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24.2与圆有关的位置关系(切线长)课件

发布时间:2013-10-23 09:47:07  

切线长

A

O

P

B

根据圆的轴对称性,存在与A点重合 你能发现OA与PA,OB 的一点B,且落在圆,连接OB,则它 PA、PB所在的直线分别是⊙o两条切线。 与PB之间的关系吗? 也是⊙o的一条半径。

A

O

B

如图,P是 ⊙O外一点, PA,PB是 ⊙O的两条 切线,我们 P 把线段PA, PB叫做点P 到⊙O的切 线长。

经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间 的线段的长,叫做这点到圆的切线长。

A

O

P

B 切线和切线长是两个不同的概念, 切线是直线,不能度量; 切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外 一点和切点,可以度量。

根据你的直观判断, 猜想图中PA是否等于 PB?∠1与∠2又有什 么关系?

A


⌒⌒

1

O


M

2

P

证明:
∵PA、PB是⊙o的两条切线,

B

∴OA⊥AP,OB⊥BP,又OA=OB,OP=OP, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB,∠1=∠2

切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相 等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
A

1

⌒⌒

O


M

2

P

B

练习
已知:⊙O的半径为3厘米,点P和圆心O 的距离为6厘米,经过点P和⊙O的两条切 线,求这两条切线的夹角及切线长. E 1 2 F

O

P

李师傅在一家木料厂上班,工 作之余想对厂里的三角形废料进行 加工:裁下一块圆形用料,且使圆 的面积最大。 下图是他的几种设计,请同学们帮 他确定一下。

A

B

C

1、定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这 个三角形叫做圆的外切三角形。 2、性质: 内心到三角形三边的距离相等; 内心与顶点连线平分内角。
A

O

B

C

作三角形内切圆的方法:
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN,交点为I。
2.过点I作ID⊥BC,垂足为D。
A

3.以I为圆心,ID为半径作⊙I.

⊙I就是所求的圆。
B

N I D

M

C

例1:已知:在△ABC中,BC=9cm,AC=14cm, AB=13cm,它的内切圆分别和BC、AC、AB切于 点D、E、F,求AF、BD和CE的长。

解:因为△ABC的内切 C 圆分别和BC、AC、AB切 于点D、E、F,由切线 长定理知

D O r F B

E AE=AF,CE=CD,BD=BF 1 ∴AF+BD+CE= (AB+AC+BC) A =18 2 ∵BD+CE=BD+CD=BC=9

∴AF=18-9=9 ∴BD=AB-AF=13-9=4 ∴CE=BC-BD=9-4=5

例2 如图,在△ABC中,点O是内心, 若 ∠ABC=50°, ∠ACB=70°,求∠BOC的度数 A (1)∵点O是△ABC的内心, 1 1 ∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= ?50°= 25° 2 2 B
1 1 同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= ?70° = 35° 2 2 ∴ ∠BOC=180 °-(∠1+ ∠3)

O
2 )1 4 3(

C

= 180 °-(25°+ 35 °) =120 °

小结:
(1)切线长定理。 (2)三角形的内切圆


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