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3。4圆周角(2)

发布时间:2013-10-22 09:33:16  

3.4圆周角 (2)

一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征:
D O C

① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.



A

课前测验
64o 1、如图,在⊙O中,∠BAC=32o ,则∠BOC=________。
2 、 如 图 , 在 ⊙ O 中 , BC=60o, 则
m

A
O C B

30o 60o ∠BAC=________。∠BOC=________。 1、圆周角定理:

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 2、圆周角度数定理: 圆周角的度数等于它所对的弧的度数一半。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

课前测验
2、弦AB分圆周角成两部分,其中一部分是另一部分的3

45o 和135o 倍,则弦AB所对的圆周角∠ACB 度数为________。
2 2 ?2 若圆的半径为2,则△ ACB面积的最大值是______,

3、圆内接四边形的性质定理:

圆内接四边形的对角互补, 并且一个外角等于它的内对角
4、圆周角定理的推论1:

做书本78 页第7题

半圆(或直径)所对的圆周角是直角;900的 圆周角所对的弦是直径。 条件中有直径时作弦,构成直角三角形,是圆 中常用辅助线!

圆心角定理推论 : 在同圆或等圆中,相等的弧

所对的圆心角相等
∵ AB=A'B' , ∴∠AOB = ∠A'OB'

猜想能否把圆心角推广到圆周角?

类比推广

图5

问题,如图3,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系? 为什么? D
D
B


问题讨论

∠B = ∠D= ∠E
E A


O C

O

若弧AM与弧CM相等,
C 则可得到什么结论? 用于找相等的

A

M

1、圆周角定理的推论2: 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
用于找相 等的弧

图3

∠ADM= ∠CDM 角

辨一辨
D
B


D E A O

O C



A

M

圆周角定理的推论2: 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
正确结论:同圆或等圆中,一条弦或相等 的两条弦所对的圆周角相等或互补

图3

1、同弧或等弧所对 对 的圆周角相等? 2、相等的圆周角所对 的弧也相等? 错 3、同圆或等圆中,一 C 条弦或相等的两条弦所 对的圆周角相等? 错

做一做:
如图,四边形ABCD内接于⊙O.找出图 中分别与∠1, ∠2 ,∠3相等的角. · C BD=AC D 2 14 BD=AC ∠DCB=∠ABC 5 O · AB=CD AB=DC
3 E
6



8

7



∠3=∠ 5 =∠4=∠ 7 DE=AE,CE=BE

引伸1:若BD=AC,则还可以得到哪些相等关系? 引伸2:若∠5=∠2=600,还可以得到哪些600角?

练习:如图,P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°. 求证:△ABC是等边三角形 证明:∵∠ABC和∠APC ⌒ 都是 AC 所对的圆周角。 ∴∠1=∠APC=60° (同弧所对的圆周角相等) A 2 1 · O C

P

B

同理,∵∠BAC和∠CPB都

是 BC 所对的圆周角, ∴∠2=∠CPB=60°。
∴△ABC等边三角形。 ∴∠1=∠2=600



1.说出命题“圆的两条平行弦所夹的弧相等” 的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请 说明理由. 书本作业题3 2.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分 ∠ABC,且AB∥CD.求证:CB=CD
D

同 步练习 48页13题

C

A

1 2
B

例2 已知:如图,在△ABC中,AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证:⌒ ⌒ A BD=DE
证明:连结AD. ∵AB是圆的直径,点D在圆上, ∴∠ADB=90°, 即 AD⊥BC, ∵AB=AC, ∴∠1=∠2,

O.1 2
B D

E

C

∴⌒ ⌒ BD= DE (在同圆中,相等的圆周角所对的弧相等).

例2
已知:如图,在△ABC中,AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证:⌒ ⌒ BD=DE O B

A E D C

若∠B=70o ,求弧BD的度数?
你还能求哪些弧的度数?

若∠B=70o ,求弧AE的度数?

例2
O B

A O E ① D C B ②

A E D C B ③ O

A E D C

若∠B=70o ,求弧AE的度数?
图③是用了转化思想 图①辅助线是作半径OE构成等腰△AOE,转化成 求∠AOE问题 图②辅助线是由条件中的直径AB想到作弦BE 构成Rt△ABE,转化成求∠ABE

例3: 船在航行过程中,船长常常通过测定角度 来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔,暗 礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内,(即 称这个区域为弓形ACB)C表示一个危险临界点, ∠ACB就是“危险角” 弓形所含的圆周角 ∠C=50°,问船在航 行时怎样才能保证不 进入暗礁区?
设AP与弓形交于点E
A P E C

1
500
O

B

(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时,船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时,船位于哪个区域?为什么?
当∠P< ∠α时,…,船P在弓形外,… F E 当∠P> ∠α时,…,船 Q α C Q在弓形内,… α α
O P

A

B

一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
O

A

B

一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
D

O

A

B

如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点 E,G是⌒上任意一点,延长AG,与DC的延 AC 长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图 中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
F G C E

O A

B

D

小结与作业 1、本节课我们学习了哪些知识?

2、圆周角定理及其推论的用途你
都知道了吗?


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