE = EC。求证:DA + CB = AB。

B

A

D

C

A

P

B

CA

E

B

4、 《练习册》 P 8

四、 小结

角平分线的尺规作法。

五、 作业

书本 P 34 习题1.8 3

六、 教学后记

§1.4.2 角平分线

教学目标

1、 进一步发展学生的推理证明意识和能力

2、 能够利用尺规作已知角的平分线

教学重点和难点

重点:角平分线的相关结论

难点:角平分线的相关结论的应用

教学方法 观察实践法,分组讨论法,讲练结合法,自主探究法

教学手段 多媒体课件

教学过程设计

一、 从学生原有的认知结构提出问题

在学习线段的垂直平分线时,我们发现,三角形三边的垂直平分线交于一个点。我们看看,三角形的三条角平分线有什么性质。

B

二、 师生共同研究形成概念

1、 用尺规作角的平分线

1) 以你现在的能力作出一个角的角平分线

2) ☆ 做一做 书本P 32 做一做

线是角的平分线的理由。

3) 作角平分线的方法:有量角器度量;用三角板作;用尺规作图法作。 PDAO与其他尺规作图一样,这里要求学生会写出“已知”、“求作”、

“作法”2、 讲解例题

例1

用尺规作图法作下列各个角的平分线。 分析:这四个图都很有代表性,让学生通过不同的角,深化作角平分线的方法。 BOAB

例2

如图,求作一点P,使PC = PD,并且点P到∠AOB两边的距离相等。 分析:这是一条综合题,两种重要作图都要运用到。

3、 例题讲解

例3

作一个三角形三个内角的平分线。 分析:此例比较复杂,让学生细心一点作出图形。作出图形后让学生尝试归纳定理。 AMF4、 角平分线的相关推论

1) 归纳总结

通过上面的作图,让学生自己归纳总结结论。

2) 定理

三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等

3) 符号语言

∵ 点P是△ABC的三条角平分线的交点,且PE⊥BC,PF⊥AC,PD⊥AB

∴ PD = PE = PF

4) 证明

此处内容的引入与前面探讨三角形三边的垂直平分线的位置关系相似,在证明结论时,可引导学生类比三角形三边垂直平分线的位置关系的证明思路和方法进行思考。 B三、 随堂练习

1、 书本 P 33 随堂练习 2

2、 《练习册》 P 8

四、 小结

角平分线的作法。

五、 作业

书本 P 37 习题1.9 1

六、 教学后记

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