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初中数学 2013北师大版 第四章 函数 4.1函数

发布时间:2013-10-22 08:03:11  

新课引入
“万物皆变“——气温随海拔而变化;弹簧的 长度随所挂物体的质量而变化;运动中物体移动的距 离随着时间而变化……这种变化随另一个量的变化而 变化的现象大量存在。

为了更深刻的认识千变万化的世界,人们归纳总 结出一个重要的数学工具——函数,用它描述变化中 的数量关系。那什么是函数?

复习 常量与变量的概念:
常量:在某一变化过程中,始终保持不 变的量.
变量:在某一变化过程中,可以取不同 数值的量. 变量一般用字母来表示。eg:x,y

注意:并不是所有的字母都表示变量。eg: pi ,它是常量。

复习

自变量与因变量的定义:
自变量:自动变化的量 因变量: 随自变量的变化而变化的量。
注意:自变量和因变量是相对而言的,同时 存在的。因变量是随着自变量的变化而变化的。 找出下面的各个式子中的自变量和因变量。

S=60t
t是自变量, S是因变量

y=10x
x是自变量, y是因变量

S ?a

2

C ? 2? r
r是自变量, C是因变量

a是自变量, S是因变量

三、课程讲授

探索研究1

你坐过摩天轮吗?你坐在摩天轮上时,随着时间的变化, 你离开地面的高度是如何变化的?请你谈一谈自己的感 受。

如果你坐 在摩天轮上, 随着时间的 变化,你离 开地面的高 度是如何变 化的?

例1 右图反 映了旋转时间 t(分)与摩天轮 上的一点的高 度h (米)之间 的关系。

根据图象填表:

t/分 h/米

0

3

1 10

2

3

4

5

37

45

37

10

…… ……

2 图中有几个变量?它们之间有什么关系? 变量h随着时间t的变化而变化,确定而确定. 对于给定时间t ,高度h有唯一一个值与其对应.

例2 一定质量的气体在体积不变时,假若 温度降低到-273℃,则气体的压强为零.因 此,物理学把-273℃作为热力学温度的零 度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间 有如下数量关系:T=t+273,T≥0. (1)当t分别等于-43,-27,0,18时,相应 的热力学温度T是多少? 220k, 246k, 273k, 291k (2)给定一个大于-273 ℃的t值,你能求出 相应的T值吗? 能
即:热力学温度T随着摄氏温度t的变化而变化,确定而确定 对于给定摄氏温度t,只有唯一一个热力学温度T与其对应

例3 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体,常常如下图这样堆放。 随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?

1

3

6

10

15

表中有几个变量?它们之间有什么关系? 两个变量 物体总数y随着层数n的变化而变化,确定而确定 对于给定层数n,只有唯一一个物体总数y与其对应

以上3个问题有什么共同点吗?
在上面的问题中,都有两个变量,一个变 量(自变量)的变化,另一个变量(因变量)也跟着 变化;给定其中一个变量(自变量)的值

,相应 地就唯一确定了另一个变量(因变量)的值. 要点:两个变量;变化而变化;确定而确定 定义: 一般地,在某个变化过程中,有两个

变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确 定了唯一一个y值,那么我们称y是x的函数, 其中x是自变量,y是因变量. 关键词:两个变量 ,一个x值确定唯一一个 y值

函数的表示方法
①图象法:如右图

h(米)

横坐标表示自变量,纵坐标表示因变量

②列表法:如下表

图1

t(分)

1

3

6

10

15

自变量写在第一行,因变量写在第二行 ③解析式法(关系式法):如

T=t+273,T≥0
自变量在右边,因变量在左边。

273数值是一直 不变的,而T和t是 一直变化的

小试牛刀 1、下列关系中,y不是x函数的是( D )

x A. y ? 2
y

B. y ? x
y x

2

C . y ? x D. y ? x
y x x y x

2. 下列曲线中不能表示y是x的函数是(D )

A

B

C

D

点拨:判断是不是函数关系,自变量x的值和因变量
y的值满足:一对一,多对一。(一对多则不行)

3.下列各式中,x都是自变量,则y是不是x的函数,为什么?

1. y ? x ? 3 2.y =x +3
2

3.y 2 =x +3

因为x,y都是变量 是。 一个x的值唯一确定了一个y值 因为x,y都是变量,一个x的值 不是。 没有唯一确定一个y值

因为x,y都是变量,一个 是。 x的值唯一确定了一个y值 5 y?? x 4、在5x+2y=0中,把 y 表示成x的函数为 2 ,其中常
5 量是 - 2 变量是x

? x ? x ? 0? ? 4.y = ? ?- x ? x<0 ? ?

, y ;当x=4时函数值为 -10 ;当x

为 -12 时,函数值y为30。
2 4.对于第3题,可以把x表示成y的函数吗? x ? ? y 5

补充知识点:
当x=3时下列各式的y值为多少?

?1? y ?

x ?1

y? 2

1 ? 2? y ? x y=1 3 1 ? 3? y ? y=1 4? x 在自变量的取值范围内,当自变量时x=a时,y=b, 那么b叫做自变量的值为a时的函数值。 点拨: 在一般的函数关系中自变量的取值范围的两种特殊情况: (1)函数关系式为分式形式:分母≠0; (2)函数关系式含算术平方根:被开方数≥0; 补充:函数是实际应用的,根据实际情况;比如时间t≥0

以上各式对自变 量x有什么特殊的 要求吗?

小结
1、函数

关键词:两个变量 ,一个x值唯一确定一个y值
判断函数的方法:满足一对一,多对一

(一对多则不是函数)
2、函数的表示法:可以用三种方法 3、函数值

①图象法、 ②列表法、 ③解析式法(关系式法)

4、自变量的取值范围

一辆汽车的油箱中现有汽油 50L,如果不再 加油,那么油箱中的余油量y(单 位:L) 随行驶路程x(单位:km)的增加而减少, 平均耗油量为0.1L/km。 (1)写出表示y与x的函数关系式。

解:函数关系式为: y = 50-0.1x
(2)指出自变

量取值范围。

解:

自变量的取证范围是: 0 ≤ x ≤ 500

(3)汽车行驶200千米时,油箱中还有多少汽油 ?

解:当x=200时,y=50-0.1×200=30.


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