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《圆》知识点归纳及相关题型转摘

发布时间:2013-10-23 11:36:42  

第五章 中心对称图形(二)

一、和圆有关的基本概念

1.圆:

把线段OP的一个端点O固定,使线段OP绕着点O在平面内旋转1周,另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中,定点O叫做圆心,线段OP叫做半径。

以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”。

圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。

3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

4.弦:连接圆上任意两点的线段。

5.直径:经过圆心的弦。

6.弧:圆上任意两点间的部分。

优弧:大于半圆的弧。

劣弧:小于半圆的弧。

半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。

7.同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆。

8.等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。(圆心不同)

9.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。(在大小不等的两个圆中,不存在等弧。

10.圆心角:顶点在圆心的角。

11.圆周角:顶点在圆上,两边与圆相交的角。

12.圆的切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长。

13.正多边形:

①定义:各边相等、各角也相等的多边形

②对称性:都是轴对称图形;有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。

14.圆锥:

①:母线:连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。

②:高:连接顶点与底面圆的圆心的线段。

15.三角形的外接圆:三角形三个顶点确定一个圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

16.三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。

二、和圆有关的重要定理

1.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。

2.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。

3.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

5.圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

6.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

1

?直线(直径)平分弦直线过圆心(直径)?????直线平分弦所对优弧直线垂直于弦???直线平分弦所对劣弧

垂径定理的实质可以理解为:一条直线,如果它具有两个性质:(1)经过圆心;(2)垂直于弦,那么这条直线就一定具有另外三个性质:(3)平分弦,(4)平分弦所对的劣弧,(5)平分弦所对的优弧。

推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

7.同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半。

8.直径(或半圆)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。

9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

10.确定圆的条件

不在同一条直线上的三个点确定一个圆

经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个.这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。

三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。

11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点

12.圆的切线垂直于经过切点的半径。

13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。

14.从圆外一点引圆的两条切线,他们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

三、和圆有关的位置关系

1.点和圆:

如果⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,那么

d<r 点P在圆内

d=r 点P在圆上 d>r 点P在圆外

2.直线和圆:

①直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交。

②直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切。这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点。

③直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离。

如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么

d<r 直线l与⊙O相交

d=r 直线l与⊙O相切

d>r 直线l与⊙O相离

3.圆和圆:

①两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离。

②两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切,这个唯一的公共点叫做切点。

2

③两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交。

④两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切,这个唯一的公共点叫做切点。

(两个圆外切和内切统称为两个圆相切。)

⑤两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含。 (两圆同心是两圆内含的一种特例。)

如果两圆的半径分别为R、r,圆心距为d,那么

d>R+r 两圆外离

d=R+r 两圆外切

R-r<d<R+r(R≥r) 两圆相交

d=R-r(R>r) 两圆内切

0≤d<R-r(R>r) 两圆内含

四、和圆有关的计算

1. 多边形和圆

每个内角的度数:

每个外角的度数:

(等于中心角)

正多边形和圆的关系定理:

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆,因此可以采用作辅助圆的办法,解决一些问题。

对于一些特殊的正n边形,如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

2. 扇形: 1n?r2

面积公式: S ? 或 S?lr2360

3. 弧长:

nn?r弧长公式: l??2?r? 360180

4. 圆锥:

(圆锥的侧面展开图,是一个扇形。)

圆锥的侧面积=S侧=×2πr×a=πra

(圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积。)

五、和圆有关的作图

1.圆心

做一个已知圆的圆心

在圆上任意画一条线,作垂直与这条线的直径;再画一条弦,继续作垂直于这条弦的直径;两条直径的交点就是圆心。

2.三角形的外接圆:

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已知锐角三角形ABC,用直尺和圆规作△ABC的外接圆。

① 分别作边AB、AC的垂直平分线DE、FG,DE与FC相交于点O

② 以O为圆心,OA为半径作圆,⊙O就是所求作的圆。

3.用直尺和圆规做特殊的正多边形:

(1)正四边形

①在⊙O中作两条互相垂直的直径AC、BD

②依次连接A、B、C、D各点,四边形ABCD就是所求做的正四边形。

(2)正六边形

①在⊙O中任意做一条直径AD

②分别以A、D为圆心,⊙O的半径作半径作弧,与⊙O相交于B、F和C、E

③依次连接A、B、C、D、E、F各点,六边形ABCDEF就是所求作的正六边形。

六、和圆有关的常作辅助线

1.见弦作弦心距

有关弦的问题,常作其弦心距(有时还需作出相应的半径),通过垂径定理来沟通结论与题设间的关系。

2.见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径,一般是做直径所对的圆周角,利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。

3.见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线,往往是连接过切点的半径,利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题。

5.两圆相切作公切线

对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

6.两圆相交作公共弦

对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可以把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

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