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24.4.2圆锥的侧面积和全面积

发布时间:2013-10-23 09:47:06  

圆锥知多少

? 认识圆锥

圆锥的再认识
1.圆锥是由一个底面和一个侧面围 成的,它的底面是一个圆,侧面是一 P 个曲面. 2.把圆锥底面圆周上的 L 任意一点与圆锥顶点的 h 连线叫做圆锥的母线 A B A 问题: r O A 圆锥的母线有几条?
2 1

3.连结顶点与底面圆心 的线段叫做圆锥的高 如图中 l是圆锥的一条母线,
而h就是圆锥的高

P

l h
O

4.圆锥的底面半径、 A 高线、母线长三者之间 间的关系: 2 2

r

B

l = h +r

2

探究 .圆锥的侧面积和全面积
问题: 1、沿着圆锥的母线,把一个圆锥的侧面展开, 得到一个扇形,这个扇形的弧长与底面的周长有 什么关系?相等 2、圆锥侧面展开图是扇形,这个扇形的半径与 母线 圆锥中的哪一条线段相等?

S

A

O

B

圆锥及侧面展开图的相关概念

圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周 长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积. 圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
P

h A O r

l B

圆锥的侧面积和全面积
如图:设圆锥的母线长为a,底面 半径为r.则圆锥的侧面积 P 公式为: 1 S侧 = 2πr l. 2 h
= πrl
A O

L = 2πr
l r

B

全面积公式为:

S 全 = S 侧+ S 底
πr l +πr2 =

根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心 角(r、h、 分别是圆锥的底面半径、高线、 θ l 母线长) (1)

l=

2,r = 1

180° 则 θ =________

(2) h=3, r=4

则 θ =__________ 288°

h r

l
h

θ

l
r

例1.一个圆锥形零件的高4cm,底 面半径3cm,求这个圆锥形零件的侧 面积和全面积。 1 2 ×5×2π ×3 = 15 π(cm ) P s侧 = 2

s全 = s 侧 + s 底

l
h

= 15 π + 9 π
B

A

O
r

= 24 π cm

( )
2

例3.蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱 组成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为 35 m2,高为3.5 m,外围高1.5 m的蒙古包, 至少需要多少m2的毛毡? (结果精确到1 m2).解:如图是一个蒙古包的示意图 依题意,下部圆柱的底面积35m2,高为1.5m; 上部圆锥的高为3.5-1.5=2 m; 圆柱底面圆半径r= 35 (m)≈3.34 (m) h1 π 侧面积为: 2π×3.34×1.5 ≈31.45 (m2) 圆锥的母线长为 3.342+22 ≈3.85 (m) 侧面展开积扇形的弧长为: 2π×3.34 h2 ≈20.98 (m) 1 圆锥侧面积为:2 ×3.89×20.98 ≈40.81 (m2) 因此,搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡: 20× (31.45+40.81)≈1445(m2)

r

r

例4.童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子,其 圆锥形帽身的母线长为15cm,底面半 径为5cm,生产这种帽身10000个,你 能帮玩具厂算一算至少需多少平方 米的材料吗(不计接缝用料和余料, π取3.14 )?
解:∵ l =15 cm,r=5 cm, 1 ∴S 圆锥侧 = ×2πrl 2 =π×15×5 ≈3.14×15×5 =235.5 (cm2) ∴ 235.5×10000=2355000 (cm2)

l

答:至少需 235.5 平方米的材料.

r

例6.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只 蚂蚁要从底面圆周上一

点B出发,沿圆锥侧面爬 行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n° 连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线 ∵ 圆锥底面半径为1, B’ A ∴ l弧BB’=2π 6nπ 又∵ l 弧BB’= 180 6 6nπ ∴ 2π= 180 解得: n=60

∴ △ABB’是等边三角形 ∴ BB’=AB=6
答:蚂蚁爬行的最短路线为6.

B

1

C

将圆锥沿AB展开成扇形ABB’ A 解: 将圆锥沿AB展开成扇形AB′B′, 则点CB 解: 将圆锥沿AB展开成扇形ABB′,解: 将圆锥沿AB展开成扇形ABBDAB展开成扇 则点C是BB′的中点,:过点B作 B ,⊥ ACC是是 解 将圆锥沿 则点 , 解 展开成扇形AB展开成扇形AB 则点C C 将圆锥沿AB B 解: 的中点, 垂足为D . AB: 将圆锥沿 AC, ′, 则点C是 ?,, 则点, 垂足为D 垂足为 D. 成扇形ABB′, 则点C是BB′将圆锥沿过点B作.BD ⊥AB展开成扇形ABBB ′的中点是 垂足为D. 垂足为D. 垂足为D. 垂足为D.rr r ∠BAB′′= ×360 ° =?BAB? ? r ? 360 ? ? 120 ? ∠ BAB = ×360 °120 °° = 120 ∠BAB′= ×360 ° 120 ° = lr lr r l C B′= ×360BAB ?′?° ? 360 ?° 120 ?° l B ? ° 120 × ? ∠∠BAD = 60360 Rt ABC中,, ∠ = = ° ° BAB = ∠BA = ∴∠BAD =ll60 °在Rt=Δ?BAD ? 60 ?BAD 6060AB °在 ?120 中 ∠BAD Rt?ABC . Δ ABC ° . , , .在 l BAD = 60 ° AB = 3. ∴∠BAD = 60°在RtΔABC中, ∠ . , 3 ? ∠BAD =60 .在Rt?ABC 60 ,?BAD . ∴?BAD ? 3中 ° ∠BAD =中 , ∠BAD = 60 中 ∴∠BAD = 60 °在RtΔABC3 ?,.在RtΔABC3,° AB = 3? 60 ?, A . BD = 3 60 ∴ BD = C中, ∠BAD = 60 ° AB = 3. , ? BD ? 3 3 2 2 3 ∴ BD = 3 2 3 3 3 ? BD = 2 ∴ BD = 3 ∴BD ? 2 3 33 答: 它爬行的最短路线是 3.3. 2 它爬行的最短路线是 答: 它爬行的最短路线是 32 23 答: 它爬行的最短路线是 3. 答: 它爬行的最短路线是 2 3 3. 3 3 答: 它爬行的最短路线是 3. 答: 它爬行的最短路线是 3. 2 22 线是 3. 2 2

例7、如图,圆锥的底面半径为1,母线长为3,一 只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬 到过母线AB的轴截面上另一母线AC上,问它爬行 的最短路线是多少?


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