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广东省广州市白云区汇侨中学九年级上数学《24.1.2垂径定理》课件

发布时间:2013-10-22 10:35:26  

温故而知新
1.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的 图形,用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.

图形语言
C O B

符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AE=BE,



A E└
D

⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ AD=BD. ⌒

垂径定理推论
平分弦(不是直径)的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C

∵ CD是直径, AE=BE
O · A

∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B









E D

C

(1)如何证明?
已知:如图,CD是⊙O的直径, AB为弦,且AE=BE. A ⌒⌒ ⌒ ⌒ 求证:CD⊥AB,且AD=BD, AC =BC
证明:连接OA,OB,则OA=OB ∵ AE=BE ∴ CD⊥AB
O · E D B

⌒ ⌒ ∴ AD=BD,

⌒ ⌒ AC =BC

平分弦(不是直径)的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。 (2)“不是直径”这个条件能去掉吗?如 果不能,请举出反例。
C A O · B D

C

① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,

A

└ M


B

O

如果具备上面五个条件中的任何两个,那 么一定可以得到其他三个结论吗? 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦(不是直径); (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.

D

课堂讨论
根据已知条件进行推导:

① ②
② ④ ⑤ ① ④

③ ④ ⑤ ③ ② ⑤

① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。 (2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分 弦所对的另一条弧。

①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧

① ③

(3)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.

练习

C

1.如图所示:

A

└ M


B O

(1)若CD⊥AB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD 、AC=BC . 则 AM=BM 、 (2)若AM=MB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD⊥AB 、 AD=BD 、 AC=BC 则

D

.

(3)若CD⊥AB, AM=MB, ⌒ ⌒ CD是直径 、 AD=BD 、⌒ ⌒ AC=BC 则 . ⌒ ⌒ (4)若AC=BC ,CD是直径, ⌒ ⌒ CD⊥AB 、 AM=BM 、 AD=BD . 则

试一试

2.判断: (? )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧. (



)(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.

( ? )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( ? )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. (



)(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.

3、如图,点P是半径为5cm的⊙O内一点,且 OP=3cm, 则过P点的弦中, (1)最长的弦= cm (2)最短的弦= cm (3)弦的长度为整数的共有( ) A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C

A

5 3 OO 4 P P D

B

4、如图,点A、B是⊙O上两点,AB=8,点P 是⊙O上的动点(P与A、B不重合),连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF

⊥BP于 F,EF= 4 。

O

A

E

F

B

P

船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?

船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1

AB ? 7.2, CD ? 2.4, HN ? MN ? 1.5. 2 1 1 AD ? AB ? ? 7.2 ? 3.6, 2 2 OD ? OC ? DC ? R ? 2.4.

在Rt△OAD中,由勾股定理,得

OA2 ? AD2 ? OD 2 , 即R 2 ? 3.62 ? ( R ? 2.4) 2 .
解得 R≈3.9(m). 在Rt△ONH中,由勾股定理,得

OH ? ON 2 ? HN 2 , 即OH ? 3.9 2 ? 1.52 ? 3.6. ?DH ? 3.6 ?1.5 ? 2.1 ? 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.

试一试

已知A、B、C是⊙O上三点,且AB=AC, 圆心O到BC的距离为3厘米,圆的半径为5厘 米,求AB长。
A B A
D

O B
D

C

C

O

练习
已知⊙O的半径为5厘米,弦AB的长为8厘米, 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E

O

O B A

D
A

E

D

B

1.已知P为⊙O内一点,且OP=2cm, 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最 短的弦等于 2 5cm .

2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米,最短 弦长为2厘米,则OM的长是多少?
B
O E C A P D

A O M

某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8 求这两条平行弦间的距离.

回顾与思考

?这节课你有什么收获?
?还有哪些疑问?

1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 5 Cm 那么⊙O的半径为
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B M A

OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N

C

5、如图,⊙O中CD是弦,AB是直径, AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,求证:CE=DF。
A O C F E M D

B


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