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切线长定理课件

发布时间:2013-10-22 09:33:18  

问题1、经过平面上一个已知点,作已知 圆的切线会有怎样的情形?

P· · O A P· · O



· O

问题2、经过圆外一点P,如何作已知⊙O的 切线?

问题2、经过圆外一点P,如何作已知⊙O的 切线? A



P

O

B

思考:假设切线PA已作出,A为切点, 则∠OAP=90°,连接OP,可知A在怎样 的圆上?

过⊙O外一点作⊙O的切线
A

O · O

P

B

一、切线长定义 经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长。
A

· O

P

切线与切线长的区 别与联系:

B

(1)切线是一条与圆相切的直线; (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

若从⊙O外的一点引两条切线PA,PB,切点 分别是A、B,连结OA、OB、OP,你能发现什么结 论?并证明你所发现的结论。
B

PA = PB
∠OPA=∠OPB
O


P

A 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点 ∴OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论

∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB

二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角。 B


O

P
A

几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B

PA = PB ∠OPA=∠OPB

反思:切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法

我们学过的切线,常有 六个 性质: 五个
1、切线和圆只有一个公共点;

2、切线和圆心的距离等于圆的半径;
3、切线垂直于过切点的半径;

4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点;
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论?并给出证明.
B

OP垂直平分AB

O

。 M

P

A 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB

∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB

若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又 能得出什么新的结论?并给出证明.

CA=CB


B P

C

O

A 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC ∠OPA=∠OPB

例1.PA、PB是⊙O的两条切线, A、B为切点,直线OP交于⊙O E 于点D、E,交AB于C。
(1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (2)写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC (3)写出图中所有的全等三角形

A O
C D B

P

△AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP
(4)写出图中所有的等腰三角形

△ABP

△AOB

反思:在解决有关圆的 切线长问题时,往往需 要我们构建基本图形。

反思:在解决有关圆 A 的切线长的问题时, 往往需

要我们构建基 本图形。 。

O

P

B

(1)分别连结圆心和切点
(2)连结两切点 (3)连结圆心和圆外一点

例2.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B, 并与圆O的切线分别相交于C、D,? 知 已 PA=7cm, (1)求△PCD的周长. (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
A D P ·O E

C B

例3.如图,△ABC中,∠C =90o,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F,且BD=12,AD=8, 求⊙O的半径r. A
D

F O
B

E

C

选做题:如图,AB是⊙O的直径, AD、DC、BC是切线,点A、E、B 为切点,若BC=9,AD=4,求OE的长.
E C D

E

C

D
A · O

F
B

A

· O

B



结:

1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切 线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 B ∵PA、PB分别切⊙O于A、B


E

O

C D
A

∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB P OP垂直平分AB

切线长定理为证明线段相等,角 相等,弧相等,垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。

2.圆的外切四边形的两组对边的和相等

试说明圆的外切四边形的两组 对边的和相等.


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