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初三数学练习(因式分解的常用方法)

发布时间:2013-10-21 13:42:28  

1. 计算:

(1)(

(4)(3?25)2 (5)((

(7

(9)

1

5?2)? (2)(3?)(2?) (3)(3?2)?(3?2), 121227?24?3)?, (6)(2?)(2?3) 33?1?????2??1, (8)??(??1)0?62, a2b)-(3abab2+9ab)(a>0,b>0)(10)(aanabnmn?mn?)?a2b2 mmmnm

因式分解的常用方法

第一部分:方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.

一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:

2222(1)(a+b)(a-b) = a-b---------a-b=(a+b)(a-b);

222222(2)(a±b)=a±2ab+b ———a±2ab+b=(a±b);

2222(3)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c);

三、分组分解法.

(一)分组后能直接提公因式

例1、分解因式:am?an?bm?bn

分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。

解:原式=(am?an)?(bm?bn)

=a(m?n)?b(m?n)

=(m?n)(a?b)

例2、分解因式:2ax?10ay?5by?bx

解:原式=(2ax?10ay)?(5by?bx)=(2ax?bx)?(?10ay?5by)

=2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b)

=(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y)

练习:分解因式1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

(二)分组后能直接运用公式

例3、分解因式:x?y?ax?ay

分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。

解:原式=(x?y)?(ax?ay)

=(x?y)(x?y)?a(x?y)=(x?y)(x?y?a)

例4、分解因式:a2?2ab?b2?c2

解:原式=(a?2ab?b)?c

=(a?b)?c =(a?b?c)(a?b?c)

22222练习:分解因式3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz

2

222222222

综合练习:(1)x?xy?xy?y

(2)ax2?bx2?bx?ax?a?b

222(3)x?6xy?9y?16a?8a?1

(4)a2?6ab?12b?9b2?4a

(5)a4?2a3?a2?9

2222(6)4ax?4ay?bx?by

22(7)x?2xy?xz?yz?y

(8)a2?2a?b2?2b?2ab?1

(9)y(y?2)?(m?1)(m?1)

(10)(a?c)(a?c)?b(b?2a)

四、十字相乘法.

(一)二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。

特点:(1)二次项系数是1;

(2)常数项是两个数的乘积;

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。

思考:十字相乘有什么基本规律?

例5、分解因式:x2?5x?6

分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。 1 2

2解:x2?5x?6=x?(2?3)x?2?3 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式:x2?7x?6

解:原式=x?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1

=(x?1)(x?6)

(-1)+(-6)= -7

练习5、分解因式(1)x2?14x?24 (2)a2?15a?36 (3)x2?4x?5

2练习6、分解因式(1)x2?x?2 (2)y?2y?15 (3)x2?10x?24

3

223223

经典一:

一、填空题

1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式: m-4m= .

3.分解因式: x-4y= _______.

2?x?4x?4=_________________。 4、分解因式:223

5.将x-yn分解因式的结果为(x+y)(x+y)(x-y),则n的值为 . n22

6、若x?y?5,xy?6,则xy?xy=_________,2x?2y=__________。

二、选择题

7、多项式15mn?5mn?20mn的公因式是( )

A、5mn B、5mn C、5mn D、5mn

8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是( ) 2223222322222

a?3??a?3??a2?9a2?b2??a?b??a?b??A、 B、

3??m2?2m?3?m?m?2??a?4a?5?a?a?4??5m? ?C、 D、2

10.下列多项式能分解因式的是()

22222(A)x-y (B)x+1 (C)x+y+y (D)x-4x+4

211.把(x-y)-(y-x)分解因式为( )

A.(x-y)(x-y-1) B.(y-x)(x-y-1)

C.(y-x)(y-x-1) D.(y-x)(y-x+1)

12.下列各个分解因式中正确的是( )

222A.10abc+6ac+2ac=2ac(5b+3c)

222B.(a-b)-(b-a)=(a-b)(a-b+1)

C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)

2D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)=(a-2b)(11b-2a)

213.若k-12xy+9x是一个完全平方式,那么k应为( )

22 A.2 B.4 C.2y D.4y

三、把下列各式分解因式:

m?m?n??n?n?m? 14、nx?ny 15、4m?9n 16、 22

17、a?2ab?ab 18、322?x2?4??16x22229(m?n)?16(m?n) 19、;

4

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