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反比例函数的图像和性质

发布时间:2013-10-23 11:36:39  

1.2 反比例函数的图象及性质 (1)

1、什么是反比例函数? k ( 一般地,形如 y ? 的函数 k是常数,k≠0) 叫做反比例函数. x 2、反比例函数的定义中还需要注意什么? ◆自变量x的次数为 -1 ◆自变量x的取值范围 x≠0 m2-5 ◆若函数y=(m-2)x 是反比例函数,则m= -2 , 3、请回忆:正比例函数的图象和性质

解析式 图象名称
K>0

y=kx (k≠0) 直 线 (过原点)
图象位于:一、三象限 y随x的增大而增大 增减性:

性 质

图象位于:二、四象限 K<0 增减性: y随x的增大而减小

复习提问

下列函数中哪些是反比例函数?
① y = 3x-1 ② y = ⑤ y = 3x ⑥ y=

2x2 1 x

1 ④ y = 2x ③ y= x 3

1 y = 3x ⑧ y = 3 ⑦ 2x

? 反比例函数的图象又会是什么样子呢?
? 你还记得作函数图象的一般步骤吗?
?

用图象法表示函数关系时,首先在自变 量的取值范围内取一些值,列表,描点, 连线(按自变量从小到大的顺序,用一 条平滑的曲线连接起来).

函数图象画法

描点法

列 表

描 点

连 线

画一画

6 y= x 和y= 画出反比例函数
的函数图象。
描点法 列 表 描 点

6 x
连 线

x
y= 6 x y= 6 x

注意:①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。

x

… -6 1
y
6 5 4 3 2 1

-5 -4

-3 -2

-1 -6 6

1 6

2 3

3 2

4

5

6 1

… … …

y= 6 … x y= 6 … x

-1 -1.2 -1.5 -2 -3
1.2 1.5

1.5 1.2

2

3

-6 -3

-2 -1.5 -1.2 -1
y
6 5

y= 6 x

6 y= x

4 3 2 1

双曲线
0 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6

0

1

2

3

4

5

6

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

x

-1
-2

双曲线

-3 -4 -5 -6

发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化?
1、在每一个象限内
y

6 6 观察y ? 和y ? ? 的图象 x x

2、在整个自变量的取值范围内
6 y?? x

如图xB< xA 但yB< yA xB
-6 -5 -4 -3 -2 -1

6 5 4 3 2

6 y? x

C

·
6 5 4 3

y

· A
0 1

2
1

1

-1

xA

2

3

4

5

6

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6

0

1

2

3

4 5

6 x

B

·

-2 -3

D

-4
-5 -6

·

反比例函数图象画法步骤:
列 表
注意:①列 x与y的 对应值表时,X的值 不能为零,但仍可 以零的基础,左右 均匀、对称地取值。

描 点 描点法

连 线
注意: ③两个分支 合起来才是反比例 函数图象。

注意:②描点时自 从画反比例函数图 左住右用光滑曲线 象看,描点法还应注 顺次连结,切忌用 意什么? 折线。

讨 论
实验

反比例函数的性质

y

6 y=x
0 x

1.当k>0时,图象的两个 请大家结合反比例函数 6 6 分支分别在第一、三象 y= x 和 y= x 限内; 的函数图象,围绕以下 两个问题分析反比例函 数的性质。

y

0

2.当k<0时,图象的两个分支分 ①当k>0时,双曲线两分支 别在第二、四象限内。 各在哪个象限? ②当k<0?

6 y= x

x

形状 位置

由两支曲线组成的.因此称它

的图象为双曲线;

当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内; 增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.

图象的发展趋势
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴

对称性

⑴反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x 都是它的对称轴; k k ? ⑵反比例函数 y 与 的图象关于x轴对称,也关于 y?? x x y轴对称。

指出下面图像中哪个是反比例函数函数图像

A

B

C

D

如图是下列四个函数中哪一个函数的图像 A.y=5x B.y=2x+3
4 C. y ? x 3 D. y ? ? x

指出下面图像中哪些是y=kx与 y ? 在同一 x 平面直角坐标系中的图像

k

A

B

C

D

练习 1

5 二,四 1.函数 y = x 的图象在第_____象限, 1 1 2. 双曲线 y = 经过点(-3,___) 9 3x m-2 y = x 的图象在二、四象限,则m的 3.函数 取值范围是 ____ . m<2 1 4.对于函数 y = 2x ,当 x<0时,图象在第 三 ________象限.

例 1

k 已知反比例函数y= (k≠0)的图象的如 x 图。
(1)判断k是正数还是负数; (2)求这个反比例函数的解析式;
y y (-4,2) 0 x

课内练习:

1、下列反比例函数的图象分别在哪个象限?
⑴ y= 3 x ⑵

1 y=- x
y y

0

x

课内练习:

k (k≠0) 的图象上 3、已知反比例函数 y = x
一点的坐标为( ? 2 ,2 )。 求这个反比例函数的解析式。

课堂小结

思考题

请大家围绕以下三个问题小结本节课 ① 什么是反比例函数?

② 反比例函数的图象是什么样子的?怎样作图象

k ③ 反比例函数 y = x ( k 是常数,k ≠ 0)
的性质是什么?

函数 填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别 解析 式
图象形 状

正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线
位 置

反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )

双曲线 一三 象限

一三 象限
y随x的增大而增大

增 减 性

K>0

位 置

二四 象限
y随x的增大而减小

二四 象限

增 减 性

K<0

练习3

y

y x (B)
0

1. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= k 在同 x 一坐标系中的图象 大致是 ( D )

(A)

0

x

y

y x (D)
0

(C)

0

x

2. 已知k>0,则函数 y1=kx+k 与y2= k 在同一坐标系中 x 的图象大致是 ( C )

y

y

(A)

0

x

(B)

0

x

y y 3.设x为一切实数,在下列 函数中,当x增大时,y的 (C) 0 0 x (D) x 值总是减小的函数是( C ) (A) y = -5x -1 ( B)y= x (C)y=-2x+2; (D)y=4x. 2


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