haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

三角形开放题

发布时间:2013-10-22 08:03:14  

1.如图,在△ABC中,?C?2?B,D是BC上的一点,且AD?AB,点E是BD的中点,连结AE. (1)求证:?AEC??C (2)求证:BD?2AC

(3)若AE?6.5,AD?5,那么△ABE的周长是

2.已知:如图,△ABC中,?ABC?45°,CD?AB于D,BE平分?ABC,且B与CD相E?AC于E,

交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.

(1)求证:BF?AC; (2)求证:CE?

3.点O是等边△ABC内一点,

?AOB?110?,?BOC??.将△BOC绕点C按顺

时针方向旋转60得△ADC,连接OD. (1)求证:△COD是等边三角形;

(2)当??150时,试判断△AOD的形状,说明理由; (3)探究:当?为多少度时,△AOD是等腰三角形?

A

D

110?

C B

4.如图,△ABC中,?ACB?90°,将△ABC沿着一条直线折叠后,使点A与点C重合(图②).

(1)在图①中画出折痕所在的直线l.设直线l与

连结CD.(尺规作图,AB,AC分别相交于点D,E,

不写画法)

(2)请你找出完成问题(1)后所得到的图形中的等腰三角形.(不要求证明)

折叠后

A

?

?

1

BF; 2

(3)CE与BG的大小关系如何?试证明你的结论.

A

D

E

B C H

B

5.如图1,已知△ABC中,AB?BC?1,∠ABC?90?,把一块含30?角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.

(1)在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N.

①证明DM?DN;

②在这一旋转过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的?若不发生变化,求出其面积;

(2)继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM?DN是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

(3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM?DN是否仍然成立?请写出结论,不用证明. F

E

图2

图3

6. 已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.

当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证S△DEF?S△CEF?1S△ABC.当∠EDF绕D点旋转到DE2

S△CEF,S△DEF,和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,

S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.

A A E D E D C F 图2 B 图3 F F 图1

B 2

7. 已知△ABC中,AB?AC,D、E是BC边上的点,将△ABD绕点A旋转,得到△ACD?,连结D?E.

(1)如图1,当?BAC?120?,?DAE?60?时,求证:DE?D?E.

(2)如图2,当DE?D?E时,?DAE与?BAC有怎样的数量关系?请写出,并说明理由.

(3) 如图3,在(2)的结论下,当?BAC?90?,BD与DE满足怎样的数量关系时,△D?EC是等腰直角三角形?(直接写出结论,不必说明理由).

8. 图中是一副三角板,45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处,∠A=30,∠E= 45,∠EDF=∠ACB=90,DE交AC于点G,GM⊥AB于M.

(1)如图①,当DF经过点C 时,作CN⊥AB于N,求证:AM=DN.

(2)如图②,当DF∥AC时,DF交BC于H,作HN⊥AB于N,(1)的结论仍然成立,请你说明理由.

E

B B

oo o D? D? B D E 图1 C B D 图2 E C B D 图3

E D? C ①

② 3

9. 课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:

如图1,己知四边形ABCD中,AC平分?DAB, ?DAB?60?, ?B与?D互补,求证:

AB?AD?AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决该问题.

(1)特殊情况入手添加条件:“?B??D”, 如图2,可证AB?AD?

AC.(请你完成此证明)

(2)解决原来问题

受到(1)的启发,在原问题中,添加辅助线:如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.(请你证明)

10.已知:点O到△ABC的两边AB,AC 所在直线的距离相等,且OB?OC.

(1) 如图1,若点O在边BC上, (2) 求证:AB?AC;

[证]

O 图1

图2

C

(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证: AB?AC; [证]

(3)若点O在△ABC的外部,AB?AC成立吗?请画图表示. [解]

第25题答案.

(1)证明:∵CO?CD,?OCD?60°, ∴△COD是等边三角形.

(2)解:当??150°,即?BOC?150°时,△AOD是直角三角形. ∵△BOC≌△ADC,

∴?ADC??BOC?150°.

又∵△COD是等边三角形,

∴?ODC?60°.

∴?ADO?90°.

即△AOD是直角三角形.

(3)解:①要使AO?AD,需?AOD??ADO. ∵?AOD?190°??,?ADO???60°, ∴190°?????60°.

∴??125°.

②要使OA?OD,需?OAD??ADO. ∵?OAD?180°?(?AOD??ADO)?50°, ∴??60°?50°.

∴??110°.

③要使OD?AD,需?OAD??AOD. ∴190°???50°.

∴??140°.

综上所述:当?的度数为125°,或110°,或140°时,△ABC是等腰三角形. 12分 第17题答案.

(1)①证明:连结DB.

在Rt△ABC中,?AB?BC,AD?DC. ?DB?DC?AD,∠BDC?90?. 方法一:

?∠ABD?∠C?45?.

?∠MDB?∠BDN?∠CDN?∠BDN?90?, ?∠MDB?∠NDC.

?△BMD≌△CND.

?DM?DN.

方法二:

?∠A?∠DBN?45?.

?∠ADM?∠MDB?∠BDN?∠MDB?90?. ?∠ADM?∠BDN.

?△ADM≌△BDN.

?DM?DN.

②四边形DMBN的面积不发生变化; 由①知:△BMD≌△CND,

5 3分 5分 7分 1分)3分)3分)4分)( ( ( (

?S△BMD?S△CND.

?S四边形DMBN?S△DBN?S△DMB?S△DBN?S△DNC?S△DBC?

(2)DM?DN仍然成立, 证明:连结DB.

在Rt△ABC中,?AB?BC,AD?DC,

11S△ABC?. 24

(6分) (7分)

?DB?DC,∠BDC?90?. ?∠DCB?∠DBC?45?. ?∠DBM?∠DCN?135?.

?∠NDC?∠CDM?∠BDM?∠CDM?90?,

?∠CDN?∠BDM.

?△CDN≌△BDM. ?DM?DN.

(3)DM?DN. (11分)

第21题答案.

解: 图2成立;图3不成立

证明图2:

过点D作DM⊥AC,DN⊥BC 则∠DME=∠DNF=∠MDN=90° 再证∠MDE=∠NDF,DM=DN 有△DME≌△DNF ∴S△DME= S△DNF

∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+ S△CEF

由信息可知S四边形DMCN=∴S△DEF+ S△CEF=

(9分)

E C

N F 图2

1

S△ABC 2

1

S△ABC 2

B

D

D?

图3不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是: S△DEF ?S △CEF=第13题答案.

(1)证明:如图1

∵△ABD旋转得到△ACD?

∴?DAD???BAC?120?,AD?AD? ∵?DAE?60?

∴?EAD???DAD???DAE?120??60??60? ∴?DAE??D?AE 又∵AE?AE

∴△DAE≌△D?AE(SAS)

B

1

S△ ABC 2

E 图1 C

D?

B

D

图2 E

D?

D

图3

E

C

∴DE?D?E (2)?DAE?

1

?BAC 2

理由:如图2

∵△ABD旋转得到△ACD? ∴?DAD???BAC

AD?AD?

∵DE?D?E,AE?AE ∴△DAE≌△D?AE(SSS) ∴?DAE?D?AE?∴?DAE? (3)DE?第25题答案.

证明:(1)∵∠A=30°,∠ACB=90°,D是AB的中点. ∴BC=BD, ∠B=60° ∴△BCD是等边三角形. 又∵CN⊥DB,

1

?DAD? 2

1

?BAC 2

2BD,或BD︰DE=1︰2

1

DB 2

∵∠EDF=90°,△BCD是等边三角形. ∴∠ADG=30°,而∠A=30°. ∴GA=GD.

∵GM⊥AB

1

∴AM?AD

2

又∵AD=DB

∴DN?

∴AM=DN (2)∵DF∥AC

∴∠1=∠A=30°,∠AGD=∠GDH=90°, ∴∠ADG=60°. ∵∠B=60°,AD=DB, ∴△ADG≌△DBH ∴AG=DH,

又∵∠1=∠A,GM⊥AB,HN⊥AB, ∴△AMG≌△DNH. ∴AM=DN .

第23题答案.

证: (1)??B??D?90?,

B

图②

?CAB??CAD?30?, …………………………… (2分)

∴ AB?AC, AD?AC, 22

AC. ∴AB?AD?

………………………………………… (3分)

(2)由(1)知,AE?AF?3AC.

…………………………………… (1分)

? AC为角平分线, CF?AD, CE?AB,

∴ CE?CF,

而?ABC与?D互补,

?ABC与?CBE也互补,

∴?D=?CBE,

∴ Rt?CDF≌Rt?CBE,

…………………………………… (3分)

∴ DF?BE,

…………………………………… (1分)

∴ AB?AD?AB?(AF?FD)?(AB?BE)?AF?AE?AF?AC.

…………………………………… (2分)

第14题答案.

证:(1)过点O分别作OE?AB,OF?AC,E,F分别是垂足,

由题意知,OE?OF,OB?OC, ?Rt△OEB≌Rt△OFC,

3分 ??B??C,从而AB?AC. F (2)过点O分别作OE?AB,OF?AC,E,F分别是垂足,

由题意知,OE?OF. 在Rt△OEB和Rt△OFC中, C

?OE?OF,OB?OC,?Rt△OEB≌Rt△OFC.

??OBE??OCF,

又由OB?OC知?OBC??OCB,??ABC??ACD,?AB?AC. 9分

解:(3)不一定成立. 10分

(注:当?A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时,有AB?AC;否则,AB?AC.如示例图)

A

A

C F

(成立) B C F (成立)

12分 8

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com